Cuando una función es continua en un intervalo, digamos , entonces, dado que la función no se corta en ese intervalo, los valores de
que va devolviendo esa función en ese intervalo están entre
y
, al menos. Es posible que suba más allá de
ó
, aunque no siempre ocurrirá, pero siempre tomará todos los valores entre esos dos límites. Eso es de lo que habla el teorema del valor intermedio.
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Teorema del valor intermedio

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En otras palabras, una función continua toma todos los valores entre y
cuando los valores de
cambian desde
hasta
. La siguiente gráfica muestra esto de una manera más clara:
Cuando el valor va subiendo, los valores de
van moviéndose hacia la derecha (para la gráfica de la función mostrada) y cuando
va bajando sobre el eje
, los valores de
van moviéndose hacia la izquierda. Geométricamente este teorema nos dice que la línea horizontal
corta a la gráfica de la función
en al menos un punto cuando es continua en el intervalo
y se cumple que
y
.
Es posible que corte a la gráfica de la función en varios puntos. Por ejemplo, si dibujamos el punto después del máximo que se dibujó, es posible para algunos puntos de la gráfica que la recta horizontal corte en dos de sus puntos.
Ejemplo 1
Demuestra que la función:
tiene una raíz en el intervalo .
Para eso vamos a aplicar el teorema del valor intermedio. Como la función es polinomial es continua en todo el conjunto de los números reales. Si para algún
que está en el intervalo
, hacemos
, y
, y evaluamos la función en esos puntos:
Por lo que satisface con la condición de que . Entonces, por la continuidad de la función, debe existir un número
en el intervalo
tal que
.
Observa que no hemos dicho cómo calcular el valor de que es raíz de la función dada. Solamente sabemos que existe. Tampoco podemos asegurar que sea único.
En realidad este es el teorema que utilizamos cuando decimos que una función polinomial de grado impar tiene al menos una raíz real porque para valores positivos y grandes de los valores que va devolviendo la función se hacen positivos para algún
suficientemente grande, y cuando
es negativo y muy grande, los valores que devuelve la función son negativos.
Entonces, dado que toda función polinomial es continua en todo el conjunto de los números reales, si elegimos el intervalo con
tal que
sea un número negativo y
tal que
positivo, entonces, por el teorema de valor intermedio, existe un número
en el intervalo
tal que
y satisface:
.
Ejemplo 2
Demuestra que una raíz de la función:
está en el intervalo
Vamos a evaluar la función en los extremos del intervalo:
Como es negativo,
es positivo y la función es continua, dado que el denominador nunca se hace cero, una de sus raíces está en el intervalo
.
Precisamente eso es lo que suponemos cuando graficamos esa función. Dado que el denominador nunca se hace cero, vamos dando valores a y calculando los que le corresponden a
. Ubicamos esos puntos en el plano cartesiano y después unimos esos puntos con una curva suave que pase por todos ellos.
Ejemplo 3
Demuestra que la ecuación:
tiene una solución en el intervalo .
Evaluamos la función en
y
:
Entonces, por el teorema de valor intermedio, haciendo ,
y
, existe un número
en
tal que
.
Para cualquier función continua en del intervalo ,
es un número finito. Es decir, existe un número
finito que es el máximo valor que toma la función para algún valor
. Lo mismo se puede decir para el mínimo: existe un valor
tal que
siendo
el mínimo valor que toma la función en el intervalo
. Esto es lo que se plasma en el siguiente teorema.
Teorema

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Para el caso en que la función es constante, , todos los valores que nos devuelve la función siempre es el mismo, digamos
. Cuando la función no es constante, tenemos el caso más general.
La función que se muestra en la gráfica es continua en el intervalo . Para
la función adquiere el mínimo en ese intervalo, y para
adquiere el máximo. Observa que fuera del intervalo la función puede tomar valores mayores a
así
como puede tomar valores menores a . Nosotros nos concentramos en los valores que pertenecen al intervalo, es decir, que
satisfacen la desigualdad: .
Ejemplo 4
Si es una función continua en el intervalo
y solamente toman valores enteros, ¿qué podemos decir de esta función?
Dado que esta función es continua, no puede presentar saltos en su gráfica. Es decir, no puede parecerse a la función escalón.
Si pudiera tomar dos valores distintos y
estos valores deberían ser enteros. Por el teorema del valor intermedio debería existir un número
tal que
, y:
Pero para que la función sea continua, debe tomar todos los valores entre
y
, incluyendo números no enteros. Entonces, la función debe tener un solo valor, de otra forma, presentaría saltos. En otras palabras, la función es constante en ese intervalo.
En este caso, el máximo y el mínimo de la función son el mismo valor. Por ejemplo, si con
entero, entonces,
, debido a que
.
Ejemplo 5
Si las funciones y
son continuas en el intervalo
, y además
y también
, demuestra que existe un
en ese intervalo que cumple:
.
Utilizando el teorema del valor intermedio, hacemos , donde
. Este valor
existe en el intervalo
porque la función es continua dentro del intervalo.
Como la función también es continua, existe al menos un valor
en el intervalo para el cual
. Como las funciones son continuas, no presentan saltos en sus valores. Entonces, en un punto deben cortarse si se satisfacen
y
. Es decir, un punto
pertenece a ambas gráficas. Por eso, satisfacen
.
La gráfica muestra exactamente eso:
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