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Solución de un sistema de desigualdades

Aprenderás a resolver un sistema de desigualdades y a representar geométricamente su espacio solución.

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En la lección anterior tuvimos oportunidad de resolver desigualdades de dos variables. En el último ejemplo vimos nuestro primer sistema de desigualdades, que aunque muy sencillo, nos muestra el caso más general.

Para resolver un sistema de desigualdades vamos a resolver cada una de las desigualdades que forman al sistema en el mismo sistema de ejes coordenados. La intersección de las regiones que son solución de cada desigualdad será la solución del sistema de desigualdades.


Ejemplo 1

Resuelve el siguiente sistema de desigualdades:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rcrcl} x &-& y &<& 2\\ x &+& 2\,y &>& 11 \end{array}\]

Como ya resolvimos las desigualdades por separado en la sección anterior, empezamos graficando las rectas:

    \begin{equation*}    x - y = 2\qquad\qquad\mbox{ y }\qquad\qquad x + 2\,y = 11 \end{equation*}

en el mismo sistema de coordenadas. Después coloreamos la región solución de cada desigualdad. Observa que las coordenadas del origen satisfacen la primera desigualdad, pero no la segunda.

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La intersección de las regiones es la región solución del sistema de desigualdades, porque satisface a ambas desigualdades simultáneamente.



Ejemplo 2

Encuentra la región que es solución del siguiente sistema de desigualdades:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rcrcl} x &+& y &<& 10\\ x &-& y &>& 0 \end{array}\]

Empezamos graficando las rectas:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rcrcl} x &+& y &=& 10\\ x &-& y &=& 0 \end{array}\]

en el mismo sistema de coordenadas. Observa que la segunda recta pasa por el origen. Esto significa que vamos a tener que probar la desigualdad con otro punto diferente del origen para conocer la región solución.

Para la segunda desigualdad usamos el punto M(5,3) y vemos que la satisface. En la siguiente gráfica se muestra la solución del sistema de desigualdades.

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Así como hemos resuelto un sistema de dos desigualdades de dos variables, podemos resolver un sistema compuesto de tres o más desigualdades. Lo que debemos hacer es graficar las soluciones de cada una de las desigualdades que forman el sistema y encontrar la intersección de las mismas. Esa región es la solución del sistema, dado que satisface simultáneamente a todas las desigualdades.


Ejemplo 3

Resuelve el siguiente sistema de desigualdades:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rcrcl}   x &-&    y &>& -2\\   x &+&    y &<& 12\\ - x &+& 3\,y &<& 4 \end{array}\]

Empezamos graficando las rectas que corresponden a cada desigualdad. Para cada recta usamos la siguiente información:

Recta: Punto Inicial Punto Final
y = x + 2 (0,2) (5,7)
y = -x + 12 (4,8) (13,-1)
y = x/3 + 4 (0,4) (9,7)

Ahora sustituimos puntos para encontrar las regiones solución de cada desigualdad.

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Y terminamos.


La desigualdad x > 0 geométricamente representa la región del plano cartesiano que está a la derecha del eje y.
Recuerda, sobre el eje y, x=0. A la izquierda de este eje, x < 0, y a la derecha x > 0. Igualmente, sobre el eje x, se cumple: y = 0. Arriba de este eje, y > 0, y por debajo, y < 0.

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Estas desigualdades son muy importantes cuando vamos a resolver problemas aplicados, porque no es posible, por ejemplo construir un número negativo de ventanas. Esta restricción nos obliga a que el valor de x o de y, dependiendo cuál de las dos variables represente la cantidad de ventanas a fabricar, sea necesariamente positivo.


Ejemplo 4

Encuentra la región solución del siguiente sistema de desigualdades:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rcrcl}   x &+&    y &<& 8\\   x &+& 2\,y &<& 4\\ - x &+& 2\,y &<& 4\\     & &    y &>& 0 \end{array}\]

Empezamos graficando las rectas correspondientes a cada desigualdad.
Para eso utilizamos la información de la siguiente tabla:

Recta: Punto Inicial Punto Final
x + y = 8 (3,5) (9,-1)
x + 2\,y = 4 (-2,3) (6,-1)
-x + 2\,y = 4 (-2,1) (6,5)

Ahora sí podemos sustituir las coordenadas del origen, porque ninguna de las rectas pasa por ese punto.

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Observa que la región que es solución del sistema de desigualdades incluye solamente valores positivos de y. Esto se debe a la última desigualdad del sistema. Geométricamente se traduce en que ningún punto por debajo del eje x es parte de la solución del sistema de desigualdades. Debes tener esto presente, particularmente cuando resolvamos problemas aplicados.



Ejemplo 5

En la carpintería “Pepe el Toro” se producen ventanas y puertas de madera. Las piezas tienen precios, requerimientos de material y de mano de obra como se indica en la tabla.

Pieza Demanda Acabado (horas) Carp. (horas)
Ventana Max 40/sem 2 1
Puerta Ilimitada 1 1
Horas Disp. 100 80


Representa gráficamente las cantidades de ventanas y puertas que es posible producir en esa carpintería.

De acuerdo a la información dada en la tabla, por cada hora que se requiere de acabado en una puerta se requieren dos para una ventana.
Si definimos como x el número de ventanas que se producirán y y el número de puertas, tenemos que la suma de las horas de acabado en todos los productos debe ser a lo más, 100 horas:

    \begin{equation*}    2\,x + y \leq 100 \end{equation*}

Por otra parte, ambos productos requieren igual tiempo de carpintería.

    \begin{equation*}    x + y \leq 80 \end{equation*}

También hay que recordar que la demanda máxima de ventanas es de 40 por semana:

    \begin{equation*}    x \leq 40 \end{equation*}

Además, ya sabemos que no es posible producir un número negativo de ventanas o de puertas.
Esto nos obliga a incluir también las siguientes dos desigualdades:

    \begin{equation*}    x \geq 0\qquad\qquad\qquad y \geq 0 \end{equation*}

De hecho, solamente nos es permitido producir un número entero de ventanas o de puertas.
Entonces, debemos mostrar la solución del sistema de desigualdades:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rcrcl} 2\,x &+& y &\leq& 100\\    x &+& y &\leq& 80\\    x & &   &\leq& 40\\    x & &   &\geq& 0\\      & & y &\geq& 0 \end{array}\]

Enseguida se muestra la región que es solución de este sistema:

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Cualquiera de los puntos dentro de la región solución es una posible producción.



Solución factible

Cualquier punto del plano que sea solución de un sistema de desigualdades es una solución factible de ese sistema de desigualdades.

Debes tener en mente siempre que existe la posibilidad de que la intersección de las regiones solución de las desigualdades que forman el sistema que estamos estudiando tengan una intersección disjunta. Es decir, es posible que el sistema de desigualdades no tenga solución, o en otras palabras, que el conjunto solución del sistema sea un conjunto vacío.

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