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Trazado de curvas

Aprenderás a realizar un análisis cualitativo de la gráfica de la función aplicando la idea de derivada.

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Con la primera derivada de una función sabemos dónde es creciente o decreciente y dónde tiene puntos críticos, es decir, dónde deja de ser creciente y empieza a ser decreciente o viceversa. Con la segunda derivada conocemos la concavidad de la función y sus puntos de inflexión, es decir, dónde cambia su concavidad. Toda esta información nos ayuda a hacer bosquejos de la gráfica de una función rápidmente.


Ejemplo

Realiza un bosquejo de la gráfica de la función:

    \begin{equation*}    y = {x}^{3} - 7\,x + 6 \end{equation*}

Empezamos calculando la primera derivada para conocer dónde es creciente y dónde es decreciente:

    \begin{equation*}    \frac{dy}{dx} = 3\,x^2 - 7 \end{equation*}

Ahora graficamos la primera derivada de la función:

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Observa que la derivada tiene dos raíces, es decir, la función tiene dos puntos críticos.
Calcularlos es sencillo: igualamos a cero la primera derivada y resolvemos para x:

    \begin{equation*}    3\,x^2 - 7 = 0\qquad\Rightarrow\qquad x = \pm\sqrt{\frac{7}{3}} \end{equation*}

Antes de -\sqrt{7/3}, la primera derivada es positiva.

Esto es, en el intervalo (-\infty,-\sqrt{7/3}) la función es creciente. Igualmente, después de \sqrt{7/3}, la primera derivada es positiva también. Es decir, en el intervalo (\sqrt{7/3},\infty) la función es creciente.
Por otra parte, en el intervalo (-\sqrt{7/3},\sqrt{7/3}) la primera derivada es negativa.

En otras palabras, la función es decreciente en el intervalo: (-\sqrt{7/3},\sqrt{7/3}). La función tiene dos puntos críticos: x_1 = -\sqrt{7/3} y x_2 = \sqrt{7/3}. Dado que antes de -\sqrt{7/3} es creciente y después decreciente, el punto crítico es un máximo. Por otra parte, antes de \sqrt{7/3} la función es decreciente y después es creciente, por lo que es un mínimo. Ahora vamos a calcular la segunda derivada de la función:

    \begin{equation*}    \frac{dy^{2}}{dx^{2}} = 6\,x \end{equation*}

Cuando x es positiva, la segunda derivada es positiva. Esto nos indica que función tiene concavidad hacia arriba para x > 0. Y para x < 0 la función tiene concavidad hacia abajo. El único punto de inflexión de la función es x = 0. Es decir, la concavidad de la función solamente cambia una vez. Con esta información podemos hacer un bosquejo de la grafica de la función:

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Ejemplo

Haz un bosquejo de la gráfica de la función:

    \begin{equation*}    y = x^3 - 13\,x - 12 \end{equation*}

utilizando la información obtenida con la primera y segunda derivadas.

La primera derivada de la función es la siguiente:

    \begin{equation*}    \frac{dy}{dx} = 3\,x^2 - 13 \end{equation*}

La primera derivada es positiva (y por tanto, la función creciente) para:

    \begin{equation*}    3\,x^2 - 13 > 0 \qquad\Rightarrow\qquad x^2 > \frac{13}{3} \qquad\Rightarrow\qquad x < -\sqrt{\frac{13}{3}},\mbox{ y para } x > \sqrt{\frac{13}{3}} \end{equation*}

La primera derivada es negativa (y la función decreciente) para el intervalo (-\sqrt{13/3}, \sqrt{13/3}). Los puntos críticos de la función están en x_1 = -\sqrt{13/3} y x_2 = \sqrt{13/3}. El primer punto crítico corresponde a un máximo, porque antes la función es creciente y después es decreciente. El segundo punto crítico es un mínimo, porque antes la función es decreciente y después es creciente. Ahora vamos a ver dónde cambia la concavidad de la función:

    \begin{equation*}    \frac{dy^{2}}{dx^{2}} = 6\,x \end{equation*}

Al igual que en el ejemplo anterior, la función cambia de concavidad en x = 0. La gráfica de la función es la siguiente:

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Ejemplo

Realiza un bosquejo de la gráfica de la función:

    \begin{equation*}    y = x^4 - 8\,x^3 + 18\,x^2 - 27 \end{equation*}

utilizando la información obtenida de la primera y segunda derivadas.

La primera derivada de la función es:

    \begin{equation*}    \frac{dy}{dx} = 4\,x^3 - 24\,x^2 + 36\,x = 4\,x\cdot\left(x^2 - 6\,x + 9\right) = 4\,x\,(x - 3)^2 \end{equation*}

De donde, inmediatamente podemos calcular los puntos críticos de la función:

    \begin{equation*}    x_1 = 0\qquad x_2 = 3\qquad x_3 = 3 \end{equation*}

Nos vamos a dar cuenta con la segunda derivada si se tratan de máximos o mínimos:

    \begin{equation*}    \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 12\,x^2 - 48\,x + 36 \end{equation*}

Vamos a evaluar los puntos críticos en la segunda derivada de la función:

    \begin{equation*}    \left.\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right\vert_{x=0} = 36 > 0 \end{equation*}

Esto nos indica que el punto crítico x_1 = 0 es un mínimo. Entonces, antes de x = 0 la función es decreciente y después es creciente. Observa que y(0) = -27. Es decir, la ordenada al origen de la función es: B(0,-27). Los siguientes dos puntos críticos son repetidos: x_2 = x_3 = 3.

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    \begin{equation*}    \left.\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right\vert_{x=3} = 0 \end{equation*}

Entonces, se trata de un punto de inflexión. Recuerda que después de x = 0 la función es creciente. Dado que x = 3 es un punto de inflexión, éste no es ni máximo ni mínimo. En otras palabras, la función es creciente tanto antes como después de x = 3. En este punto (x=3) solamente hay un cambio en la concavidad de la gráfica de la función. La gráfica de la función se da enseguida:

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De la gráfica se hace evidente que falta por calcular otro punto de inflexión que está entre x=0 y x = 3. Para eso, vamos a igualar la segunda derivada a cero y a resolver:

    \begin{eqnarray*}    x_\mathrm{inf} &=& \frac{-(-48) \pm\sqrt{(-48)^2 - 4\,(12)(36)}}{2\,(12)}\\    &=& \frac{48\pm\sqrt{2\,304 - (1\,728)}}{24}\\    &=& \frac{48\pm\sqrt{576}}{24}  \end{eqnarray*}

Ya sabemos que x = 3 es un punto de inflexión, el otro es;

    \begin{equation*}    x_{\mathrm{inf}} = \frac{48 - \sqrt{576}}{24} = \frac{48 - 24}{24} = 1 \end{equation*}

Y hemos terminado.


Debes observar que la primera derivada y la segunda derivada nos dan información acerca del comportamiento de la función. Por una parte, la primera derivada nos dice cómo crece o decrece la función, y dónde podría tener máximos, mínimos o puntos de inflexión.

La segunda derivada nos indica cómo cambia la primera derivada. Es decir, nos dice cómo se comporta la razón de cambio instantánea de la función. Geométricamente, la segunda derivada nos dice cómo se comportan las
pendientes de las rectas tangentes a la gráfica de la función. Cuando la segunda derivada es positiva, las pendientes van creciendo. Cuando es negativa, las pendientes van decreciendo.


Ejemplo

Describe cómo se comporta la razón de crecimiento de la función:

    \begin{equation*}    y = x^3 \end{equation*}

Empezamos calculando la primera derivada de la función:

    \begin{equation*}    \frac{dy}{dx} = 3\,x^2 \end{equation*}

Dado que x^2 siempre es positivo, independientemente del valor de x, la función siempre es creciente. Ahora vamos a ver qué tan rápido crece en diferentes intervalos. Para eso utilizaremos la segunda derivada de la función:

    \begin{equation*}    \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 6\,x \end{equation*}

Cuando x > 0, la razón de crecimiento de la función es positiva. En otras palabras, la pendiente de la recta tangente va creciendo cada vez más cuando x > 0. Por otra parte, cuando x < 0 ocurre lo contrario: la pendiente de la recta tangente va decreciendo cada vez más. ¿Cómo es posible que la pendiente de la recta tangente vaya decreciendo siendo la función creciente siempre? La gráfica de la función y = x^3 nos lo explica de una manera visual.

La pendiente de la recta tangente a la función va decreciendo conforme nos acercamos a x = 0 y a partir de ese mismo punto la pendiente empieza a crecer. La concavidad de la función cambia en ese punto, porque es un punto de inflexión (y''(0) = 0). Además, las pendientes son siempre no negativas, debido a que la primera derivada de la función (y' = 3\,x^2) siempre es no negativa.

En el único punto donde la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función es cero ocurre en el punto de inflexión, porque entonces, y'' = 6\,x = 0. Enseguida se muestra la gráfica de la función:

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Ejemplo

Una partícula recorre x(t) = t^3 - t^2 + t + 1 metros en t segundos.

  • i Calcula la velocidad y aceleración de la partícula.
  • i ¿En qué instantes (valores de t) la velocidad se hace cero?
  • i ¿En qué instantes (valores de t) la aceleración se hace cero?

Recuerda que la velocidad de la partícula se calcula con la primera derivada, mientras que la velocidad se calcula con la segunda derivada de la función. La velocidad v(t), entonces, de la partícula es:

    \begin{equation*}    v(t) = \frac{dy}{dx} = 3\,t^2 - 2\,t + 1 \end{equation*}

Y su aceleración a(t), es:

    \begin{equation*}    a(t) = \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 6\,t - 2 \end{equation*}

Para concer los valores de t para los cuales la velocidad se hace cero, se requiere igualar a cero la primera derivada y resolver para t:

    \begin{equation*}    v(t) = 0\qquad\Rightarrow\qquad 3\,t^2 - 2\,t + 1 = 0 \end{equation*}

Para resolverla usamos la fórmula general:

    \begin{eqnarray*} v &=& \frac{-(-2) \pm\sqrt{(-2)^2 - 4\,(3)(1)}}{2\,(3)}\\  &=& \frac{2\pm\sqrt{4 - 12}}{6}\\  &=& \frac{1\pm i\,\sqrt{2}}{3} \end{eqnarray*}

Entonces, dado que las dos raíces de la ecuación son complejas, la velocidad nunca se hace cero. Ahora vamos a calcular los valores de t cuando a(t) = 0.

    \begin{equation*}    6\,t - 2 = 0\qquad\Rightarrow\qquad t = \frac{1}{3} \approx 0.333 \end{equation*}

Entonces, para t = 0.333 segundos, la aceleración de la partícula es cero. Se te queda como ejercicio graficar la función de posición de la partícula con respecto al tiempo.


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