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Solución de desigualdades con una incógnita

Aprenderás la notación de las desigualdades de una variable, cómo resolverlas algebraicamente y a representar geométricamente su solución.

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Nosotros utilizaremos las propiedades de las desigualdades para expresarlas de la manera más simple posible.


Ejemplo 1

Resuelve la desigualdad:

    \begin{equation*}    5\,x - 1 > 24 \end{equation*}

Empezamos sumando 1 en ambos lados de la desigualdad. Este paso se justifica con la propiedad (i).

    \begin{eqnarray*}    5\,x - 1 \textcolor{red}{+ 1} &>& 24 \textcolor{red}{+ 1}\\    5\,x &>& 25 \end{eqnarray*}

Ahora podemos dividir entre 5 ambos lados de la desigualdad.
Dado que 5 > 0 el sentido de la desigualdad no cambia.

    \begin{eqnarray*}    \frac{5\,x}{\textcolor{red}{5}}  &>& \frac{25}{\textcolor{red}{5}}\\    x &>& 5 \end{eqnarray*}

Entonces la desigualdad: 5\,x - 1 > 24 expresada en su forma más simple es equivalente a la
desigualdad: x > 5. Geométricamente, tenemos:

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Otra forma equivalente de escribir este resultado es: x\in(5,\infty).


De nuevo, el círculo al inicio de la desigualdad está vacío indicando que 5 no satisface la desigualdad. Esto es así porque 5\ngtr 5. Sino 5 = 5.


Notación de intervalos

Los intervalos con límites en a y b, se pueden expresar como:

  • (a,b) que incluye a todos los valores entre a y b, excluyendo a los límites.
  • [a,b) que incluye a todos los valoes entre a y b, incluyendo a a pero excluyendo a b.
  • (a,b) que incluye a todos los valoes entre a y b, excluyendo a a pero incluyendo a b.
  • [a,b] que incluye a todos los valoes entre a y b, incluyendo a a al igual que a b.

De manera semejante, en notación de desigualdades podemos reescribir los intervalos como sigue:

Equivalencia entre la notación de intervalos y de desigualdades

En cada uno de los siguientes intervalos están incluidos además, todos los valores entre a y b.

  • (a,b) = \left\{x | a < x < b\right\}\quad\Rightarrow\quad ni a ni b están en el conjunto.
  • [a,b) = \left\{x | a \leq x < b\right\}\quad\Rightarrow\quad a sí está en el conjunto, pero b no.
  • (a,b] = \left\{x | a < x \leq b\right\}\quad\Rightarrow\quad b sí está en el conjunto, pero a no.
  • [a,b] = \left\{x | a \leq x \leq b\right\}\quad\Rightarrow\quad tanto a como b están en el conjunto.

Observa que en la desigualdad a \leq x, en palabras, a es menor o igual a x, por eso x = a satisface esa igualdad. Porque a puede ser igual a x, y por las propiedades de la igualdad, x puede ser igual a a.


Ejemplo 2

Interpreta geométricamente la siguiente desigualdad:

    \begin{equation*} 2 \leq x < 7 \end{equation*}

Observa que esta desigualdad está compuesta de dos desigualdades:

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    \begin{equation*}    2 \leq x\qquad\mbox{ y }\qquad x < 7 \end{equation*}

Podemos interpretar la desigualdad 2 \leq x < 7 como el conjunto de todos los números que
son menores a 7, pero mayores o iguales a 2.
Interpretar gemétricamente esto es muy sencillo:

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Observa en la soución geométrica que hemos utilizado un corchete ([) para indicar que x=2 satisface la desigualdad.
También se ha utilizado un paréntesis al final del intervalo ()) para indicar que x=7 no satisface la desigualdad.
Como debes suponer, esto viene de la notación de intervalos.
Observa que la solución es equivalente a la intersección de las soluciones de las dos desigualdades:

    \begin{equation*}    2 \leq x\qquad\Rightarrow\qquad x \geq 2\qquad\mbox{ y }\qquad x < 7 \end{equation*}

como era de esperarse.



Ejemplo 3

Resuelve algebraicamente la siguiente desigualdad:

    \begin{equation*} 3\,x - 1 \leq 20 \end{equation*}

muestra la solución en notación de intervalos y da una interpretación geométrica del resultado.

Empezamos resolviendo la desigualdad:

    \begin{eqnarray*}    3\,x &\leq& 21\\    x &\leq& 7 \end{eqnarray*}

Observa que el 7 sí está incluido en el conjunto solución. En notación de intervalos este resultado se expresa como: (-\infty,7]. Geométricamente tenemos la siguiente situación:

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Ejemplo 4

Itzel desea contratar un medio de transporte para un evento que está organizando. Un taxista le cobra $25.00 pesos por contrato, más $1.40 pesos por kilómetro recorrido. Por otra parte, puede alquilar una suburban todo un día por $750.00 pesos. La suburban recorre en promedio 11 kilómetros por litro de gasolina y cada litro cuesta $7.50 pesos. ¿A partir de cuántos kilómetros le sale más barato contratar la suburban?

Primero vamos a calcular cuánto le cuesta cada kilómetro recorrido en la suburban.
Cada litro de gasolina le permite recorrer 11 kilómetros en promedio y el litro de gasolina le cuesta $7.50.
Usando una regla de tres encontramos que un kilómetro recorrido le cuesta $0.68 pesos aproximadamente.
Entonces, el costo de recorrer x kilómetros en el taxi es:

    \begin{equation*} c_{t} = \underset{\mbox{\scriptsize contrato}}{\underbrace{25}} +          \underset{\mbox{\scriptsize km recorridos}}{\underbrace{1.40\,x}} %   C_{t} = \ubtext{contrato}{25} + \ubtext{km recorridos}{1.40\,x} \end{equation*}

Por otra parte, el costo de recorrer x kilómetros en la suburban es:

    \begin{equation*}    C_{s} = \underset{\mbox{\scriptsize alquiler}}{\underbrace{750}} +             \underset{\mbox{\scriptsize gasolina}}{\underbrace{0.68\,x}} %   C_{s} = \ubtext{alquiler}{750} + \ubtext{gasolina}{0.68\,x} \end{equation*}

Queremos calcular los kilómetros que debe recorrer para que el costo de recorrer esa distancia en la suburban sea menor que el costo en el taxi:

    \begin{eqnarray*}    C_s &<& C_t\\    750 + 0.68\,x &<& 25 + 1.40\,x\\    750 - 25 &<& 1.40\,x - 0.68\,x\\    725 &<& 0.72\,x\\    \frac{725}{0.72} &<& x\\    1006.94  < x &\Rightarrow& x > 1006.94 \end{eqnarray*}

La última desigualdad nos dice que la solución de: C_s < C_t es: x > 1006.94.
En palabras, si recorre más de 1006.94 kilómetros, alquilar la suburban le sale más barato que contratar el taxi.
Es decir, si recorre menos de 1006.94 kilómetros, le conviene mejor pagar el taxi.



Ejemplo 5

Pablo contrató un servicio de buffet para el día de su boda. Cada platillo cuesta $225.00 pesos y le hacen un descuento de $10.00 pesos en todos los platillos después de los 200 platillos servidos. El salón donde se hará la fiesta tiene capacidad para 350 personas. ¿Cuántos platillos debe adquirir si asignó $50\,000.00 pesos para la comida de su boda?

Pablo asignó $50\,000.00 pesos para la comida. Algebraicamente el costo cada uno de los platillos es:

    \begin{equation*}    C = \left\{    \begin{array}{ll}       225 & \mbox{ si } x \leq 200\\       215 & \mbox{ si } x > 200     \end{array}     \right. \end{equation*}

Por los primeros 200 platillos pagaría:

    \begin{equation*}    (225)(200)  = 45\,000\mbox{ pesos} \end{equation*}

Pero si solicita un platillo más, cada platillo extra costará $10.00 pesos menos. Por 201 platillos debería pagar:

    \begin{equation*}    \underset{\mbox{\scriptsize primeros 200}}{\underbrace{(225)(200)}}     + \underset{\mbox{\scriptsize \'ultimo}}{\underbrace{(1)(215)}}     = 45\,000 + 215 = 45\,215\text{ pesos} \end{equation*}

Suponiendo que le lleguen más de 200 invitados y todos pidan un platillo, por cada platillo, después de los primeros 200 debería pagar 215. Nosotros queremos que el importe sea menor o igual a la cantidad asignada a la comida de la fiesta:

    \begin{eqnarray*}    \underset{\mbox{\scriptsize platillos de \$225}}{\underbrace{200\cdot(225)}}     + \underset{\mbox{\scriptsize platillos de \$215}}{\underbrace{215\,(x-200)}} &\leq& 50\,000\\ 	215\,(x-200) &\leq& 50\,000 - 200\cdot(225)\\ 	215\,x - 43\,000 &\leq& 5\,000\\ 	215\,x  &\leq& 48\,000\\ 	x &\leq& \displaystyle\frac{48\,000}{215}\approx 223.2558 \end{eqnarray*}

Como el número de platillos debe ser entero, podrá pagar 223 platillos. En total pagará: (200)(225) + (23)(215) = 49\,945 pesos, y le sobran $55.00 pesos de lo presupuestado para la comida.


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