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Teorema de Pitágoras

Aprenderás al teorema de Pitágoras.

En geometría, uno de los teoremas más importantes es el teorema de Pitágoras porque se aplica muy frecuentemente para resolver problemas.


Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo que se encuentra en un plano, la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa. Algebraicamente, si a y b son las longitudes de los catetos del triángulo rectángulo y c es la longitud de su hipotenusa, entonces se cumple:

    \begin{equation*}    c^2 = a^2 + b^2 \end{equation*}


Demostración

Para demostrarlo consideramos el siguiente triángulo:

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Empezamos creando las siguientes figuras utilizando el triángulo considerado:

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En las dos figuras tenemos un cuadrado de lado a + b. Observa que en la figura de la izquierda hay un cuadrado inclinado en medio. Este es un cuadrado porque de los tres ángulos del triángulo rectángulo los dos agudos suman 90\textdegree.

Los tres ángulos que están en cada esquina de la figura de enmedio suman 180\textdegree, y que siempre están los dos ángulos agudos del triángulo rectángulo, que suman 90\textdegree. Luego, el ángulo interno del cuadrilátero que está dentro de la figura de la izquerda mide 90\textdegree, porque la suma de los tres es 180\textdegree. Por lo tanto, el área de este cuadrado es c^2, porque su lado mide c unidades.

Por otra parte, cada triángulo que queda alrededor del cuadrado tiene un área de ab/2, y en total son cuatro. Entonces, el área de los cuatro triángulos es: 2\,ab. En la figura de la derecha, tenemos un cuadrado que tiene longitud de lado a + b. El área de este cuadrado es: a^2 + b^2 + 2\,ab. Comparando las áreas de las dos figuras, obtenemos:

    \begin{equation*}    a^2 + b^2 + 2\,ab = c^2 + 2\,ab \end{equation*}

Al restar 2\,ab en ambos lados de la igualdad obtenemos: a^2 + b^2 = c^2, que es lo que establece el teorema.




El teorema de Pitágoras puede servir para calcular la longitud de uno de los catetos de un triángulo rectángulo, cuando se conocen la hipotenusa y el otro cateto.


Ejemplo 1

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13 cm., y un cateto (horizontal) mide 12 cm. Calcula la longitud x del lado faltante de este triángulo.

Aplicamos el teorema de pitágoras para calcular el valor de x.

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Nosotros conocemos: a = 12, y c = 13. Debemos determinar el valor de b = x:

    \begin{equation*}    a^2 + b^2 = c^2 \qquad \Rightarrow \qquad b = \sqrt{c^2 - a^2} \end{equation*}

Ahora sustituimos los valores conocidos:

    \begin{equation*}    b = \sqrt{(13)^2 - (12)^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 \end{equation*}

Entonces, la longitud del cateto es 5 unidades.


El teorema de Pitágoras está escrito de manera que parece que se desea calcular la longitud de la hipotenusa:


Ejemplo 2

Calcula la longitud de la hipotenusa del triángulo con longitudes de catetos 21 cm y 20 cm, respectivamente.

Aplicamos directamente el teorema:

    \begin{eqnarray*} c^2 &=& a^2 + b^2\\ 	&=& (21)^2 + (20)^2\\ 	&=& 441 + 200\\ 	&=& 841 \end{eqnarray*}

Entonces, la hipotenusa de ese triángulo rectángulo mide: c = \sqrt{841} = 29 cm. El triángulo es semejante al siguiente:

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Igualmente, el teorema de Pitágoras se puede utilizar par verificar que las longitudes de los lados de un triángulo correspondan a un triángulo rectángulo.


Ejemplo 3

El profesor indicó que un triángulo rectángulo tenía sus lados con medidas: 77 cm, 36 cm y 85 cm. Verifica que se trata de un triángulo rectángulo.

Si el triángulo es rectángulo, debe satisfacer el teorema de Pitagoras. Observa que la hipotenusa siempre es el lado de mayor longitud.
En este caso, la hipotenusa mide 85 cm. Verificamos si se trata de un triángulo rectángulo:

    \begin{eqnarray*}    c^2 &=& a^2 + b^2\\    (85)^2 &\overset{?}{=}& (77)^2 + (36)^2\\    7225 &=& 5929 + 1296\qquad\text{S\'i se cumple la igualdad} \end{eqnarray*}

Como las longitudes de los lados del triángulo satisfacen el teorema de Pitágoras, se trata de un triángulo rectángulo.


No siempre obtendremos longitudes de lados del triángulo rectángulo con números enteros. Algunas veces obtendremos números raciones e inclusive números irracionales.


Ejemplo 4

Calcula la longitud de la hipotenusa c del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 7 cm y 4 cm, respectivamente.

En este caso, a = 7, y b = 4.

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Aplicamos el teorema de Pitágoras para calcular la longitud de la hipotenusa de este triángulo rectángulo:

    \begin{equation*}    c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65}\approx 8.062257748 \end{equation*}

Observa que la hipotenusa de este triángulo rectángulo mide un poco más de 8 unidades.


Igualmente, podemos utilizar el teorema de Pitágoras para encontrar geométricamente la posición de puntos en la recta numérica, como se muestra en el siguiente ejemplo.


Ejemplo 5

Encuentra la posición de los puntos \sqrt{2}, \sqrt{3}, y \sqrt{5} en la recta numérica.

Para calcular la posición de x = \sqrt{2} vamos a construir un triángulo con catetos de longitud 1:

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Ahora que conocemos la ubicación del punto x = \sqrt{2} vamos a utilizarla para calcular la posición del punto \sqrt{3}. Para este fin, vamos a dibujar un triángulo con catetos \sqrt{2} y 1. La hipotenusa de este triángulo será de:

    \begin{equation*}    c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{\left(\sqrt{2}\right)^2 + (1)^2} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3} \mbox{ unidades.} \end{equation*}

La figura es la siguiente:

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Finalmente, para calcular la posición del número \sqrt{5}, trazamos un triángulo rectángulo con catetos de longitudes 2 y 1, porque así, la hipotenusa medirá:

    \begin{equation*}    c = \sqrt{(2)^2 + (1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \mbox{ unidades.} \end{equation*}

La figura muestra el trazo:

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Otra forma de encontrar el punto que corresponde a \sqrt{5} en la recta numérica es como sigue: construimos un rectángulo de base \sqrt{3} y altura \sqrt{2}. Trazamos la diagonal de ese rectángulo. La diagonal mide \sqrt{5}, porque:

    \begin{equation*}    D = \sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2 + \left(\sqrt{2}\right)^2} = \sqrt{3 + 2} = \sqrt{5} \end{equation*}

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Muchos problemas aplicados requieren del uso del teorema de Pitágoras. Al igual que en el caso de problemas aplicados, otras ramas de la matemática utilizan muy frecuentemente el teorema de Pitágoras para resolver problemas. Por ejemplo, para calcular la distancia entre dos puntos en geometría analítica, vamos a utilizar una fórmula que consiste en la aplicación del teorema de Pitágoras. En cálculo diferencial e integral, en trigonometría, etc., y en muchas diferentes situaciones vamos a necesitar aplicar este teorema para resolver problemas diversos.


Ejemplo 6

A un poste del cableado eléctrico se le colocará un cable tensor de acero para darle soporte. La altura a la cual se colocará este cable de acero es de 3.5 metros y se fijará a 1.25 metros de la base del poste. ¿Qué longitud tendrá el cable? (Omite el cable requerido para fijarlo)

Tenemos la siguiente situación:

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Necesitamos calcular la hipotenusa del triangulo dibujado a la derecha. Para eso, aplicamos el teorema de pitágoras:

    \begin{equation*}    c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(3.5)^2 + (1.5)^2} = \sqrt{12.25 + 2.25} = \sqrt{14.5} \approx 3.807886553\mbox{ metros.} \end{equation*}

Al cortar el cable antes de colocarlo, deben considerar lo que se requiere para ajustarlo en el suelo y en la parte donde se sujetará del poste.


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