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Sesión 7: Otros símbolos

Aprenderás a crear nuevos símbolos matemáticos usando código fuente LaTeX.

Prestamos fáciles y rápidos

En LaTeX se pueden generar todos los símbolos matemáticos que un profesor de bachillerato pueda imaginar y muchos más.

Precisamente para eso se creó este lenguaje tipográfico: para que los libros de matemáticas y los que tuvieran muchas ecuaciones se escribieran directamente por los autores y ellos mismos pudieran dejar el material tal y como ellos pensaron que se debía ver.

En la siguiente tabla se muestran los que más frecuentemente usamos en los cursos de niveles medio y medio superior.


 \begin{minipage}{15cm} \begin{center} \begin{tabular}{cc|cc}\hline \textbf{S\'imbolo}      & \textbf{C\'odigo}    & \textbf{S\'imbolo}      & \textbf{C\'odigo}   \\  \midrule $\div$             &  \textbackslash div        & $\times$           &  \textbackslash times        \\  $\approx$          &  \textbackslash approx     & $\neq$             &  \textbackslash neq          \\  $\propto$          &  \textbackslash propto     & $\sim$             &  \textbackslash sim          \\  $\equiv$           &  \textbackslash equiv      & $\not\equiv$       &  \textbackslash not \{\textbackslash equiv\}\\ $\pm$              &  \textbackslash pm         & $\mp$              &  \textbackslash mp           \\  $\leq$             &  \textbackslash leq        & $\geq$             &  \textbackslash geq          \\  %$\leqq$            &  \textbackslash leqq       & $\geqq$            &  \textbackslash geqq         \\ %$\nleq$            &  \textbackslash nleq       & $\ngeq$            &  \textbackslash ngeq         \\ %$\nleqq$           &  \textbackslash nleqq      & $\ngeqq$           &  \textbackslash ngeqq        \\ %$\gg$              &  \textbackslash gg         & $\ll$              &  \textbackslash ll           \\ $\infty$           &  \textbackslash infty      & $\varnothing$        &  \textbackslash varnothing  \\  $\notin$           &  \textbackslash notin      & $\in$              &  \textbackslash in           \\ $\cup$             &  \textbackslash cup        & $\cap$             &  \textbackslash cap          \\  $\subset $         &  \textbackslash subset     & $\supset$          &  \textbackslash supset       \\   $\perp$            &  \textbackslash perp       & $\parallel$        &  \textbackslash parallel     \\  $\cdot$		    &  \textbackslash cdot       & $\cdots$           &  \textbackslash cdots        \\ $\vdots$           &  \textbackslash vdots      & $\ddots$           &  \textbackslash ddots        \\  $\mid$             &  \textbackslash mid        & $\exists$            &  \textbackslash exists          \\ $\rightarrow$      &  \textbackslash rightarrow & $\Rightarrow$      &  \textbackslash Rightarrow   \\  $\leftarrow$       &  \textbackslash lefttarrow & $\Leftarrow$       &  \textbackslash Leftarrow   \\  $\angle$           &  \textbackslash angle      & $\Leftrightarrow $      &  \textbackslash Leftrightarrow    \\ $\textdegree$      &  \textbackslash textdegree & $\nabla$           &  \textbackslash nabla        \\  $\sum$             &  \textbackslash sum        & $\prod$            &  \textbackslash prod         \\  $\vec{x}$          &  \textbackslash vec\{x\}     & $\overline{AB} $ &  \textbackslash overline\{AB\}    \\   $\overrightarrow{AB}$  &  \textbackslash overrightarrow\{AB\} & $\overleftarrow{AB}$      &  \textbackslash overleftarrow\{AB\} \\ % %$\textdegree $     &  \textbackslash textdegree & $°\mbox{C}$        &  \textbackslash textcelcius  \\  %$\S$					 &  S          & $\nabla$           &  \textbackslash nabla        \\  %$\not\propto$          &  \textbackslash not propto & $\nparallel$       &  \textbackslash nparallel     \\ %$\therefore$       &  \textbackslash therefore  & $\because$         &  \textbackslash because       \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{minipage}

Si usted pensó en un símbolo que no se encuentra en esta lista, puede encontrarlo en la lista que contiene todos los símbolos definidos en \latex. Esta lista se encuentra en la documentación en la carpeta donde se grabaron todos los archivos del Mik\TeX.

Muy probablemente se encuentren en una dirección como la siguiente:


C:\Program files\MiKTeX\doc\info\symbols\comprehensive

Algunas fuentes tipográficas se definen para los ambientes matemáticos. En la siguiente tabla se muestran algunos ejemplos:


 \begin{minipage}{\linewidth} \begin{center} \begin{tabular}{cc|cc}\hline \textbf{S\'imbolo}      & \textbf{C\'odigo}    & \textbf{S\'imbolo}      & \textbf{C\'odigo}   \\  \midrule $\mathbb{N}$       &  \textbackslash mathbb\{N\}  & $\mathbb{Z}$     &  \textbackslash mathbb\{Z\}    \\  $\mathbb{Q}$       &  \textbackslash mathbb\{Q\}  & $\mathbb{R}$     &  \textbackslash mathbb\{R\}    \\ $\mathcal{A}$      &  \textbackslash mathcal\{A\} & $\mathcal{B}$    &  \textbackslash mathcal\{B\}   \\ $\mathfrak{A}$     &  \textbackslash mathfrak\{A\}& $\mathfrak{B}$   &  \textbackslash mathfrak\{B\}  \\ $\mathsf{A}$       &  \textbackslash mathsf\{A\}  & $\mathsf{B}$     &  \textbackslash mathsf\{B\}   \\ $\mathbf{A}$       &  \textbackslash mathbf\{A\}  & $\mathbf{B}$     &  \textbackslash mathbf\{B\} \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{minipage}

Ahora vamos con los ejemplos.

Empecemos con aritmética.

Considerando que $2\in\mathbb{Z}$ y que $\pi\notin\mathbb{Q}$ 
tenemos que $\{2,\pi\}$...

Y en el documento se imprime:

 \begin{minipage}{10cm} Considerando que $2\in\mathbb{Z}$ y que $\pi\notin\mathbb{Q}$  tenemos que $\{2,\pi\}$... \end{minipage}

Otro ejemplo clásico:

Recordando que: $\mathbb{Q}\cup\mathbb{Q}' = \mathbb{R}$,...

Y en el documento se imprime:

 \begin{minipage}{10cm} Recordando que: $\mathbb{Q}\cup\mathbb{Q}' = \mathbb{R}$,... \end{minipage}

La sumatoria es un concepto muy conocido y útil. Por ejemplo, cuando estudiamos series requerimos su uso:

\begin{equation*}
S_k = \sum\limits_{i=1}^{k}{a_i}  
    = a_1 +   a_2  +  a_3     + \cdots + a_k
\end{equation*}

y se incluye en el documento:

     \begin{minipage}{10cm} \begin{equation*} S_k = \sum\limits_{i=1}^{k}{a_i}       = a_1 +   a_2  +  a_3     + \cdots + a_k \end{equation*} \end{minipage}

El siguiente código es otro ejemplo de estadística:

\begin{equation*}
	\bar{x} = \frac{\sum{x_i}}{n}
\end{equation*}

que imprime en el documento:

     \begin{minipage}{10cm} \begin{equation*} 	\bar{x} = \frac{\sum{x_i}}{n} \end{equation*} \end{minipage}

Observe que la instrucción \bar{x} coloca una barra a su argumento. Esta instrucción solamente puede superrayar un solo caracter. Si requiere superrayar varios, por ejemplo, para indicar un segmento, es mejor utilizar la instrucción: \overline{AB} con lo que obtenemos: \overline{AB}.

Pero tal vez usted también quiera indicar los límites de la sumatoria. El siguiente código le da la idea de cómo incluirlos en su documento:

\begin{equation*}
	\bar{x} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{x_i}}{n}
\end{equation*}

y usted verá en su documento:

     \begin{equation*} 	\bar{x} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{x_i}}{n} \end{equation*}

La instrucción \limits permite escribir debajo del símbolo actual. Si no se incluye, usted verá:

     \begin{equation*} 	\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n}{x_i}}{n} \end{equation*}

¿Nota la diferencia?

Otro ejemplo de análisis vectorial:

\begin{equation*}
	\cos(\vec{u},\vec{v}) = 
     \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\|}
\end{equation*}

y usted verá en el documento:

     \begin{minipage}{10cm} \begin{equation*} 	\cos(\vec{u},\vec{v}) =      \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\cdot\|\vec{v}\|} \end{equation*} \end{minipage}


Funciones matemáticas

Las funciones matemáticas trigonométricas, logarítmicas, exponenciales, etc., se definen en LaTeX para cuando se requiera incluirlas. Cuando escriba el código para incluir una de éstas, debe estar en el ambiente matemático.

 \begin{minipage}{10cm} \begin{center} \begin{tabular}{llllllll}\hline  arccos 	&  cos   &  csc  &  exp   &  ker    &  limsup  &  min   &  sinh \\  arcsin 	&  cosh  &  deg  &  gcd   &  lg     &  ln      &  Pr    &  sup  \\  arctan 	&  cot   &  det  &  hom   &  lim    &  log     &  sec   &  tan  \\  arg 		&  coth  &  dim  &  inf   &  liminf &  max     &  sin   &  tanh \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{minipage}

Ahora vamos con los ejemplos.

Primero vamos con las propiedades de los logaritmos:

\begin{equation*}
	\ln (x\cdot y) = \ln x + \ln y
\end{equation*}

incluye en el documento:

     \begin{minipage}{10cm} \begin{equation*} 	\ln (x\cdot y) = \ln x + \ln y \end{equation*} \end{minipage}

Otra propiedad de los logaritmos es:

\begin{equation*}
	\log\left(x^{k}\right) = k\cdot\log x
\end{equation*}

incluye en el documento:

     \begin{minipage}{10cm} \begin{equation*} 	\log\left(x^{k}\right) = k\cdot\log x \end{equation*} \end{minipage}

Para las derivadas, el ejemplo es:

\begin{equation*}
\frac{df}{dx} = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}
                \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}
\end{equation*}

y en el documento se incluye:

     \begin{minipage}{10cm} \begin{equation*} \frac{df}{dx} = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}                 \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \end{equation*} \end{minipage}

Otro ejemplo donde se puede aplicar la instrucción \limits es en las integrales definidas. Empezamos incluyendo una integral:

\begin{equation*}
	\int\!v^n\,{dv} = \displaystyle\frac{v^{n+1}}{n+1} + C
\end{equation*}

que imprime en el documento:

     \begin{minipage}{10cm} \begin{equation*} 	\int\!v^n\,{dv} = \displaystyle\frac{v^{n+1}}{n+1} + C \end{equation*} \end{minipage}

Para utilizar la instrucción \limits escribiremos una integral definida:

\begin{equation*}
	\int\limits_{1}^{\infty}\!\frac{dx}{x}
\end{equation*}

En el documento se imprime:

     \begin{minipage}{10cm} \begin{equation*} 	\int\limits_{1}^{\infty}\!\frac{dx}{x} \end{equation*} \end{minipage}

Y si no se incluye la instrucción \limits, obtenemos:

     \begin{minipage}{10cm} \begin{equation*} 	\int_{1}^{\infty}\!\frac{dx}{x} \end{equation*} \end{minipage}

¿Cuál es la forma correcta de usar?

Desde el punto de vista tipográfico la forma correcta es la segunda, es decir, sin usar la instrucción \limits. Sobre todo si está escribiendo el símbolo de integral dentro de un párrafo.

Finalmente, usted tiene la decisión final.

Personalmente prefiero utilizar la instrucción \limits porque así se sugiere la generalización de la suma \sum de un número infinito de infinitésimos.

    \begin{equation*} \int\limits_{a}^{b}\!f(x)\,dx = \lim\limits_{n\rightarrow\infty}                                 \sum\limits_{i=1}^{n}{f(x_i)\cdot\left(\frac{b - a}{n}\right)} \end{equation*}

Otro ejemplo, para comparar los resultados usando y sin usar la instrucción \limits.

Primero el ejemplo que sí la incluye:

\begin{equation*}
	\int\limits_{-1}^{1}\!\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}\,dx
\end{equation*}

y en el documento veremos:

     \begin{minipage}{10cm} \begin{equation*} 	\int\limits_{-1}^{1}\!\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}\,dx \end{equation*} \end{minipage}

Y ahora sin incluir la instrucción \limits:

\begin{equation*}
	\int_{-1}^{1}\!\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}\,dx
\end{equation*}

que incluye en el documento:

     \begin{minipage}{10cm} \begin{equation*} 	\int_{-1}^{1}\!\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}\,dx \end{equation*} \end{minipage}


Alfabeto Griego

En LaTeX también están definidas las letras griegas. Enseguida se muestran los códigos correspondientea a cada una de las letras de este alfabeto:


 \begin{minipage}{\linewidth} \begin{center} \begin{tabular}{lllll}\hline 	$\alpha$ ~~  alpha     & $\beta$~~  beta	  & $\gamma$~~  gamma	& $\delta$~~  delta	   & $\epsilon$~~  epsilon\\  	$\zeta$	  ~~  zeta   &	$\eta$~~  eta	    &	$\theta$~~  theta	&	$\iota$~~  iota	     &	$\kappa$~~  kappa\\ 	$\lambda$	~~  lambda   &	$\mu$~~  mu	      &	$\nu$~~  nu        &	$\xi$~~  xi		       &	$\pi$~~  pi	\\  	$\rho$		~~  rho    & $\sigma$~~  sigma	&	$\tau$~~  tau	    &	$\upsilon$~~  upsilon &	$\phi$~~  phi \\ 	$\chi$	  ~~  chi    &	$\psi$~~  psi	    &	$\omega$~~  omega  &   $\varphi$~~  varphi    &  $\varepsilon$~~ varepsilon\\  	$\varpi$	  ~~  varpi    &	$\vartheta$~~  vartheta &	$\varrho$~~  varrho  &   $\varsigma$~~  varsigma    &   \\  	$\Gamma$~~  Gamma      & $\Delta$~~  Delta	& $\Theta$~~  Theta	&		$\Lambda$	~~  Lambda & $\Xi$~~  Xi  \\  	$\Pi$ ~~  Pi           &	$\Sigma$~~  Sigma  &	$\Upsilon$~~  Upsilon	&		$\Phi$~~  Phi   & $\Omega$~~  Omega 	\\  \hline \end{tabular} \end{center} \end{minipage}

Estos símbolos son muy útiles para la geometría plana, analítica y trigonometría.

Los siguientes ejemplos son unas identidades trigonométricas.

Las tres identidades trigonométricas pitagóricas son:
%
\begin{itemize}
\item $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
\item $\sec^2 \alpha = 1 + \tan^2 \alpha$
\item $\csc^2 \alpha = 1 + \cot^2 \alpha$
\end{itemize}
%

incluye en el documento:

 \begin{minipage}{10cm} Las tres identidades trigonom\'etricas pitag\'oricas son: \begin{itemize} \item $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ \item $\sec^2 \alpha = 1 + \tan^2 \alpha$ \item $\csc^2 \alpha = 1 + \cot^2 \alpha$ \end{itemize} \end{minipage}

Otro ejemplo:

\begin{itemize}
\item $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\,\cos\beta+\sin\beta\,\cos\alpha$
\item $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\,\cos\beta-\sin\alpha\,\sin\beta$
\item $\tan(\alpha + \beta) = \displaystyle
    \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\,\tan\beta}$
\end{itemize}

que incluye en el documento:

Aprende Producción de Audio

 \begin{minipage}{10cm} \begin{itemize} \item $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\,\cos\beta+\sin\beta\,\cos\alpha$ \item $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\,\cos\beta-\sin\alpha\,\sin\beta$ \item $\tan(\alpha + \beta) = \displaystyle     \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\,\tan\beta}$ \end{itemize} \end{minipage}

Finalmente, la ley de senos:

De acuerdo a la ley de senos, tenemos:
\begin{equation*}
\displaystyle
	\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}  = \frac{c}{\sin\gamma}
\end{equation*}

incluye en el documento:

     \begin{minipage}{10cm} De acuerdo a la ley de senos, tenemos: % \begin{equation*} \displaystyle \frac{a}{\sin\alpha} =  \frac{b}{\sin\beta}  =  \frac{c}{\sin\gamma} \end{equation*} % \end{minipage}

Usted puede ver el código para generar un pequeño
material didáctico donde se deduce la ley de senos.


Espacios en ecuaciones

En cada uno de los siguientes ejemplos se muestra el código para un caso sin espacio y con espacio después, de manera que pueda ver la diferencia entre usar o no usar la instrucción.\label{MathSpaces}

  • \; Agrega espacio amplio.
  • $5x$ no tiene espacio, mientras que $5\;x$ sí.

     \begin{minipage}{10cm} $5x$ no tiene espacio, mientras que $5\;x$ s\'i. \end{minipage}

  • \: Agrega espacio mediano.
  • $5x$ no tiene espacio, mientras que $5\:x$ sí.

     \begin{minipage}{10cm} $5x$ no tiene espacio, mientras que $5\:x$ s\'i. \end{minipage}

  • \, Agrega espacio pequeño. Este es el espacio adecuado para incluir entre un coeficiente y una literal.
  • $5x$ no tiene espacio, mientras que $5\,x$ sí.

     \begin{minipage}{10cm} $5x$ no tiene espacio, mientras que $5\,x$ s\'i. \end{minipage}

  • \! Agrega espacio negativo.
  • $5x$ no tiene espacio, mientras que $5\!x$ sí.

     \begin{minipage}{10cm} $5x$ no tiene espacio, mientras que $5\!x$ s\'i. \end{minipage}

    Seguramente se estará preguntando: ¿Para qué demonios ocuparé un espacio negativo?. He aquí un buen ejemplo. Primero escribimos la fórmula sin espacios negativos, y después con espacios:

    \begin{equation*}
    \left(\begin{array}{c} 
    m \\ 
    n \end{array}\right) = \frac{m!}{n!\,(m-n)!}
    \end{equation*}

         \begin{minipage}{10cm} \begin{equation*} \left(\begin{array}{c}  m \\  n \end{array}\right) = \frac{m!}{n!\,(m-n)!} \end{equation*} \end{minipage}

    Ahora con espacios:

    \begin{equation*}
    \left(\!\!\!\begin{array}{c} 
    m \\ 
    n \end{array}\!\!\!\right) = \frac{m!}{n!\,(m-n)!}
    \end{equation*}

         \begin{minipage}{10cm} \begin{equation*} \left(\!\!\!\begin{array}{c}  m \\  n \end{array}\!\!\!\right) = \frac{m!}{n!\,(m-n)!} \end{equation*} \end{minipage}

  • code\quad Tabulador pequeño. Sirve para separar dos expresiones.
  • \begin{equation*}
    2\,x = 0,\quad \mbox{luego}\quad x = 0
    \end{equation*}

         \begin{minipage}{10cm} \begin{equation*} 2\,x = 0,\quad \mbox{luego}\quad x = 0 \end{equation*} \end{minipage}

  • \qquad Tabulador moderado. Sirve para separar más dos expresiones.
  • \begin{equation*}
    2\,x = 0,\qquad \mbox{luego}\qquad x = 0
    \end{equation*}

         \begin{minipage}{10cm} \begin{equation*} 2\,x = 0,\qquad \mbox{luego}\qquad x = 0 \end{equation*} \end{minipage}


Galería de ecuaciones

En los siguientes ejemplos se muestra el código primero y después el resultado que usted verá en el documento.

Estas ecuaciones se incluyen para que pueda tener una mejor idea de qué cosas se pueden hacer usando LaTeX.

Si $P$, $Q$ y $R$ son tres puntos entonces, 
$\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{PR}$.

 \begin{minipage}{10cm} Si $P$, $Q$ y $R$ son tres puntos entonces,  $\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{PR}$.  \end{minipage}

\begin{equation*}
\det(\mathbf{AB}) = \det(\mathbf{A})\cdot\det(\mathbf{B})
\end{equation*}

     \begin{minipage}{10cm} \begin{equation*} \det(\mathbf{AB}) = \det(\mathbf{A})\cdot\det(\mathbf{B}) \end{equation*} \end{minipage}

\begin{equation*}
\delta_{ij} = \left\{
\begin{array}{ll}
1 & \mbox{ si } i = j\\
0 & \mbox{ si } i \neq j
\end{array}
\right.
\end{equation*}

     \begin{minipage}{10cm} \begin{equation*} \delta_{ij} = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \mbox{ si } i = j\\ 0 & \mbox{ si } i \neq j \end{array} \right. \end{equation*} \end{minipage}

Por definición, el coeficiente de correlación de Pearson es: 
%
\begin{equation*}
r = \displaystyle\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}}
\end{equation*}
%

     \begin{minipage}{10cm} Por definici\'on, el coeficiente de correlaci\'on de Pearson es:  % \begin{equation*} r = \displaystyle\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}} \end{equation*} % \end{minipage}

Si consideramos los vectores:
\begin{equation*}
\vec{x} = \left(
	\begin{array}{c}
	x_1 - \bar{x}\\
	x_2 - \bar{x}\\
	\vdots\\
	x_n - \bar{x}
	\end{array}
\right)
\qquad\mbox{ y }\qquad
\vec{y} = \left(
	\begin{array}{c}
	y_1 - \bar{y}\\
	y_2 - \bar{y}\\
	\vdots\\
	y_n - \bar{y}
	\end{array}
\right)
\end{equation*}

     \begin{minipage}{10cm} Si consideramos los vectores: \begin{equation*} \vec{x} = \left( \begin{array}{c} x_1 - \bar{x}\\ x_2 - \bar{x}\\ \vdots\\ x_n - \bar{x} \end{array} \right) \qquad\mbox{ y }\qquad \vec{y} = \left( \begin{array}{c} y_1 - \bar{y}\\ y_2 - \bar{y}\\ \vdots\\ y_n - \bar{y} \end{array} \right) \end{equation*} \end{minipage}

\begin{equation*}
\cos\theta = \displaystyle
	  \frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{\|\vec{x}\|\cdot \|\vec{y}\|} 
	= \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}}
	{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}{(x_i - \bar{x})^2}}
	\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}{(y_i - \bar{y})^2}}} = r
\end{equation*}

     \begin{minipage}{10cm} \begin{equation*} \cos\theta = \displaystyle\frac{\vec{x}\cdot \vec{y}}{\|\vec{x}\|\cdot \|\vec{y}\|}  	= \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}}{ 	\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}{(x_i - \bar{x})^2}} 	\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}{(y_i - \bar{y})^2}}} = r \end{equation*} \end{minipage}

\begin{equation*}
\frac{d^2y}{dx^2} + p(x)\cdot\frac{dy}{dx} + q(x)\cdot y = 0
\end{equation*}

     \begin{minipage}{10cm} \begin{equation*} \frac{d^2y}{dx^2} + p(x)\cdot\frac{dy}{dx} + q(x)\cdot y = 0 \end{equation*} \end{minipage}

Una serie de potencias tiene la forma:
\begin{equation*}
y = \sum_{i=0}^{\infty}{c_i\,x^{i}}
\end{equation*}

     \begin{minipage}{10cm} Una serie de potencias tiene la forma: \begin{equation*} y = \sum_{i=0}^{\infty}{c_i\,x^{i}} \end{equation*} \end{minipage}

\begin{eqnarray*}
f(k+1) &=& f(k) + f(k-1)\\
a_{k+1} &=& a_{k} + a_{k-1}\\
a_1\cdot r^{k+1} &=& a_1\cdot r^{k} + a_1\cdot r^{k-1}\\
r^{k+1} &=& r^{k} + r^{k-1}\\
r^2 &=& r + 1
\end{eqnarray*}

     \begin{minipage}{10cm} \begin{eqnarray*} f(k+1) &=& f(k) + f(k-1)\\ a_{k+1} &=& a_{k} + a_{k-1}\\ a_1\cdot r^{k+1} &=& a_1\cdot r^{k} + a_1\cdot r^{k-1}\\ r^{k+1} &=& r^{k} + r^{k-1}\\ r^2 &=& r + 1 \end{eqnarray*} \end{minipage}

\begin{equation*}
y_n = \left[c + \sum_{j=0}^{n-1}{\frac{b_j}{a^{j+1}}}\right]\,a^{n}
\end{equation*}

     \begin{minipage}{10cm} \begin{equation*} y_n = \left[c + \sum_{j=0}^{n-1}{\frac{b_j}{a^{j+1}}}\right]\,a^{n} \end{equation*} \end{minipage}

\begin{equation*}
\int\limits_{a}^{b}\!
	\sqrt{\left(\frac{dx_1}{dt}\right)^2 + \cdots + 
	\left(\frac{dx_n}{dt}\right)^2}\,dt
\end{equation*}

     \begin{minipage}{10cm} \begin{equation*} \displaystyle \int\limits_{a}^{b}\! 	\sqrt{\left(\frac{dx_1}{dt}\right)^2 + \cdots +  	\left(\frac{dx_n}{dt}\right)^2}\,dt \end{equation*} \end{minipage}

\begin{equation*}
\nabla f = \mathrm{grad} (f) = 
	\left(\frac{df}{dx}, \frac{df}{dy}, \frac{df}{dz}\right)
\end{equation*}

     \begin{minipage}{10cm} \begin{equation*} \nabla f = \mathrm{grad} (f) = \left(\frac{df}{dx}, \frac{df}{dy}, \frac{df}{dz}\right) \end{equation*} \end{minipage}

\begin{equation*}
\mathrm{div}(f) = \frac{\partial f}{\partial x} + 
	\frac{\partial f}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial z}
\end{equation*}

     \begin{minipage}{10cm} \begin{equation*} \mathrm{div} (f) = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y}  	+ \frac{\partial f}{\partial z} \end{equation*} \end{minipage}

\begin{equation*}
\mathrm{rot} (F) = \nabla \times F = \left\vert \begin{array}{ccc}
	\hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\\displaystyle
	\frac{\partial}{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial}{\partial y} 
		& \displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\\
	f_1 & f_2 & f_3
	\end{array}
	\right\vert
\end{equation*}

     \begin{minipage}{10cm} \begin{equation*} \mathrm{rot} (F) = \nabla \times F = \left\vert \begin{array}{ccc} 	\hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\\displaystyle 	\frac{\partial}{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial}{\partial y}  	& \displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\\ 	f_1 & f_2 & f_3 	\end{array} 	\right\vert \end{equation*} \end{minipage}

El teorema de Green establece:
\begin{equation*}
\int\limits_{C}\!P\,dx + Q\,dy = \int\!\!\int\limits_{A}\!\left(
	\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}
	\right)\,dy\,dx
\end{equation*}

     \begin{minipage}{10cm} El teorema de Green establece: \begin{equation*} \int\limits_{C}\!P\,dx + Q\,dy = \int\!\!\int\limits_{A}\!\left( 	\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} 	\right)\,dy\,dx \end{equation*} \end{minipage}

Entonces, el área de la superficie parametrizada es:
\begin{equation*}
\int\!\!\int\limits_{S}\!d\sigma = \int\!\!\int\limits_{R}\left\|
	\frac{\partial X}{\partial t}\times\frac{\partial X}{\partial u}
	\right\|\,dt\,du
\end{equation*}

     \begin{minipage}{10cm} Entonces, el \'area de la superficie parametrizada es: \begin{equation*} \int\!\!\int\limits_{S}\!d\sigma = \int\!\!\int\limits_{R}\left\| 	\frac{\partial X}{\partial t}\times\frac{\partial X}{\partial u} 	\right\|\,dt\,du \end{equation*} \end{minipage}

Teorema de Gauss:
\begin{equation*}
\int\limits_{S}\!\mathbf{u}\cdot\mathbf{n}\,dS 
	= \int\limits_{V}\!\nabla\mathbf{u}\,dV
\end{equation*}

     \begin{minipage}{10cm} Teorema de Gauss: \begin{equation*} \int\limits_{S}\!\mathbf{u}\cdot\mathbf{n}\,dS = \int\limits_{V}\!\nabla\mathbf{u}\,dV \end{equation*} \end{minipage}

\begin{equation*}
P\{N(t) \geq k\} = P\left\{S_k \leq t \right\} = 1 - 
	\sum_{j=0}^{k-1}{e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^j}{j!}}
\end{equation*}

     \begin{minipage}{10cm} \begin{equation*} P\{N(t) \geq k\} = P\left\{S_k \leq t \right\} = 1 -  	\sum_{j=0}^{k-1}{e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^j}{j!}} \end{equation*} \end{minipage}

\begin{equation*}
P\{\gamma_t > x\} = e^{-\lambda (t + x)} + 
	\sum_{n=1}^{\infty}{\int\limits_{0}^{t}{\!e^{-\lambda (t + x - y)}
	\lambda^n\frac{y^{n-1}}{(n-1)!}e^{-\lambda y}dy}}
\end{equation*}

     \begin{minipage}{10cm} \begin{equation*} P\{\gamma_t > x\} = e^{-\lambda (t + x)} +  	\sum_{n=1}^{\infty}{\int\limits_{0}^{t}{\!e^{-\lambda (t + x - y)} 	\lambda^n\frac{y^{n-1}}{(n-1)!}e^{-\lambda y}dy}} \end{equation*} \end{minipage}

\begin{equation*}
P\{\mbox{un arribo en }(t + \Delta t)\} 
	= \sum_{i=1}^{2}{P\left\{
	\begin{array}{c}
	\mbox{un arribo del tipo $i$ sin arribo}\\
	\mbox{del otro tipo en }t + \Delta t
	\end{array}
	\right\}}
\end{equation*}

     \begin{minipage}{10cm} \begin{equation*} P\{\mbox{un arribo en }(t + \Delta t)\}  	= \sum_{i=1}^{2}{P\left\{ 	\begin{array}{c} 	\mbox{un arribo del tipo $i$ sin arribo}\\ 	\mbox{del otro tipo en }t + \Delta t 	\end{array} 	\right\}} \end{equation*} \end{minipage}

\begin{equation*}
\sum\limits_{\nu,\mu=1}^{2}\alpha_{\nu\mu}\xi_{\nu}\xi^{\mu} 
	+ 2\,\sum\limits_{\nu=1}^{2}\beta_{\nu}\xi^{\nu} = \alpha
\end{equation*}
donde $\alpha_{\nu\mu}$, $\beta_{\nu}$ y $\alpha$ son constantes.

     \begin{minipage}{10cm} \begin{equation*} \sum\limits_{\nu,\mu=1}^{2}\alpha_{\nu\mu}\xi_{\nu}\xi^{\mu}  	+ 2\,\sum\limits_{\nu=1}^{2}\beta_{\nu}\xi^{\nu} = \alpha \end{equation*} donde $\alpha_{\nu\mu}$, $\beta_{\nu}$ y $\alpha$ son constantes. \end{minipage}

\begin{equation*}
\left.\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(
	\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)}
	\right\vert_{x=2} = 3\cdot(2)^2 = 12
\end{equation*}

     \begin{minipage}{10cm} \begin{equation*} \left.\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{	\left(\dsf{\Delta y}{\Delta x}\right)}       \right\vert_{x=2} = 3\cdot(2)^2 = 12 \end{equation*} \end{minipage}

\begin{equation*}
m = \left.\frac{dy}{dx}\right\vert_{x=3,y=2.4} 
	= -\frac{9\,(3)}{25\,(2.4)} = -\frac{27}{60} = -\frac{9}{20}
\end{equation*}

     \begin{minipage}{10cm} \begin{equation*} m = \left.\frac{dy}{dx}\right\vert_{x=3,y=2.4}  	= -\frac{9\,(3)}{25\,(2.4)} = -\frac{27}{60} = -\frac{9}{20} \end{equation*} \end{minipage}

\begin{equation*}
\sum_{j=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^{m}a_{ij}\right)\,x_j \geq 
	\sum_{i=1}^{m}b_i
\end{equation*}

     \begin{minipage}{10cm} \begin{equation*} \sum_{j=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^{m}a_{ij}\right)\,x_j \geq  	\sum_{i=1}^{m}b_i \end{equation*} \end{minipage}

Determinar: $\vec{x}$ para maximizar: 
\begin{equation*}
z(\vec{x})=\vec{c}\cdot\vec{x}
\end{equation*}
sujeto a:
\begin{eqnarray*}
\mathbf{A}\,\vec{x} & \leq & \vec{b}\\
\vec{x} & \geq & \vec{0}
\end{eqnarray*}

     \begin{minipage}{10cm} Determinar: $\vec{x}$ para maximizar:  \begin{equation*} z(\vec{x})=\vec{c}\cdot\vec{x} \end{equation*} sujeto a: \begin{eqnarray*} \mathbf{A}\,\vec{x} & \leq & \vec{b}\\ \vec{x} & \geq & \vec{0} \end{eqnarray*} \end{minipage}

\begin{equation*} % Transformada de Laplace
\mathcal{L}(f(t)) = F(s) = \int\limits_{0}^{\infty}\!f(t)\,e^{-st}\,dt
\end{equation*}

     \begin{minipage}{10cm} \begin{equation*} \mathcal{L}(f(t)) = F(s) = \int\limits_{0}^{\infty}\!f(t)\,e^{-st}\,dt \end{equation*} \end{minipage}

\begin{equation*}
\mathbf{t} = \frac{\dot{x}\mathbf{i} + \dot{y}\mathbf{j}}
                  {\sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2}}
\end{equation*}

     \begin{minipage}{10cm} \begin{equation*} \mathbf{t} = \frac{\dot{x}\mathbf{i} + \dot{y}\mathbf{j}}{\sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2}} \end{equation*} \end{minipage}

Definimos: $v(t)=\dot{p}$, entonces, 
\begin{equation*}
\ddot{x} = \dot{v}(t) = \frac{dv}{dx}\cdot\frac{dx}{dt} = v\cdot\frac{dv}{dx}
\end{equation*}

     \begin{minipage}{10cm} Definimos: $v(t)=\dot{p}$, entonces,  \begin{equation*} \ddot{x} = \dot{v}(t) = \frac{dv}{dx}\cdot\frac{dx}{dt} = v\cdot\frac{dv}{dx} \end{equation*} \end{minipage}

Estos ejemplos pueden servirle para aprender a crear sus propias fórmulas a partir del código correspondiente: modifíquelo de acuerdo a su necesidad.

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