Teorema de valor intermedio

Cuando una función es continua en un intervalo, digamos $[a,b]$ , entonces, dado que la función no se corta en ese intervalo, los valores de $y$ que va devolviendo esa función en ese intervalo están entre $f(a)$ y $f(b)$ , al menos. Es posible que suba más allá de $f(a)$ ó $f(b)$ , aunque no siempre ocurrirá, pero siempre tomará todos los valores entre esos dos límites. Eso es de lo que habla el teorema del valor intermedio.

Contenido

1 Teorema del valor intermedio
2 Ejemplo 1
3 Ejemplo 2
4 Ejemplo 3
5 Teorema
6 Ejemplo 4
7 Ejemplo 5

Teorema del valor intermedio

Sea $y = f(x)$ una función continua en el intervalo $[a, b]$ (cerrado) y sea $k$ un número entre $f(a)$ y $f(b)$ . Entonces, existe un número $x_0$ en el intervalo $[a,b]$ (es decir, $a \leq x_0 \leq b$ ) que satisface: $f(x_0) = k$ .

En otras palabras, una función continua toma todos los valores entre $f(a)$ y $f(b)$ cuando los valores de $x$ cambian desde $a$ hasta $b$ . La siguiente gráfica muestra esto de una manera más clara:

Cuando el valor $k$ va subiendo, los valores de $x_0$ van moviéndose hacia la derecha (para la gráfica de la función mostrada) y cuando $k$ va bajando sobre el eje $y$ , los valores de $x_0$ van moviéndose hacia la izquierda. Geométricamente este teorema nos dice que la línea horizontal $y = k$ corta a la gráfica de la función $y = f(x)$ en al menos un punto cuando es continua en el intervalo $[a,b]$ y se cumple que $k = f(x_0)$ y $a \leq x_0 \leq b$ .

Es posible que corte a la gráfica de la función en varios puntos. Por ejemplo, si dibujamos el punto $b$ después del máximo que se dibujó, es posible para algunos puntos de la gráfica que la recta horizontal corte en dos de sus puntos.

Ejemplo 1

Demuestra que la función:

$\begin{equation*} y = x^3 - x^2 + x + 1 \end{equation*}$

tiene una raíz en el intervalo $[-1,1]$ .

Para eso vamos a aplicar el teorema del valor intermedio. Como la función es polinomial es continua en todo el conjunto de los números reales. Si $N = f(x_0) = 0$ para algún $x_0$ que está en el intervalo $[-1,1]$ , hacemos $a = -1$ , y $b = 1$ , y evaluamos la función en esos puntos:

$\begin{eqnarray*} y(-1) &=& (-1)^3 - (-1)^2 + (-1) + 1 = -2 < 0\\ y(1) &=& (1)^3 - (1)^2 + (1) + 1 = 2 > 0 \end{eqnarray*}$

Por lo que satisface con la condición de que $f(a) \leq k \leq f(b)$ . Entonces, por la continuidad de la función, debe existir un número $x_0$ en el intervalo $[a,b]$ tal que $f(x_0) = 0$ .

Observa que no hemos dicho cómo calcular el valor de $x_0$ que es raíz de la función dada. Solamente sabemos que existe. Tampoco podemos asegurar que sea único.

En realidad este es el teorema que utilizamos cuando decimos que una función polinomial de grado impar tiene al menos una raíz real porque para valores positivos y grandes de $x$ los valores que va devolviendo la función se hacen positivos para algún $x$ suficientemente grande, y cuando $x$ es negativo y muy grande, los valores que devuelve la función son negativos.

Entonces, dado que toda función polinomial es continua en todo el conjunto de los números reales, si elegimos el intervalo $[p,q\]$ con $p$ tal que $f(p)$ sea un número negativo y $q$ tal que $f(q)$ positivo, entonces, por el teorema de valor intermedio, existe un número $x_0$ en el intervalo $[p,q\]$ tal que $p \leq x_0 \leq q$ y satisface: $f(x_0) = 0$ .

Ejemplo 2

Demuestra que una raíz de la función:

$\begin{equation*} y = \frac{x^3 + x^2 - x + 1}{x^2 + 1} \end{equation*}$

está en el intervalo $[-5,0]$

Vamos a evaluar la función en los extremos del intervalo:

$\begin{eqnarray*} y(-5) &=& \frac{(-5)^3 + (-5)^2 - (-5) + 1}{(-5)^2 + 1} = \frac{-94}{26} = -\frac{47}{13} < 0\\ y(0) &=& \frac{(0)^3 + (0)^2 - (0) + 1}{(0)^2 + 1} = \frac{1}{1} = 1 > 0 \end{eqnarray*}$

Como $f(-5)$ es negativo, $f(0)$ es positivo y la función es continua, dado que el denominador nunca se hace cero, una de sus raíces está en el intervalo $[-5,0]$ .

Precisamente eso es lo que suponemos cuando graficamos esa función. Dado que el denominador nunca se hace cero, vamos dando valores a $x$ y calculando los que le corresponden a $y$ . Ubicamos esos puntos en el plano cartesiano y después unimos esos puntos con una curva suave que pase por todos ellos.

Ejemplo 3

Demuestra que la ecuación:

$\begin{equation*} \sin x = \cos x \end{equation*}$

tiene una solución en el intervalo $[0,1]$ .

Evaluamos la función $y = \sin x - \cos x$ en $x = 0$ y $x = 1$ :

$\begin{eqnarray*} y(0) &=& \sin (0) - \cos (0) = 0 - 1 = -1 < 0\\ y(1) &=& \sin(1) - \cos(1) = 0.84147 - 0.5403 = 0.30117 > 0 \end{eqnarray*}$

Entonces, por el teorema de valor intermedio, haciendo $M = 0$ , $a = 0$ y $b = 1$ , existe un número $x_0$ en $[0,1]$ tal que $f(x_0) = 0$ .

Para cualquier función continua en del intervalo $[a,b]$ , $f(x_0)$ es un número finito. Es decir, existe un número $M$ finito que es el máximo valor que toma la función para algún valor $x_M$ . Lo mismo se puede decir para el mínimo: existe un valor $x_m$ tal que $f(x_m) = m$ siendo $m$ el mínimo valor que toma la función en el intervalo $[a,b]$ . Esto es lo que se plasma en el siguiente teorema.

Teorema

Sea $y = f(x)$ una función continua en el intervalo $[a,b]$ . Entonces, la función tiene un valor $M$ máximo y un valor $m$ mínimo en ese intervalo.

Para el caso en que la función es constante, $M = m$ , todos los valores que nos devuelve la función siempre es el mismo, digamos $y = k$ . Cuando la función no es constante, tenemos el caso más general.

La función que se muestra en la gráfica es continua en el intervalo $[a,b]$ . Para $x = x_m$ la función adquiere el mínimo en ese intervalo, y para $x = x_M$ adquiere el máximo. Observa que fuera del intervalo la función puede tomar valores mayores a $f(x_M)$ así
como puede tomar valores menores a $f(x_m)$ . Nosotros nos concentramos en los valores que pertenecen al intervalo, es decir, que
satisfacen la desigualdad: $a \leq x \leq b$ .

Ejemplo 4

Si $y = f(x)$ es una función continua en el intervalo $[a,b]$ y solamente toman valores enteros, ¿qué podemos decir de esta función?

Dado que esta función es continua, no puede presentar saltos en su gráfica. Es decir, no puede parecerse a la función escalón.

Si pudiera tomar dos valores distintos $f(x_1)$ y $f(x_2)$ estos valores deberían ser enteros. Por el teorema del valor intermedio debería existir un número $x_0$ tal que $x_1 \leq x_0 \leq x_2$ , y:

$\begin{equation*} f(x_1) \leq f(x_0) \leq f(x_2) \end{equation*}$

Pero para que la función sea continua, $f(x_0)$ debe tomar todos los valores entre $f(x_1)$ y $f(x_2)$ , incluyendo números no enteros. Entonces, la función debe tener un solo valor, de otra forma, presentaría saltos. En otras palabras, la función es constante en ese intervalo.

En este caso, el máximo y el mínimo de la función son el mismo valor. Por ejemplo, si $y = k$ con $k$ entero, entonces, $f(x_m) = f(x_M)$ , debido a que $m = M = k$ .

Ejemplo 5

Si las funciones $y = f(x)$ y $y = g(x)$ son continuas en el intervalo $[a,b]$ , y además $f(a) > g(a)$ y también $f(b) < g(b)$ , demuestra que existe un $x_0$ en ese intervalo que cumple: $f(x_0) = g(x_0)$ .

Utilizando el teorema del valor intermedio, hacemos $k = f(x_0)$ , donde $f(a) \leq f(x_0) \leq f(b)$ . Este valor $x_0$ existe en el intervalo $[a,b]$ porque la función es continua dentro del intervalo.

Como la función $y = g(x)$ también es continua, existe al menos un valor $x_1$ en el intervalo para el cual $f(x_1) = k$ . Como las funciones son continuas, no presentan saltos en sus valores. Entonces, en un punto deben cortarse si se satisfacen $f(a) > g(a)$ y $f(b) < g(b)$ . Es decir, un punto $(x_0,k)$ pertenece a ambas gráficas. Por eso, satisfacen $f(x_0) = g(x_0)$ .