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Sumatorias

Aprenderás la definición de la Integral Definida de funciones de una variable.
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Ya vimos que la integral indefinida nos da como resultado una familia de funciones. Para calcular una función de toda esa familia, debemos definir el valor de la constante de integración, generalmente imponiendo una condición, por ejemplo, que pase por un punto.

La integral definida no nos devuelve como resultado una función, sino un número real. Estas integrales tienen gran importancia para resolver problemas de diversis tipos. Dado que la integral definida se interpreta generalmente como un área, vamos a necesitar conocer la notación de sumatoria.

Sumatoria

La sumatoria de los primeros n términos de una sucesión \{x_i\} se define como:

    \begin{equation*} \sum\limits_{i=1}^{n}{x_i} = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + \cdots + x_n \end{equation*}

En palabras, la sumatoria es igual a la suma de los términos que vamos a considerar.

Ejemplo

Calcula la sumatoria:

    \begin{equation*} \sum\limits_{i=1}^{10}{i} \end{equation*}

En palabras, esta notación nos dice que debemos sumar los números del 1 al 10:

    \begin{equation*} 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 \end{equation*}

Teorema

    \begin{equation*} \sum\limits_{i=1}^{n}{i} = \displaystyle\frac{n\cdot(n+1)}{2} \end{equation*}

Suma de Gauss

La suma de Gauss se refiere a la suma de los primeros n números naturales, y se puede calcular con la siguiente fórmula:

    \begin{equation*} \sum\limits_{i=1}^{n}{i} = \displaystyle\frac{n\cdot(n+1)}{2} \end{equation*}


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Ejemplo

Calcula:

    \begin{equation*} \sum\limits_{i=0}^{5}{(2\,i + 1)} \end{equation*}

Ahora vamos a calcular la suma de los primeros 5 impares:

    \begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^{4}{(2\,i + 1)} &=& [2\,(0) + 1] + [2\,(1) + 1] + [2\,(2) + 1] + [2\,(3) + 1] + [2\,(4) + 1]\\ &=& 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 \end{eqnarray*}

Propiedades de la sumatoria

La sumatoria presenta las siguientes propiedades:

  • (i) \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}{c} = n\cdot c
  • (ii) \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}{c\cdot a_i} = c\sum\limits_{i=1}^{n}{a_i}
  • (iii) \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}{(a_i \pm b_i)} = \sum\limits_{i=1}^{n}{a_i} \pm \sum\limits_{i=1}^{n}{b_i}

Además de la suma de Gauss, tenemos las sumatorias:

Teorema

    \begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n}{i^2} &=& \displaystyle\frac{n\,(n+1)(2\,n+1)}{6}\\ \sum\limits_{i=1}^{n}{i^3} &=& \left(\displaystyle\frac{n\,(n+1)}{2}\right)^2\\ \end{eqnarray*}

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