Setup Menus in Admin Panel

  • LOGIN
  • No hay productos en el carrito.

Suma de ángulos

Aprenderás a calcular la suma de ángulos internos de un polígono.

En esta sección vamos a demostrar algunos teoremas que nos ayudarán a resolver problemas más adelante.

Primero recordamos que la suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo que se encuentra en un plano es 180\textdegree.




Teorema

La suma de los ángulos internos de un polígono de n lados es igual a 180\,(n-2)\textdegree.

Demostración

En un polígono de n lados podemos dibujar n-3 diagonales que forman n-2 triángulos.

Rendered by QuickLaTeX.com

La suma de los ángulos internos de esos triángulos es igual a la suma de los ángulos internos del polígono de n lados. Y como para cada triángulo, la suma de los ángulos internos es 180\textdegree, para los n-2 triángulos que se trazaron la suma es: 180\,(n-2)\textdegree.





Ejemplo 1

Calcula la suma de los ángulos internos de los polígonos de 3, 4, 5, 6, 7 y 8 lados utilizando la fórmula:

    \begin{equation*}    S_{\text{int}} = 180\,(n-2)\textdegree \end{equation*}

Para n = 3, sabemos que la suma es 180\textdegree:

    \begin{equation*}    S_{\text{int}} = 180\,(n-2)\textdegree = 180\,(3-2)\textdegree = 180\textdegree \end{equation*}

Para n=4 se trata de un cuadrilátero. Dentro del cuadrilátero podemos dibujar dos triángulos trazando una de sus diagonales. Entonces la suma debe ser: 2\times180\textdegree = 360\textdegree. Ahora aplicamos la fórmula:

    \begin{equation*}    S_{\text{int}} = 180\,(n-2)\textdegree = 180\,(4-2)\textdegree = 180\,(2)\textdegree = 360\textdegree \end{equation*}

Para el caso n=5 se trata de un pentágono:

    \begin{equation*}    S_{\text{int}} = 180\,(5-2)\textdegree = 180\,(3)\textdegree = 540\textdegree \end{equation*}

Para n = 6 se trata de un hexágono:

    \begin{equation*}    S_{\text{int}} = 180\,(6-2)\textdegree = 180\,(6-2)\textdegree = 180\,(4) = 720\textdegree \end{equation*}

Para n = 7 tenemos un heptágono:

    \begin{equation*}    S_{\text{int}} = 180\,(7-2)\textdegree = 180\,(5)\textdegree = 900\textdegree \end{equation*}

Y finalmente, para n = 8 tenemos un octágono:

    \begin{equation*}    S_{\text{int}} = 180\,(8-2)\textdegree = 180\,(6)\textdegree = 1080\textdegree \end{equation*}


En matemáticas, frecuentemente podemos demostrar un mismo teorema de varias formas. Por ejemplo, el Teorema de Pitágoras tiene más de cien formas diferentes de demostrarse.


Ejemplo 2

Demuestra de una segunda forma que la suma de los ángulos internos de un polígono de n lados es igual a 180\,(n-2)\textdegree.

Empezamos trazando un polígono de n lados y elegimos un punto dentro del mismo. Desde este punto interno trazamos segmentos de recta hasta cada uno de los vértices, como se muestra en la siguiente figura:

Rendered by QuickLaTeX.com

Así hemos formado n triángulos. La suma de los ángulos internos todos esos triángulos es 180\,n\textdegree. Pero los ángulos que están alrededor del punto interno al polígono que sirve de vértice común a todos los triángulos que dibujamos, no son parte de los ángulos internos del polígono. Estos ángulos adyacentes suman 360\textdegree. Así que la suma de los ángulos internos del polígono es:

    \begin{equation*}    S_{\text{int}} = 180\,n\textdegree - 360\textdegree = 180\,(n-2)\textdegree \end{equation*}

Y con esto terminamos la demostración.


De este teorema se desprenden los siguientes corolarios.


Corolario

Cada ángulo de un polígono equiángulo mide (180\,(n-2) / n)\textdegree.


Corolario

La suma de los cuatro ángulos internos de cualquier cuadrilátero es 360\textdegree.



Corolario

Si al menos tres ángulos internos de un cuadrilátero son iguales, entonces todos sus ángulos internos miden lo mismo.



Teorema

La suma de todos los ángulos externos de un polígono de n lados es 360\textdegree.

Demostración

Ya sabemos que la suma de los ángulos internos de un polígono de n lados es igual a 180\,(n-2)\textdegree. Podemos prolongar cada lado en uno de sus sentidos para observar que un ángulo externo y su correspondiente interno adyacente suman 180\textdegree.

Rendered by QuickLaTeX.com

Si sumamos todos los ángulos internos con los externos obtenemos:

    \begin{equation*}    S_{\text{ext}} + S_{\text{int}} = 180\,n\textdegree \end{equation*}

Si a este valor le restamos la suma de los ángulos internos obtenemos la suma de los ángulos externos:

    \begin{eqnarray*}    S_{\text{ext}} &=& 180\,n\textdegree - S_{\text{int}}\\	 	&=& 180\,n\textdegree - 180 (n-2)\textdegree\\ 	&=& \cancel{180\,n}\textdegree - \cancel{180\,n}\textdegree + 180\,(2)\textdegree\\ 	&=& 360\textdegree \end{eqnarray*}

Entonces, la suma de los ángulos externos de un polígono de n lados es 360\textdegree.




De este teorema se desprenden los siguientes corolarios:


Corolario

Cada ángulo externo de un polígono equiángulo de n lados mide (360 / n)\textdegree.



Corolario

La suma de los ángulos externos de un polígono no depende del número de lados.



Ejemplo 3

Calcula la medida de cada ángulo externo del polígono de 20 lados.

En este caso tenemos n = 20. Sustituyendo en la fórmula obtenemos:

    \begin{equation*} \alpha_{\text{ext}} = \frac{360\textdegree}{20} = 18\textdegree \end{equation*}

Enseguida se muestra el políno regular de 20 lados y uno de sus ángulos externos:

Rendered by QuickLaTeX.com

Por otra parte, el ángulo interno debe medir: 180\textdegree - 18\textdegree = 162\textdegree, lo cual podemos verificar usando la fórmula:

    \begin{equation*} \alpha_{\text{int}} = \frac{S_{\text{int}}}{n} = \frac{180\,(n-2)\textdegree}{n} = \frac{180\,(18)\textdegree}{20} = 162\textdegree \end{equation*}



Ejemplo 4

Calcula la medida de cada ángulo externo de los polígonos regulares de 3, 4, 5, 6, 7, y 8 lados.

Aplicamos la fórmula en cada caso. Empezamos con n=3, el triángulo:

    \begin{equation*}    \alpha_{\text{ext}} = \frac{360\textdegree}{3} = 120\textdegree \end{equation*}

Este resultado es obvio, pues el ángulo interno del triángulo equilátero es de 60\textdegree, su suplemento debe medir 120\textdegree. Ahora calculamos el valor del ángulo externo del cuadrilátero regular:

    \begin{equation*}    \alpha_{\text{ext}} = \frac{360\textdegree}{4} = 90\textdegree \end{equation*}

Ahora consideramos al pentágono regular:

    \begin{equation*}    \alpha_{\text{ext}} = \frac{360\textdegree}{5} = 72\textdegree \end{equation*}

A continuación, el hexágono regular:

    \begin{equation*}    \alpha_{\text{ext}} = \frac{360\textdegree}{6} = 60\textdegree \end{equation*}

Ahora el heptágono regular:

    \begin{equation*}    \alpha_{\text{ext}} = \frac{360\textdegree}{7} \approx 51.42857143\textdegree \end{equation*}

Y finalmente, el octágono regular:

    \begin{equation*}    \alpha_{\text{ext}} = \frac{360\textdegree}{8} = 45\textdegree \end{equation*}



Ejemplo 5

¿Cuántos lados tiene el polígono que cumple que la diferencia de la suma de los ángulos internos menos la suma de los ángulos externos es 900\textdegree?

Definimos por n al número de lados de ese polígono. Sabemos que:

    \begin{equation*}    S_{\text{int}} - S_{\text{ext}} = 900\textdegree \end{equation*}

Entonces, tenemos que resolver la ecuación:

    \begin{eqnarray*}    180\,(n-2)  - 360 &=& 900\textdegree\\    180\,n\textdegree - 360 &=& 900\textdegree + 360\\    180\,n\textdegree &=& 1260\textdegree + 360\\    n &=& \frac{1620\textdegree}{180\textdegree} = 9 \end{eqnarray*}

Entonces, se trata de un eneágono, también conocido como nonágono.



Ejemplo 6

¿Cuántos lados tiene el polígono cuyos ángulos internos suman 1\,800\textdegree?

Debemos resolver la ecuación:

    \begin{equation*}    S_{\text{int}} = 1\,800\textdegree \end{equation*}

La solución es:

    \begin{eqnarray*}    180\,(n-2)\textdegree &=& 1\,800\textdegree\\    180\,n\textdegree - 360\textdegree &=& 1\,800\textdegree\\    180\,n\textdegree &=& 2160\textdegree\\    n &=& \frac{2\,160\textdegree}{180\textdegree} = 12 \end{eqnarray*}

Entonces, se trata de un dodecágono.



Ejemplo 7

¿Cuántos lados tiene el polígono que tiene la propiedad que todos los ángulos internos suman lo mismo que todos los ángulos externos?

En este caso tenemos la ecuación: S_{\text{int}} = S_{\text{ext}}, la cual resolvemos enseguida:

    \begin{eqnarray*}    180\,(n - 2)\textdegree &=& 360\textdegree\\    180\,n\textdegree - 360\textdegree &=& 360\textdegree\\    180\,n\textdegree &=& 720\textdegree\\    n &=& \frac{720\textdegree}{180\textdegree} = 4 \end{eqnarray*}

Se trata de un cuadrilátero.


VER TODO Add a note
Añadir tu comentario
A+
X