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Sistemas de Ecuaciones lineales

Aprenderás el significado de la solución de un sistema de ecuaciones lineales y su representación geométrica.

Como ya observaste, una ecuación lineal puede tener más de una variable, y en casos de dos variables, podemos graficar la ecuación en un plano cartesiano. Por ejemplo, la ecuación: x + y = 10, en el plano cartesiano se grafica así:

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Mientras que la ecuación x - y = 2, gráficamente se representa así:

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Si consideramos ambas ecuaciones graficadas en el mismo plano cartesiano tendremos dos rectas que se cortan en un solo punto, dado que las rectas evidentemente no son paralelas.

El punto donde se intersectan las dos rectas pertenece a ambas rectas. Y debido a que pertenece a la primera recta, sus coordenadas deben satisfacer la primera ecuación, y por pertenecer a la segunda ecuación, debe satisfacer la segunda ecuación también. Es decir, ese punto donde se intersectan las rectas satisface ambas ecuaciones (por eso pertenece a ambas rectas).

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Ahora podemos considerar el sistema de ecuaciones:

    \begin{eqnarray*}    x + y &=& 10\\    x - y &=& 2 \end{eqnarray*}

y al sustituir los valores x = 6, y=4, vemos que las dos ecuaciones se satisfacen. Esto era de esperarse, dado que ese punto pertenece a las gráficas de ambas ecuaciones, y como ya habíamos dicho, satisfacen a ambas ecuaciones.

Entonces, podemos decir que este conjunto de valores es la solución del sistema de ecuaciones. En efecto,

    \begin{eqnarray*}    x + y &=& 10\qquad\Rightarrow\qquad 6 + 4 = 10\\    x - y &=& 2 \qquad\Rightarrow\qquad 6 - 4 = 2 \end{eqnarray*}

En conclusión, la solución del sistema de ecuaciones lineales (que abreviaremos con las siglas: S.E.L.) es: x=6,y=4.




Existen varios métodos para resolver los sistemas de ecuaciones lineales (S.E.L.) En este curso estudiaremos los más comunes. Antes de iniciar con el estudio de los métodos algebraicos, damos la siguiente definición.


Solución de un S.E.L.


Es el conjunto de valores que se debe sustituir en las variables de un S.E.L. para que cada una de las ecuaciones se reduzca a una igualdad verdadera.

En el programa de estudio de la Dirección General de Bachillerato se sugieren los siguientes:

  • Eliminación, también conocido como Suma y Resta,
  • Sustitución,
  • Igualación, y finalmente
  • Determinantes.

Estrictamente hablando, ya se introdujo el método más laborioso, que consiste en la graficación de las dos ecuaciones y encontrar el punto donde se intersectan. Este método se conoce como el método gráfico. La desventaja de este método consiste en que la solución no siempre son números enteros, y en estos casos, lo más que podemos es hacer una aproximación a la solución del S.E.L. Con los métodos algebraicos siempre obtenemos el valor exacto de la solución del sistema de ecuaciones lineales, sean enteros o no.

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