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Triángulo de Pascal

Aprenderás a aplicar el Triángulo de Pascal y Binomio de Newton para elevar un binomio a alguna potencia entera.

En matemáticas hay muchos trucos para simplificar los procedimientos y cálculos. Para los productos notables el truco consiste en el triángulo de Pascal.


 \begin{center} 1\\ 1\hspace{4ex}1\\ 1\hspace{4ex}2\hspace{4ex}1\\ 1\hspace{4ex}3\hspace{4ex}3\hspace{4ex}1\\ 1\hspace{4ex}4\hspace{4ex}6\hspace{4ex}4\hspace{4ex}1\\ 1\hspace{4ex}5\hspace{4ex}10\hspace{4ex}10\hspace{4ex}5\hspace{4ex}1\\ 1\hspace{4ex}6\hspace{4ex}15\hspace{4ex}20\hspace{4ex}15\hspace{4ex}6\hspace{4ex}1 \end{center}

Para formarlo empezamos con el 1 del primer renglón. Después escribimos el segundo renglón: 1\hspace{4ex}1. Para obtener los siguientes renglones siempre vamos a sumar los números que estén uno al lado del otro.

Por ejemplo, para obtener el 2 que está en el tercer renglón sumamos 1+1 del segundo renglón.

Cada renglón n contiene enlistados los coeficientes del binomio elevado a la potencia n-1.

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Si observas el triángulo de Pascal, en el segundo renglón tenemos los coeficientes de (x + a)^1 = a + b, que son 1 y 1. En el tercer renglón tenemos los coeficientes de (x + a)^2 = x^2 + 2\,a\,x + a^2, que son 1, 2 y 1, y así sucesivamente.

Una forma sencilla de encontrar los coeficientes del resultado de elevar el binomio (x + a)^n consiste en observar el segundo coeficiente. Si el coeficiente es n, esos son los que buscas. Por ejemplo, el renglón donde el segundo coeficiente 5 indica que son los coeficientes del resultado de elevar (x + a)^5.


Ejemplo 1

Calcular: (x + a)^5

Empezamos escribiendo los coeficientes que tomamos del renglón que corresponde.
Después escribimos la literal x junto a todos los coeficientes:

    \begin{equation*}    1\,x\hspace{4ex}5\,x\hspace{4ex}10\,x\hspace{4ex}10\,x\hspace{4ex}5\,x\hspace{4ex}1\,x \end{equation*}

Ahora vamos a escribir los exponentes de esas literales. Empezamos con el exponente al cual estamos elevando el binomio, en este caso, 5, y conforme avanzamos a la derecha, los exponentes van disminuyendo, uno en cada literal:

    \begin{equation*}    1\,x^5\hspace{4ex}5\,x^4\hspace{4ex}10\,x^3\hspace{4ex}10\,x^2\hspace{4ex}5\,x^1\hspace{4ex}1\,x^0 \end{equation*}

Ahora escribimos la otra literal, a junto a cada literal x:

    \begin{equation*} 1\,x^5a\hspace{4ex}5\,x^4a\hspace{4ex}10\,x^3a\hspace{4ex}10\,x^2a\hspace{4ex}5\,x^1a\hspace{4ex}1\,x^0a \end{equation*}

El siguiente paso consiste en escribir los exponentes de a. Ahora empezamos \textsl{de izquierda a derecha}, también empezando con el exponente al cual estamos elevando el binomio:

    \begin{equation*} 1\,x^5a^0\hspace{4ex}5\,x^4a^1\hspace{4ex}10\,x^3a^2\hspace{4ex}10\,x^2a^3\hspace{4ex}5\,x^1a^4\hspace{4ex}1\,x^0a^5 \end{equation*}

Observa que la suma de los exponentes de cada término es igual al exponente al cual estamos elevando el binomio.
Ahora lo único que falta es escribir los signos de + entre los términos y simplificar usando la ley \textsl{(iv)}.

    \begin{equation*}    (x + a)^5 = x^5 + 5\,x^4a^1 + 10\,x^3a^2 + 10\,x^2a^3 + 5\,x^1a^4 + a^5 \end{equation*}

y hemos terminado.


Puedes verificar que este resultado es correcto multiplicando el binomio x+a por sí mismo cinco veces.

Como ves, este método es muy directo. Solo se requiere escribir el triángulo de Pascal hasta el renglón n+1 para calcular (x + a)^n. Sin embargo, hay otro método más corto, este método se conoce como el Binomio de Newton.


Binomio de Newton

El binomio de Newton es otro artificio matemático que puede utilizarse para calcular la potencia de un binomio.

En este caso se requieren algunos conceptos previos.


Factorial

El factorial del número natural n, que se denota n!, es igual al producto de todos los números naturales, desde 1 hasta n.

    \begin{equation*}    n!=n\,(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot2\cdot1 \end{equation*}


Una definición que se utiliza en el binomio de Newton, y que depende de la definición de factorial, es la siguiente:


Combinaciones

El número de combinaciones de m objetos distintos, tomando k objetos a la vez, es:

    \begin{equation*}    \binom{m}{k} = \frac{m!}{k! \cdot (m - k)!} \end{equation*}


En el binomio de Newton se consideran las combinaciones porque para justificar este método se utiliza un método de multiplicación que se conoce como el \textsl{exponente fijo}, y este método consiste en buscar de cuántas formas distintas podemos multiplicar los términos de dos polinomios para obtener un exponente dado.

Ahora, la definición del binomio de Newton.


Binomio de Newton

La potencia de un binomio puede calcularse con la siguiente fórmula:

    \begin{equation*} (x+a)^n=\binom{n}{0}\,x^n + \binom{n}{1}\,x^{n-1}\,a + \cdots +         \binom{n}{n-1}\,x\,a^{n-1} + \binom{n}{n}\,a^n \end{equation*}




Una pregunta que seguramente tendrás es la siguiente, ¿por qué 0!=1? He aquí un argumento que parece justificarlo.


Teorema

0! = 1

Sabemos que el factorial tiene la siguiente propiedad:

    \begin{equation*}    (k+1)!=(k+1)\cdot k! \end{equation*}

por la forma como se definió. Si hacemos k=0, obtenemos:

    \begin{eqnarray*}    (0 + 1)! &=& (0 + 1) \cdot 0!\\    1! &=& 1 \cdot 0!\\    1 &=& 0! \end{eqnarray*}




Con este método, no se requiere calcular los coeficientes de las potencias anteriores del binomio que vamos a elevar a la potencia n, sino que de manera directa los calculamos.

Por ejemplo, si necesitamos calcular (x + a)^{100}, con el triángulo de Pascal tendríamos que encontrar los cien renglones anteriores para poder conocer los coeficientes de este polinomio (están en el renglón 101), pero con el binomio de Newton, podemos encontrarlos directamente a través de las combinaciones.

Como ejemplo, vamos a calcular (x + a)^5.


Ejemplo 2

Calcula: (x+a)^5

Empezamos calculando primero los valores de los coeficientes, de acuerdo a la definición de combinaciones:
Enseguida está el cálculo del primer coeficiente, que ya sabemos, es igual a 1:

    \begin{eqnarray*}    \binom{5}{0}=\frac{5!}{5!}=1 \end{eqnarray*}

El siguiente es el segundo coeficiente:

    \begin{eqnarray*}    \binom{5}{1}=\frac{5!}{4!}=\frac{5\cdot\cancel{4!}}{\cancel{4!}}=5 \end{eqnarray*}

El siguiente es el tercer coeficiente:

    \begin{eqnarray*}    \binom{5}{2}=\frac{5!}{2!\cdot3!}=\frac{5\cdot4\cdot\cancel{3!}}{2\cdot\cancel{3!}}=10 \end{eqnarray*}

El siguiente es el cuarto coeficiente:

    \begin{eqnarray*}    \binom{5}{3}=\frac{5!}{3!\cdot2!}=\frac{5\cdot4\cdot\cancel{3!}}{\cancel{3!}\cdot2}=10 \end{eqnarray*}

El siguiente es el quinto coeficiente:

    \begin{eqnarray*}    \binom{5}{4}=\frac{5!}{4!}=\frac{5\cdot\cancel{4!}}{\cancel{4!}}=5 \end{eqnarray*}

Y finalmente, el sexto coeficiente:

    \begin{eqnarray*}    \binom{5}{5}=\frac{5!}{5!}=1 \end{eqnarray*}

Ahora que tenemos los coeficientes, procedemos como lo hicimos con el triángulo de Pascal, con lo que de nuevo obtendremos:

    \begin{eqnarray*}    (x+a)^5&=&1\,x^5+5\,x^4a^1+10\,x^3a^2+10\,x^2a^3+5\,x^1a^4+1a^5\\    &=&x^5+5\,x^4a+10\,x^3a^2+10\,x^2a^3+5\,x\,a^4+a^5 \end{eqnarray*}


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