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Sesión 6: Ecuaciones

Se muestran ejemplos de cómo incluir ecuaciones en documentos.

Prestamos fáciles y rápidos

En LaTeX, cuando decimos ecuaciones, nos referimos a cualquier ecuación. Puede pensar en una sencilla ecuación lineal o en una ecuación que contiene símbolos matemáticos poco usuales.

Empezamos con cosas sencillas y poco a poco vamos elevando la dificultad.


Ambientes matemáticos

En LaTeX hay varias formas de iniciar un ambiente matemático. Si usted desea incluir en el párrafo una literal o una ecuación, por ejemplo, x + 1 = 0, debe iniciar el ambiente matemático con un símbolo de pesos ($) y terminarlo con el mismo símbolo. El código que se utilizó para incluir esa ecuacioncita es el siguiente:

Si usted desea incluir en el párrafo una literal o 
una ecuación, por ejemplo, $x + 1 = 0$, debe 
iniciar el ambiente matemático con un símbolo de 
pesos (\$) y terminarlo con el mismo símbolo.

Así puede incluir cualquier ecuación o símbolo matemático en una línea de texto.

Cuando usted desee incluir una ecuación centrada y en un párrafo aparte (sin texto), puede realizarlo de diferentes maneras. El siguiente código muestra las distintas formas en que puede incluirlas:

%
% esta es la primera forma:
%
\[ % esto inicia el ambiente matemático
	x + y = 1
\] % esto termina el ambiente matemático
%
% Esta es la segunda forma:
%
$$ % esto inicia el ambiente matemático
	x + y = 1
$$ % esto termina el ambiente matemático
%
% Tercera forma:
%
\begin{equation} % esto inicia el ambiente ecuación (numerada)
	x + y = 1 \nonumber
\end{equation} % esto termina el ambiente ecuación

Y en cualquier caso obtendrá:

(1)    \begin{equation*} 	x + y = 1 \nonumber \end{equation*}

La instrucción \nonumber le indica a LaTeX que no enumere esa ecuación, pues normalmente las va enumerando de acuerdo a la sección en la que se incluya ésta.

Una forma alterna de indicarle que no enumere la ecuación se consigue con el siguiente código:

\begin{equation*}
	x + y = 1 
\end{equation*}

Observe que ahora se incluye el ambiente equation*, que es igual al ambiente equation, con la diferencia de que el primero no enumera las ecuaciones, mientras que el segundo sí.


Álgebra elemental

Fracciones

Las fracciones son algo que se requiere muy frecuentemente al elaborar cualquier tipo de material matemático.

Para incluir una fracción usaremos la instrucción: \frac{num}{den}. Esta instrucción requiere de dos argumentos. El primero es el numerador de la fracción y el segundo representa el denominador de la misma. Por ejemplo:

\begin{equation*}
	\frac{x}{x-y} + \frac{y}{x + y} = 1
\end{equation*}

nos incluye en el documento:

     \begin{equation*} 	\frac{x}{x-y} + \frac{y}{x + y} = 1 \end{equation*}

Algunas veces LaTeX incluirá la fracción con un tamaño menor al que usted espera. Por ejemplo en el siguiente caso:

$$\frac{\frac{x}{x+y}}{\frac{y}{x-y}} = k$$

incluye en el documento:

     \begin{equation*} 	\frac{\frac{x}{x+y}}{\frac{y}{x-y}} = k \end{equation*}

Y tal vez usted quiera que el tamaño de la fuente en cada literal sea igual que en el texto. En ese caso debemos utilizar la instrucción \displaystyle:

$$\frac{\displaystyle\frac{x}{x+y}}{\displaystyle\frac{y}{x-y}} = k$$

y así obtendrá:

     \begin{equation*}    \frac{\displaystyle\frac{x}{x+y}}{\displaystyle\frac{y}{x-y}} = k \end{equation*}

Usted podrá incluir otros símbolos dentro del numerador conforme vaya avanzando en su uso de LaTeX. Más adelante veremos más ejemplos.

Exponentes y subíndices

Incluir exponentes en LaTeX es muy sencillo. Para eso utilizamos el símbolo ^. El siguiente código muestra el primer ejemplo:

\begin{equation*}
	x^n + y^n = z^n
\end{equation*}

que corresponde al último teorema de Fermat. Usted verá en el documento lo siguiente:

     \begin{equation*} 	x^n + y^n = z^n \end{equation*}

Nuestro siguiente ejemplo contiene más de un caracter en el exponente:

\begin{equation*}
	x^{-1} = \frac{1}{x}
\end{equation*}

Observe que para incluir varios caracteres en el exponente usamos llaves ({ }) como agrupador. En el documento obtenemos:

     \begin{equation*} 	x^{-1} = \frac{1}{x} \end{equation*}

Otro ejemplo más complicado es el siguiente:

\begin{equation*}
	y = x^{x^x}
\end{equation*}

que imprime en el documento:

     \begin{equation*} 	y = x^{x^x} \end{equation*}

Para los subíndices usamos el guión bajo: _. El siguiente ejemplo muestra un caso:

\begin{equation*}
	x_1 = \frac{2}{3}
\end{equation*}

Esto incluye en el documento:

     \begin{equation*} 	x_1 = \frac{2}{3} \end{equation*}

De manera semejante que para los exponentes, para incluir varios caracteres en un subíndice vamos a usar el agrupador:

\begin{equation*}
	\mathbf{A} = [a_{ij}]
\end{equation*}

imprime en el documento:

     \begin{equation*} 	\mathbf{A} = [a_{ij}] \end{equation*}

Un caso particular, para puntualizar a los estudiantes la notación usada en las funciones inversas es el siguiente:

     $$ f^{-1}(x) \neq \displaystyle\frac{1}{f(x)} $$ Pero $$ \left(f(x)\right)^{-1} = \displaystyle\frac{1}{f(x)} $$

que se obtuvo con el siguiente código:

$$
f^{-1}(x) \neq \displaystyle\frac{1}{f(x)}
$$
Pero
$$
\left(f(x)\right)^{-1} = \displaystyle\frac{1}{f(x)}
$$

Raíces

En matemáticas también frecuentemente usamos las raíces.

En LaTeX usamos la instrucción: \sqrt{rad}. Observe que esta instrucción requiere de un argumento, que corresponde al radicando. El siguiente ejemplo le da la idea general:

\begin{equation*}
	y = \sqrt{x}
\end{equation*}

que incluye en el documento lo siguiente:

     \begin{equation*} 	y = \sqrt{x} \end{equation*}

Al igual que con las fracciones, puede incluir otros símbolos dentro del signo del radical, solamente debe incluirlo dentro del argumento de la instrucción en el código \latex. Por ejemplo:

\begin{equation*}
	y = \sqrt{ 			% aqui va el radicando
		\frac{x+1}{x-1}
	} 						% finaliza el radicando
\end{equation*}

que incluye en el documento:

     \begin{equation*} 	y = \sqrt{\frac{x+1}{x-1}} \end{equation*}

Un ejemplo donde puede aplicar parte de lo que hemos estudiado hasta aquí, consiste en escribir la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas. Para eso necesitamos el siguiente código:

Las raíces de la ecuación: $ax^2 + bx + c = 0$, se calculan con la fórmula:
%
\begin{equation*}
	x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\end{equation*}
%
siempre que $a \neq 0$.

y obtenemos:

     Las ra\'ices de la ecuaci\'on: $ax^2 + bx + c = 0$, se calculan con la f\'ormula: % \begin{equation*} 	x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \end{equation*} % siempre que $a \neq 0$.

Observe que el símbolo \pm lo obtenemos con el código: \pm, donde p = plus (más), y m = minus (menos).

Otro símbolo usado es: \neq que se obtiene con la instrucción: \neq, donde n = not (no) y eq = equal (igual).

Para indicar el índice de la raíz usamos un argumento entre corchetes:

\begin{equation*}
	y = \sqrt[7]{\frac{x^5 + 1}{x^5 - 1}} 
	  = \left(\frac{x^5 + 1}{x^5 - 1}\right)^{1/7}
\end{equation*}

incluye en nuestro documento:

     \begin{equation*} 	y = \sqrt[7]{\frac{x^5 + 1}{x^5 - 1}} = \left(\frac{x^5 + 1}{x^5 - 1}\right)^{1/7} \end{equation*}

Observe que el paréntesis izquierdo se incluye con la instrucción \left(, mientras
que el derecho se incluye con \right). Esto permite adaptar el tamaño del paréntesis
a lo que exige la expresión que contendrán los mismos.

Física

Cualquier fórmula que se pueda imaginar para cualquier curso de matemáticas o cualquier otra materia del área de las ciencias exactas puede generarlo con \latex.

Por ejemplo, la fórmula para calcular la energía cinética E_k [J] de un cuerpo de masa m [kg] que se mueve con una velocidad de v [m/s], es:

     \begin{equation*} 	E_k = \frac{1}{2}\,mv^2 \end{equation*}

que se consigue con el código:

\begin{equation*}
	E_k = \frac{1}{2}\,mv^2
\end{equation*}

Usando la generalización, puede escribir:

\begin{equation*}
	\mbox{Variación de la energía cinética} 
	= \displaystyle\frac{1}{2}\,mv_2^2 - \frac{1}{2}\,mv_1^2
	= \frac{1}{2}\,m\left(v_2^2 - v_1^2\right)
\end{equation*}

que incluye en el documento:

     \begin{equation*} 	\mbox{Variaci\'on de la energ\'ia cin\'etica}  	= \displaystyle\frac{1}{2}\,mv_2^2 - \frac{1}{2}\,mv_1^2 	= \frac{1}{2}\,m\left(v_2^2 - v_1^2\right) \end{equation*}

Otro ejemplo de física más fácil es:

\begin{equation*}
	v_y = v_0\sin\theta - gt
\end{equation*}

incluye en el documento:

Aprende Producción de Audio

     \begin{equation*} 	v_y = v_0\sin\theta - gt \end{equation*}

El código:

De acuerdo con la segunda ley de Newton, tenemos que:
\begin{equation*}
	\sum{F_x} = ma_x \qquad\qquad \sum{F_y} = ma_y
\end{equation*}

incluye en el documento:

     De acuerdo con la segunda ley de Newton, tenemos que:\index{Ejemplo!Instrucción!\tbs qquad} \begin{equation*} 	\sum{F_x} = ma_x \qquad\qquad \sum{F_y} = ma_y \end{equation*}

Otro ejemplo donde se incluye la fórmula para la conversión de temperatura entre las escalas centígrada y Farenheit es:

\begin{equation*}
	F = \frac{9}{5}\,C + 32
\end{equation*}

que incluye en el documento:

     \begin{equation*} 	F = \frac{9}{5}\,C + 32 \end{equation*}

Otro ejemplo un poquito más complicado es el siguiente:

Al emitir un fotón, la disminución de energía es:
\begin{equation*}
W_1 - W_2 = hf = - \frac{1}{\varepsilon_0^2}\frac{me^4}{8n^2h^2} 
                 + \frac{1}{\varepsilon_0^2}\frac{me^4}{8l^2h^2}
\end{equation*}

incluye en el documento:

     \begin{minipage}{10cm} Al emitir un fot\'on, la disminuci\'on de energ\'ia es: \begin{equation*} W_1 - W_2 = hf = - \frac{1}{\varepsilon_0^2}\frac{me^4}{8n^2h^2}                   + \frac{1}{\varepsilon_0^2}\frac{me^4}{8l^2h^2} \end{equation*} \end{minipage}

Geometría

Ahora un ejemplo de geometría:

La fórmula para calcular el área del triángulo de base $b$ y altura $h$ es:
\begin{equation*}
	A = \frac{b\times h}{2}
\end{equation*}

y usted verá en el documento:

     La f\'ormula para calcular el \'area del tri\'angulo de base $b$ y altura $h$ es: \begin{equation*} 	A = \frac{b\times h}{2} \end{equation*}

Relacionado a la notación de geometría:

La suma de los ángulos internos $\angle\alpha, \angle\beta, \angle\gamma$ 
de un triángulo que se encuentra sobre un plano suman $\pi$ radianes, 
o bien, $180\textdegree$.

incluye en el documento:

 \begin{minipage}{10cm} La suma de los \'angulos internos $\angle\alpha, \angle\beta, \angle\gamma$  de un tri\'angulo que se encuentra sobre un plano suman $\pi$ radianes,  o bien, $180\textdegree$. \end{minipage}

Ahora algunos ejemplos de geometría analítica que se extrajeron de la obra Geometría Analítica de Efraín Soto Apolinar.

Para calcular las coordenadas del punto medio $M(x_M, y_M)$ del 
segmento $\overline{AB}$ con $A(x_1, y_1)$, y $B(x_2, y_2)$ usamos:
\begin{equation*}
x_M = \frac{x_1 + x_2}{2} \qquad\qquad\qquad y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}
\end{equation*}
que no es sino el promedio de cada coordenada.

incluye en el documento:

     \begin{minipage}{10cm} Para calcular las coordenadas del punto medio $M(x_M, y_M)$ del  segmento $\overline{AB}$ con $A(x_1, y_1)$, y $B(x_2, y_2)$ usamos: \begin{equation*} x_M = \frac{x_1 + x_2}{2} \qquad\qquad\qquad y_M = \frac{y_1 + y_2}{2} \end{equation*} que no es sino el promedio de cada coordenada. \end{minipage}

Para la fórmula de distancia entre dos puntos del plano podemos usar el siguiente código:

Sean $P(x_p,y_p)$ y $Q(x_q,y_q)$ dos puntos del plano. 
La distancia $D$ entre ellos, medido en la unidad de medida 
del sistema de coordenadas es igual a:
\begin{equation*}
	D = \sqrt{(x_q - x_p)^2 + (y_q - y_p)^2}
\end{equation*}

incluye en el documento:

     \begin{minipage}{10cm} Sean $P(x_p,y_p)$ y $Q(x_q,y_q)$ dos puntos del plano.  La distancia $D$ entre ellos, medido en la unidad de medida  del sistema de coordenadas es igual a: \begin{equation*} 	D = \sqrt{(x_q - x_p)^2 + (y_q - y_p)^2} \end{equation*} \end{minipage}

Un último ejemplo para encontrar las coordenadas del punto que divide a un segmento en una razón r dada:

     \begin{minipage}{10cm} Si consideramos que $M(x_m,y_m)$ es el punto de divisi\'on  del segmento $\segm{PQ}$, con $P(x_p, y_p)$ y $Q(x_q, y_q)$,  entonces, podemos escribir: \begin{equation*} 	r = \frac{x_m - x_p}{x_q - x_m} \end{equation*} y de manera semejante: \begin{equation*} 	r = \frac{y_m - y_p}{y_q - y_m} \end{equation*} \end{minipage}

que se obtuvo con el código:

Si consideramos que $M(x_m,y_m)$ es el punto de división 
del segmento $\overline{PQ}$, con $P(x_p, y_p)$ y $Q(x_q, y_q)$, 
entonces, podemos escribir:
\begin{equation*}
	r = \frac{x_m - x_p}{x_q - x_m}
\end{equation*}
y de manera semejante:
\begin{equation*}
	r = \frac{y_m - y_p}{y_q - y_m}
\end{equation*}

Análisis

En esta rama de las matemáticas es donde más utilizaremos las fórmulas y ecuaciones matemáticas al elaborar materiales.

Nuestro primer ejemplo de análisis:

\begin{equation*}
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots
\end{equation*}

que incluye en el documento:

     \begin{equation*} e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots \end{equation*}

Otro ejemplo al usar la regla de los cuatro pasos:

\begin{equation*}
\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\sqrt{x +\Delta x}-\sqrt{x}}{\Delta x}
\end{equation*}

en el documento veremos:

     \begin{equation*} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x}}{\Delta x} \end{equation*}

Por cierto, no podemos dejar a un lado las derivadas:

Si $f(x) = x^2$, entonces
\begin{equation*}
	f'(x) = \frac{df}{dx} = 2\,x
\end{equation*}

y en el documento se incluye lo siguiente:

     Si $f(x) = x^2$, entonces \begin{equation*} 	f'(x) = \frac{df}{dx} = 2\,x \end{equation*}

Para las derivadas parciales, debemos usar el símbolo \partial:

\begin{equation*}
\frac{\partial^3f}{\partial x^2\partial y} =
	\frac{\partial}{\partial x}
	\left(\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\right)
\end{equation*}

que incluye en el documento:

     \begin{equation*} \frac{\partial^3f}{\partial x^2\partial y} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\right) \end{equation*}

Ahora una integral:

\begin{equation*}
	\int\!\frac{dv}{v} = \ln |v| + C
\end{equation*}

y se incluye en el documento:

     \begin{equation*} 	\int\!\frac{dv}{v} = \ln |v| + C \end{equation*}

Finalmente, la fórmula de Euler:

\begin{equation*}
e^{i\theta} = \cos\theta + i\,\sin\theta
\end{equation*}

     \begin{equation*} e^{i\theta} = \cos\theta + i\,\sin\theta \end{equation*}

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