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Variación exponencial

Aprenderás a reconocer situaciones problemáticas que involucran una variación exponencial y a resolverlas.

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Si consideramos la función exponencial:

    \begin{equation*}    y = k\cdot a^x \end{equation*}

si sustituimos cualquier número real para la variable x, los valores que la variable y van tomando son siempre positivos. Si los valores de x son enteros, entonces, consideramos solamente una parte de todo el dominio.


Ejemplo


La población de una ciudad en el año 2,000 era de un millón de personas exactamente.
a. Cada año la población ha crecido un 3%. ¿Cuántas personas había en esa ciudad en el año 2,009?
b. Encuentra la función que nos describe la población P de esa ciudad dependiendo del número de años x después del 2,000.

Sabemos que la población en el año 2000 era de 1’000,000 personas. El siguiente año había 3% más, es decir, había: 1\,000\,000\times 0.03 = 30\,000 personas más. Esto es, en el año 2,001 había un total de 1’030,000 habitantes. Observa que: 1\,000\,000 = 1\,000\,000\cdot(1 + 0.03) = 1\,000\,000\cdot(1.03). Al siguiente año la población volvió a crecer en un 3%. Entonces, en el año 2,002 había

    \begin{eqnarray*}    1\,030\,000 + 1\,030\,000\times 0.03 &=& 1\,030\,000\cdot(1 + 0.03)\\ 	&=& 1\,030\,000\cdot(1.03)\\ 	&=& 1\,060\,900 \mbox{ habitantes.} \end{eqnarray*}

Y en general, x años después del año 2,000 había:

    \begin{equation*}    P(x) = 1\,000\,000\cdot(1.03)^x\mbox{ habitantes.} \end{equation*}

Observa que esta es una función exponencial. En este caso, k = 1\,000\,000, y la base a = 1.03. El exponente representa el número de años que han pasado después del año 2,000. P(x) nos indica que la población P es una función de x. Entonces, en el año 2,009 había una población de:

    \begin{equation*}    P(9) = 1\,000\,000\cdot(1.03)^9 = 1\,304\,773\mbox{ habitantes aprox.} \end{equation*}


Observa que bajo el supuesto del ejemplo anterior, la población crece de manera exponencial. Esto es cierto solamente dentro de ciertos rangos, porque hay muchos factores que afectan a la forma como crece una población. Por ejemplo, un desastre natural, como un terremoto o un ciclón puede cambiar muy drasticamente la población. Cosa que no está contemplada en el modelo.

Desde luego, la población no es lo único que presenta esta forma de variación.


Ejemplo

Doña Fanny invirtió todo su dinero P pesos en el banco a plazo fijo. De esta manera, el banco le ofrece un interés de 8% de la cantidad de dinero que tenía el primer día de enero cada año. Si ella invirtió P = $10\,000 pesos el primero de enero del año 2,002 y no realizó retiros durante cinco años, ¿cuánto dinero retiró al final?

Ella recibía el 8% de lo que había en la cuenta al inicio de cada año. Al final del primer año tenía:

    \begin{equation*}    M(1) = P+ 0.08\cdot (P) = 1.08\cdot (P) = 1.08\cdot (10\,000) = 10\,800 \end{equation*}

Al final del segundo año tenía:

    \begin{equation*}    M(2) = 1.08\, P  + (0.08)(1.08)\, P = 1.08\,P\,(1 + 0.08) = (1.08)^2 P = (1.08)^2 (10\,000) = 11\,664 \end{equation*}

Al final del tercer año la cuenta ascendía a:

    \begin{equation*}    M(3) = (1.08)^2 P + (0.08)(1.08)^2 P = (1.08)^3P = (1.08)^3(10\,000) = 12\,597.12 \end{equation*}

El cuarto año tenía:

    \begin{equation*}    M(4) = (1.08)^3 P + (0.08)(1.08)^3 P = (1.08)^4P = (1.08)^4(10\,000) = 13\,604.89 \end{equation*}

Y finalmente, al fin del quinto año obtuvo:

    \begin{equation*}    M(5) = (1.08)^4 P + (0.08)(1.08)^4 P = (1.08)^5P = (1.08)^5(10\,000) = 14\,693.28 \end{equation*}

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En este caso, a = 1.08, y k = P = 10\,000.



Variación exponencial

Cuando una cantidad y varía con otra cantidad x de la forma:

    \begin{equation*}    y = k\cdot a^x \end{equation*}

donde k es el valor inicial de y y a es una constante que caracteriza al crecimiento de y con x, entonces decimos que y varía de forma exponencial con x.


En física se estudia la radiactividad. La radiactividad es una propiedad que tienen ciertos elementos por la cual emiten partículas energéticas por la desintegración de sus núcleos atómicos. Esto ocasiona que algunos átomos del elemento se conviertan de manera natural en otro elemento.


Ejemplo

El carbono 14 (C-14) es un elemento que se utiliza para conocer la edad de fósiles. Si el hueso del animal encontrado cuando estaba vivo tenía m gramos de ese elemento cada 5,730 años esa cantidad se reducirá a la mitad de lo que había cada vez. Encuentra la fórmula que nos indica la cantidad en gramos que queda de C-14 después de x periodos de 5,730 años.

Si el animal en vida tenía m gramos de C-14, después de 5,730 años tendrá la mitad. Es decir, tendrá: m/2 gramos de C-14. Después de otros 5,730 años tendrá la mitad de esa cantidad. Es decir, tendrá: (1/2)\cdot(m/2) = m/2^2 gramos de C-14. Después de otros 5,730 años tendrá la mitad de esa cantidad. Es decir, tendrá: (1/2)\cdot(m/2^2) = m/2^3 gramos de C-14. Y así sucesivamente.

Al final de x periodos de 5,730 años tendrá:

    \begin{equation*}    y = \frac{m}{2^x} = m\cdot\left(\frac{1}{2^x}\right) = m\cdot 2^{-x} \end{equation*}


Este tipo de elementos se utilizan para datar fósiles de animales que vivieron hace mucho tiempo. A partir de la medición de la cantidad de C-14 que tiene un fósil pueden aproximar la edad del fósil y así conocer la fecha aproximada en que ese animal vivió.


Ejemplo

Un equipo de arqueólogos encontraron fósiles de un dinosaurio. Se calcula que la masa de C-14 que tuvo el hueso cuando el animal estaba vivo era de 32 gramos. Ellos dedujeron que el animal vivió tenía aproximadamente 325,000 años. ¿Cuántos gramos de C-14 tiene
actualmente el fósil?

Del ejemplo anterior sabemos que si m es la masa de C-14 del hueso cuando el dinosaurio estaba vivo, entonces,

    \begin{equation*}    y = \frac{m}{2^x} = m\cdot\left(\frac{1}{2^x}\right) = m\cdot 2^{-x} \end{equation*}

donde x es la cantidad de periodos de 5,730 años que se han cumplido hasta hoy y la variable y representa la cantidad de C-14 que tiene actualmente el fósil. En 325,000 años hay \approx 56.719 periodos de 5,730 años. Entonces, la masa de C-14 que encontraron en ese fósil es de:

    \begin{equation*}    y = m\cdot\left(\frac{1}{2^x}\right) = 32\cdot\left(\frac{1}{2^{56.719}}\right) \approx 2.6979\times 10^{-16}\mbox{ gr de C-14.} \end{equation*}


También hay otros problemas en los que podemos aplicar el concepto de variación exponencial.


Ejemplo

Un estudiante diluyó una botella de un ácido agregando agua hasta llenar la botella cada vez que ésta se encontraba a la mitad de su nivel. Realizó esto cinco veces revolviendo el contenido perfectamente después de agregar agua. La botella tenía inicialmente una concentración del 16%. ¿Cuál es la concentración del ácido ahora?

Observa que la concentración del ácido cada vez disminuía a la mitad. Esto nos indica que tenemos una variación exponencial. Inicialmente la concentración del acido era del 16%. Si y es la concentración del ácido después de haberla diluído x veces, tenemos:

    \begin{equation*}    y = 16\cdot\left(\frac{1}{2^x}\right) \end{equation*}

En este caso tenemos x = 5, así que:

    \begin{equation*}    y(5) = 16\cdot\left(\frac{1}{2^5}\right) = \frac{16}{32} = \frac{1}{2} = 0.5\% \end{equation*}

Entonces, la concentración del ácido después de 5 veces de haber disuelto es de 0.5%.


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