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Sistemas de ecuaciones con y sin solución

Aprenderás a reconocer los casos en los que un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas tiene o no tiene solución.

En los ejemplos de la sección anterior estudiamos solamente S.E.L.’s que tenían solución única. Sin embargo, existen algunos que no tienen solución. Por ejemplo, el siguiente S.E.L.


Ejemplo

Resuelve el siguiente S.E.L.:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rcrcrcl} x &+& y &+& z &=& 6\\ x &+& y &-& z &=& 0\\ x &+& y &+& z &=& 2 \end{array}\]

Para darnos cuenta de que este S.E.L. no tiene solución, basta encontrar el determinante principal y si éste es igual a cero, hemos terminado:

    \[\Delta_p =  \left|\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & -1\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right|  = (1)+ (1) + (-1) -(1) - (-1) - (1) = 0\]

Dado que \Delta_p=0, el S.E.L. no tiene solución única.
Sin embargo, todavía es posible que tenga un número infinito de soluciones, como puede que no tenga ni una solución. Para averiguar qué caso corresponde, calculamos los determinantes auxiliares:

    \begin{eqnarray*} \Delta_x &=&  \left|\begin{array}{rrr} 6 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1\\ 2 & 1 & 1 \end{array}\right|     = (6) + (0) + (-2) - (2) - (-6) - (0) = 8\\ % \Delta_y &=&  \left|\begin{array}{rrr} 1 & 6 & 1\\ 1 & 0 & -1\\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right|     = (0) + (2) + (-6) - (0) - (-2) - (6) = -8\\ % \Delta_z &=&  \left|\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 6\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 2 \end{array}\right|     = (2) + (6) + (0) - (6) - (0) - (2) = 0 \end{eqnarray*}

Dado que no todos los determinantes son iguales a cero, el S.E.L. no tiene ninguna solución. En este caso estamos hablando dos espacios geométricos paralelos. Para convencerte que esto es verdad, observa la primera y tercera ecuaciones del S.E.L. Solamente difieren en el término independiente (a la derecha de la igualdad). Esto nos indica que tienen la misma dirección, pero no pasan por el mismo punto.

Entonces, no existe ningún punto que satisfaga simultáneamente a la primera y tercera ecuaciones del S.E.L., por lo que no tiene solución.


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