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Triangulación de polígonos

Aprenderás a calcular el perímetro y el área de polígonos dividiéndolos en triángulos y calculando el área de cada parte.

Para calcular el área de un polígono de n lados nos apoyaremos en la fórmula para calcular el área de un triángulo. Empezamos dibujando n-2 diagonales que partan de un mismo vértice:

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Ahora calculamos el área de cada uno de los triángulos que hemos formado dentro del polígono. La suma de todas las áreas de los triángulos es igual al área del polígono.


Ejemplo 1

Calcula el área del cuadrilátero mostrado:

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Empezamos dibujando dos triángulos dentro del cuadrilátro trazando una de sus diagonales:

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Ahora tenemos que calcular el área de dos triángulos. Uno de los triángulos es rectángulo. Su base y altura se han indicado en la figura. Calcular su área es inmediato:

    \begin{equation*}    A_1 = \frac{(5)(1)}{2} = \frac{5}{2}\mbox{ cm}^2 \end{equation*}

Para calcular el área A_2 del otro triángulo necesitamos medir su altura, como se muestra en la siguiente figura:

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Ahora que sabemos que h = 2.75 cm y la base de ese triángulo mide b = 5.1 cm, podemos calcular el área A_2:

    \begin{equation*}    A_2 = \frac{(5.1)(2.75)}{2} = 7.0125\mbox{ cm}^2 \end{equation*}

Al sumar A_1 + A_2 obtenemos el área del cuadrilátero:

    \begin{equation*}    A = A_1 + A_2 = 2.5\mbox{ cm}^2 + 7.0125\mbox{ cm}^2 = 9.5125\mbox{ cm}^2 \end{equation*}


De esta manera podemos triangular cualquier polígono para calcular su área.


Ejemplo 2

Calcula el área del siguiente polígono por medio de triangulación:

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Empezamos dibujando las diagonales del pentágono:

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Ahora solo calculamos el área de cada uno de los triángulos que hemos formado y sumamos estos valores para obtener el área del pentágono:

    \begin{eqnarray*}    A_1 &=& \frac{(4)(2)}{2} = 4\mbox{ cm}^2\\    A_2 &=& \frac{(5)(2)}{2} = 5\mbox{ cm}^2\\    A_3 &=& \frac{(5)(2)}{2} = 5\mbox{ cm}^2 \end{eqnarray*}

Y el área del polígono es:

    \begin{equation*}    A = A_2 + A_2 + A_3 = 4\mbox{ cm}^2 + 5\mbox{ cm}^2 + 5\mbox{ cm}^2 = 14 \mbox{ cm}^2 \end{equation*}


Algunas veces conviene considerar un punto dentro del polígono en lugar de un vértice para formar la triangulación.


Ejemplo 3

Calcula el área del terreno poligonal siguiente. El plano del terreno se ha cuadriculado para su medición.

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Empezamos trazando segmentos de recta desde cada vértice del polígono al punto de referencia C marcado en el terreno. Así que trazamos los segmentos de recta como se muestran en la siguiente figura:

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Ahora calculamos el área de cada triángulo:

     \begin{minipage}{0.45\linewidth} % \begin{eqnarray*} A_1 &=& \frac{(3)(3)}{2} = 4.5\mbox{ m}^2\\ A_2 &=& \frac{(3)(2)}{2} = 3\mbox{ m}^2\\ A_3 &=& \frac{(3)(2)}{2} = 3\mbox{ m}^2\\ A_4 &=& \frac{(3)(2)}{2} = 3\mbox{ m}^2 \end{eqnarray*} % \end{minipage} % \hfill % \begin{minipage}{0.45\linewidth} % \begin{eqnarray*} A_5 &=& \frac{(3)(2)}{2} = 3\mbox{ m}^2\\ A_6 &=& \frac{(3.61)(1.94)}{2} = 3.5\mbox{ m}^2\\ A_7 &=& \frac{(2)(3)}{2} = 3\mbox{ m}^2\\ \sum A_i &=& 23 \mbox{ m}^2 \end{eqnarray*} % \end{minipage}

Entonces, el área del heptágono es: 26 metros cuadrados.


El mismo problema puede atacarse de otra forma: primero calculamos el área de la cuadrícula que se dibujó sobre el plano del terreno y a esta área le restamos las áreas de los triángulos que quedan alrededor del terreno, sobre la cuadrícula.


Ejemplo 4

Calcula el área y el perímetro del terreno del ejemplo anterior calculando el área de la cuadrícula primero y después restando el área de los triángulos que quedan alrededor.

Empezamos trazando los triángulos que quedan fuera del terreno sobre la cuadrícula:

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La cuadrícula tiene 30 m^2 de área; 6\times5 = 30. Observa que los triángulos A_1, A_2 y A_3 tienen una base de 2 metros y una altura de 1 m. Por lo tanto, cada uno de ellos tiene un área de 1 metro cuadrado. El triángulo A_4 tiene un área de:

    \begin{equation*}    A_4 = \frac{(3)(2)}{2} = 3 \mbox{ m}^2 \end{equation*}

Además hay un cuadrado de área en la esquina inferior derecha de la cuadrícula que no pertenece al terreno.
Entonces, el área del terreno es:

    \begin{eqnarray*}    A &=& A_{\mathrm{cuadr\'icula}} - A_{\mbox{\scriptsize externa}}\\ 	&=& \underset{\mbox{\scriptsize cuadr\'icula}}{\underbrace{30}}     - [\underset{\mbox{\scriptsize $A_1,A_2,A_3$}}{\underbrace{(3)(1)}} - \underset{\mbox{\scriptsize $A_4$}}{\underbrace{3}} - \underset{\mbox{\scriptsize 1 m$^2$}}{\underbrace{1}}]\\ 	&=& 23 \mbox{ m}^2 \end{eqnarray*}

Como era de esperarse, debemos obtener el mismo resultado usando ambos procedimientos. Este nuevo procedimiento lo llamaremos triangulación externa. Generalmente la triangulación externa es tan exacta que la triangulación (interna), aunque con frecuencia no requiere del cálculo de área a partir de aproximaciones. Recuerda que para calcular el área del triángulo necesitamos de las medidas de la base y la altura.

Algunas veces vamos a hacer mediciones y obtendremos aproximaciones a los valores reales de estas medidas. Por eso, algunas veces es preferible usar el método de triangulación externa.

Para calcular el perímetro vamos a aplicar el teorema de Pitágoras. Empezamos observando que algunos lados del terreno tienen lados enteros, mientras que otros son la diagonal de triángulos rectángulos. Apliquemos el Teorema de Pitágoras para calcular su longitud. La hipotenusa del triángulo A_4 es:

    \begin{equation*}     h_4 = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\mbox{ m} \end{equation*}

La hipotenusa de cada uno de los triángulos A_1, A_2 y A_3 es:

    \begin{equation*}    h = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\mbox{ m} \end{equation*}

Mostramos el terreno con las longitudes de todos sus lados:

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El perímetro no es sino la suma de las longitudes de todos los lados del terreno:

    \begin{equation*}    P = 3 + 3\,\sqrt{5} + 3 + \sqrt{13} + 2 = 8 + \sqrt{13} + 3\,\sqrt{13} \approx 18.314\mbox{ metros} \end{equation*}


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