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Simplificación de Fracciones algebraicas

Aprenderás a simplificar las fracciones algebraicas y a realizar operaciones con ellas.

Así como los polinomios son una generalización de los números enteros, las fracciones algebraicas son una generalización de las fracciones. La única diferencia que veremos es que ahora en el numerador y/o en el denominador veremos polinomios.

Seguramente recuerdas realizar las operaciones con fracciones. Pues con esos mismos procedimientos realizaremos las operaciones con fraciones algebraicas.

En el siguiente video se explica la justificación del procedimiento que utilizamos para sumar o restar dos fracciones algebraicas con base en la suma de fracciones numéricas.




Ejemplo 1

Simplifica: \displaystyle\frac{1}{x}+\frac{1}{y}

Aquí vamos a suponer que x y y son números… De hecho, eso representan. Así que vamos a utilizar el procedimiento para sumar fracciones:

    \begin{equation*} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{y+x}{x\,y} \end{equation*}

Observa que en realidad primero encontramos fracciones equivalentes a cada una de las fracciones algebraicas que se están sumando, porque:

    \begin{equation*} \frac{1}{x}=\frac{y}{x\,y}\qquad\mbox{ y }\qquad\frac{1}{y}=\frac{x}{x\,y} \end{equation*}

Así que sumar:

    \begin{equation*} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \end{equation*}

Es lo mismo que sumar:

    \begin{equation*} \frac{y}{x\,y} + \frac{x}{x\,y} = \frac{y+x}{x\,y} \end{equation*}

porque ahora tenemos denominador común.



Ejemplo 2

Simplifica:

    \begin{equation*} \frac{3}{x-y}+\frac{2}{x+y} = \end{equation*}

Empezamos encontrando el mínimo común denominador, que es en sí el mínimo común múltiplo de los denominadores. En este caso, es igual al producto de los denominadores:

    \begin{equation*} \frac{3}{x-y}+\frac{2}{x+y}=\frac{}{~~(x-y)(x+y)~~} \end{equation*}

Ahora vamos a realizar el mismo procedimiento que con las fracciones que tienen números en lugar de literales, es decir, vamos a multiplicar cruzado:

    \begin{equation*} \frac{3}{x-y}+\frac{2}{x+y}=\frac{3\,(x+y)+2\,(x-y)}{~~(x-y)(x+y)~~} \end{equation*}

Ahora realizamos las operaciones y simplificamos hasta donde sea posible.

    \begin{eqnarray*} \frac{3\,(x+y)+2\,(x-y)}{~~(x-y)(x+y)~~}&=&\displaystyle\frac{3\,x+3\,y+2\,x-2\,y}{~~(x-y)(x+y)~~}\\ &=&\displaystyle\frac{5\,x+y}{~~(x-y)(x+y)~~} \end{eqnarray*}

Entonces,

    \begin{equation*} \frac{3}{x-y}+\frac{2}{x+y}=\frac{5\,x+y}{~~(x-y)(x+y)~~} \end{equation*}


Algunas de las fracciones que vamos a simplificar se verán muy difíciles, pero en realidad, lo que tenemos que hacer es aplicar los procedimientos que normalmente usamos con las fracciones (con números en el numerador y en el denominador), realizar las operaciones que queden indicadas y terminamos.


Ejemplo 3

Simplifica:

    \begin{equation*} \displaystyle\frac{x}{y^2}-\frac{y}{x^2}= \end{equation*}

En este caso tenemos que utilizar el mismo procedimiento. Primero encontramos en mínimo común denominador:

    \begin{equation*} \frac{x}{y^2} - \frac{y}{x^2} = \frac{}{x^2\,y^2} \end{equation*}

Ahora realizamos el producto cruzado:

    \begin{equation*} \frac{x}{y^2} - \frac{y}{x^2} = \frac{x^3-y^3}{x^2\,y^2} \end{equation*}

Esto significa que:

    \begin{equation*} \frac{x}{y^2}-\frac{y}{x^2}=\frac{x^3-y^3}{x^2\,y^2} \end{equation*}


Algunas veces nos servirá factorizar para simplificar los resultados o las fracciones antes de empezar con las operaciones.


Ejemplo 4

Simplifica:

    \begin{equation*} \frac{x^2-3\,x-10}{x^2+2\,x-3}\cdot\frac{x^2+7\,x+12}{x^2+6\,x+8}= \end{equation*}

Primero factorizamos todos los polinomios que se encuentras en los numeradores y denominadores de las fracciones:

    \begin{eqnarray*} x^2-3\,x-10&=&(x+2)(x-5)\\ x^2+2\,x-3&=&(x+3)(x-1)\\ x^2+7\,x+12&=&(x+3)(x+4)\\ x^2+6\,x+8&=&(x+4)(x+2) \end{eqnarray*}

Entonces, podemos escribir la operación de la siguiente manera equi\-va\-lente:

    \begin{equation*} \frac{x^2-3\,x-10}{x^2+2\,x-3}\cdot\frac{x^2+7\,x+12}{x^2+6\,x+8} = \frac{(x+2)(x-5)}{(x+3)(x-1)}\cdot\frac{(x+3)(x+4)}{(x+4)(x+2)} \end{equation*}

Ahora realizamos la multiplicación como se hace con las fracciones con números: multiplicamos numerador por numerador y denominador por denominador:

    \begin{eqnarray*} \frac{x^2-3\,x-10}{x^2+2\,x-3}\cdot\frac{x^2+7\,x+12}{x^2+6\,x+8} &=& \frac{(x+2)(x-5)}{(x+3)(x-1)}\cdot\frac{(x+3)(x+4)}{(x+4)(x+2)}\\ &=& \frac{\cancel{(x+2)}(x-5)\cancel{(x+3)}\cancel{(x+4)}}{\cancel{(x+3)}(x-1)\cancel{(x+4)}\cancel{(x+2)}}\\ &=& \frac{x-5}{x-1} \end{eqnarray*}


La división también se realiza exactamente de la misma manera que con los números: multiplicamos cruzado


Ejemplo 5

Simplifica:

    \begin{equation*} \displaystyle\frac{x^2+2\,x-35}{x^2+11\,x+18}\div\frac{x^2-4\,x-5}{x^2+10\,x+9} \end{equation*}

Empezamos factorizando los polinomios:

    \begin{eqnarray*} x^2+2\,x-35&=&(x+7)(x-5)\\ x^2+11\,x+18&=&(x+2)(x+9)\\ x^2-4\,x-5&=&(x-5)(x+1)\\ x^2+10\,x+9&=&(x+9)(x+1) \end{eqnarray*}

Ahora podemos expresar la operación y simplificar el divisor:

    \begin{eqnarray*} \frac{x^2+2\,x-35}{x^2+11\,x+18}\div\frac{x^2-4\,x-5}{x^2+10\,x+9}&=&\frac{(x+7)(x-5)}{(x+2)(x+9)}\div\frac{(x-5)\cancel{(x+1)}}{(x+9)\cancel{(x+1)}}\\ &=& \frac{(x+7)(x-5)}{(x+2)(x+9)}\div\frac{x-5}{x+9}\\ \end{eqnarray*}

lo cual simplifica nuestra operación. Ahora realizamos la división:

    \begin{eqnarray*} \frac{x^2+2\,x-35}{x^2+11\,x+18}\div\frac{x^2-4\,x-5}{x^2+10\,x+9}&=&\frac{(x+7)(x-5)}{(x+2)(x+9)}\div\frac{x-5}{x+9}\\ &=& \frac{(x+7)\cancel{(x-5)}\cancel{(x+9)}}{(x+2)\cancel{(x+9)}\cancel{(x-5)}}\\ &=& \frac{x+7}{x+2} \end{eqnarray*}

Entonces,

    \begin{equation*} \frac{x^2+2\,x-35}{x^2+11\,x+18}\div\frac{x^2-4\,x-5}{x^2+10\,x+9}=\frac{x+7}{x+2} \end{equation*}


Si no recuerdas cómo realizar una operación con fracciones algebraicas, basta recordar cómo realizas las operaciones con las fracciones que tienen números en el numerador y en el denominador. Debes usar exactamente el mismo procedimiento, porque los polinomios representan números, y las fracciones algebraicas se forman a partir de polinomios.

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