Variación inversa

La función racional más sencilla es:

$\begin{equation*} y = \frac{1}{x} \end{equation*}$

Esta función en palabras nos dice que cuando $x$ crece el valor de $y$ decrece en la misma proporción. Por ejemplo, si el valor de $x$ crece al doble, el valor de $y$ decrece a la mitad, y si el valor de $x$ crece al triple, entonces el valor de $y$ decrece a la tercera parte. Este tipo de variación se conoce como variación inversa.

Contenido

1 Variación inversa
2 Ejemplo 1
3 Ejemplo 2
4 Ejemplo 3
5 Ejemplo 4
6 Ejemplo 5

Dos cantidades $x,y$ varían inversamente cuando al crecer la primera ( $x$ ) la otra $y$ decrece en la misma poporción.

Observa que si $y$ varía en proporción inversa con $x$ , entonces $x$ también varía inversamente con $y$ , porque:

$\begin{equation*} \mbox{Si }\qquad y = \frac{1}{x}\qquad\mbox{entonces, }\qquad x = \frac{1}{y} \end{equation*}$

También es importante recordar que cuando $x = 0$ la división no tiene sentido. En otras palabras, la variación inversa excluye los casos en los cuales $x=0$ , ó $y = 0$ .

Ejemplo 1

Grafica la función $y = \displaystyle\frac{1}{x}$ .

El denominador de esta función se hace cero en $x = 0$ . Entonces, el eje $y$ es una asíntota vertical de la función. Pero como ya dijimos que si $y$ varía inversamente con $x$ , entonces $x$ también varía linealmente con $y$ , entonces el eje $x$ también corresponde a una asíntota de la función, pero en este caso es horizontal.

$\begin{equation*} y = \frac{1}{x}\qquad\qquad\Rightarrow\qquad\qquad x = \frac{1}{y} \end{equation*}$

Observa que podemos escribir la función de una manera equivalente como la ecuación:

$\begin{equation*} x\cdot y = 1 \end{equation*}$

En esta forma nos damos cuenta que para que la expresión tenga sentido, ni $x$ , ni $y$ pueden ser cero. (¿Por qué?)

También es importante notar que la gráfica nos debe sugerir que cuando los valores de $x$ crecen los valores de $x$ decrecen.
Igual, cuando los valores de $y$ crezcan, los valores de $x$ deben decrecer.
La gráfica de la función nos muestra estos resultados:

Observa que si cambiamos el papel de las variables obtenemos exactamente la misma gráfica.
Esto nos sugiere que si $y$ varia inversamente con $x$ , también $x$ varía inversamente con $y$ .

El caso más general se tiene cuando en el numerador tenemos una constante diferente de 1. Esto nos servirá para resolver problemas prácticos.

Ejemplo 2

4 pintores tardan 12 horas en terminar de pintar un edificio. ¿Cuánto tardarán en pintar el mismo edificio 16 pintores?

Primero debemos darnos cuenta que el tiempo que tarden en pintar el edificio varía inversamente con la cantidad de pintores. Es decir, si aumentamos al doble la cantidad de pintores que trabajarán, esperamos que tarden la mitad. Si disminuimos a la mitad la cantidad de pintores, esperamos que tarden el doble. Así que tenemos una relación del tipo:

$\begin{equation*} y = \frac{k}{x} \end{equation*}$

donde $y$ es el tiempo que tardarán en pintar el edificio, $x$ es la cantidad de pintores asignados a esa tarea y $k$ una constante característica del problema. Con los datos que nos dieron podemos calcular el valor de $k$ . Con este fin, vamos a sustitir 12 en lugar de $y$ , y $16$ en lugar de $x$ y a despejar $k$ de esa expresión:

$\begin{equation*} 12 = \frac{k}{4}\qquad\Rightarrow\qquad k = (12)(4) = 48 \end{equation*}$

Para conocer cuánto van a tardar 16 pintores en terminar esa tarea sustituimos los valores conocidos y despejamos la incógnita del problema:

$\begin{equation*} y = \frac{48}{x}\qquad\Rightarrow\qquad y = \frac{48}{16} = 3 \end{equation*}$

Entonces, las 16 personas tardarán 3 horas. Observa que al aumentar al cuádruplo la cantidad de personas que terminarán la tarea,
el tiempo disminuye a la cuarta parte.

Observa que cuando $y$ varía inversamente con $x$ , la función de variación es:

$\begin{equation*} y = \frac{k}{x} \end{equation*}$

Ejemplo 3

Dos trabajadores tardan 32 horas en terminar una tarea. ¿Cuántos trabajadores se requieren para que realicen la misma tarea en 4 horas?

Si se asignan el doble de trabajadores deben tardar la mitad del tiempo.

Entonces, si hay 4 trabajadores deben tardar 16 horas,
y 8 trabajadores deben tardar 8 horas,
y 16 trabajadores deben tardar 4 horas,

Todo esto, suponiendo que los trabajadores siempre trabajan al mismo ritmo y que no se estorban entre ellos para realizar la tarea.

Este tipo de problemas puede resolverse también usando la regla de tres, pero inversa. Para esto vamos a escribir los datos como en la regla de tres directa, pero realizamos las operaciones en reversa:

$\begin{eqnarray*} \mbox{\textbf{Trabajadores}} & \Rightarrow & \mbox{\textbf{Horas}}\\ \mbox{\textcolor{red}{Datos conocidos:} } \qquad\qquad 2 & \Rightarrow & 32\\ \mbox{\textcolor{red}{Para calcular:} } \qquad\qquad T & \Rightarrow & 4 \end{eqnarray*}$

Ahora, para calcular la incógnita $T$ que representa al número de trabajadores que terminarán la tarea en 4 horas, usaremos la regla de tres inversa. Si se tratara de la regla de tres directa, multiplicaríamos:

$\begin{equation*} T = \frac{4\times 2}{32}\qquad\qquad\mbox{\textbf{Regla de tres directa}} \end{equation*}$

pero ahora realizamos las operaciones leyendo al revés los datos:

$\begin{equation*} T = \frac{32 \times 2}{4}\qquad\qquad\mbox{\textbf{Regla de tres inversa}} \end{equation*}$

El resultado coincide con el del último ejemplo:

$\begin{equation*} T = \frac{32 \times 2}{4} = \frac{64}{4} = 16\mbox{ trabajadores.} \end{equation*}$

Ejemplo 4

Resuelve el ejemplo 2 de esta lección utilizando la regla de tres inversa.

El texto del ejemplo dos dice: 4 pintores tardan 12 horas en terminar de pintar un edificio. ¿Cuánto tardarán en pintar el mismo edificio 16 pintores? Primero acomodamos los datos en la tabla:

$\begin{eqnarray*} \mbox{\textbf{Pintores}} & \Rightarrow & \mbox{\textbf{Horas}}\\ \mbox{\textcolor{red}{Datos conocidos:} } \qquad\qquad 4 & \Rightarrow & 12\\ \mbox{\textcolor{red}{Para calcular:} } \qquad\qquad 16 & \Rightarrow & h \end{eqnarray*}$

Entonces, usando la regla de tres inversa, calculamos el valor de nuestra incógnita $h$ :

$\begin{equation*} h = \frac{4\times 12}{16} = \frac{48}{16} = 3 \end{equation*}$

Y así obtenemos el mismo resultado. Observa que al utilizar la regla de tres inversa nos ahorramos el cálculo de la constante de proporcion inversa.

Ejemplo 5

300 ml de una disolución de ácido sulfúrico H $_2$ SO $_4$ al 63% se diluyeron al agregar 600 ml de agua destilada. ¿Cuál es la concentración de la nueva disolución del ácido?

La disolución originalmente tenía un volumen de 300 ml. Como se agregaron 600 ml, la nueva disolución tiene el triple del volumen. Al tener mayor volumen, la concentración de la disolución disminuye. Es decir, la concentración varía inversamente con el volumen. Entonces, para este problema tenemos:

$\begin{equation*} C = \frac{k}{V} \end{equation*}$

donde $C$ es la concentración de la disolución y $V$ es el volumen. Primero calculamos el valor de la constante de la función:

$\begin{equation*} 63 = \frac{k}{300}\qquad\Rightarrow\qquad k = (63 \mbox{\%})(300\mbox{ ml}) = 18\,900 \mbox{ \% ml.} \end{equation*}$

Ahora sustituimos el volumen de la nueva disolución en la fórmula para obtener:

$\begin{equation*} C = \frac{18\,900 \mbox{ \%}\cancel{\mbox{ ml.}}}{900 \cancel{\mbox{ ml}}} = 21 \mbox{ \%.} \end{equation*}$

Observa que como el volumen aumentó al triple, la concentración disminuyó a una tercera parte. Usando la regla de tres inversa, tenemos:

$\begin{eqnarray*} \mbox{\textbf{Concentraci\'on (\%)}} & \Rightarrow & \mbox{\textbf{Volumen (ml)}}\\ \mbox{\textcolor{red}{Datos conocidos:} } \qquad\qquad 63 & \Rightarrow & 300\\ \mbox{\textcolor{red}{Para calcular:} } \qquad\qquad C & \Rightarrow & 900 \end{eqnarray*}$

Entonces,

$\begin{equation*} C = \frac{300\times 63}{900} = \frac{18\,900}{900} = 21 \end{equation*}$

Justifica cada paso de la regla de tres observando el primer procedimiento.

Antes de aplicar la regla de tres inversa verifica que las cantidades relacionadas presentan este tipo de proporción. Algunas veces encontrarás problemas en los que aparecen varias cantidades que presentan variación inversa respecto a otra cantidad.

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Variación inversa

Aprenderás a reconocer situaciones problemáticas en las que se involucra alguna variación inversa y a cómo resolverlas.