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Sesión 6: Ecuaciones

Se muestran ejemplos de cómo incluir ecuaciones en documentos.


Geometría

Ahora un ejemplo de geometría:

Si usted desea incluir en el párrafo una literal o 
una ecuación, por ejemplo, $x + 1 = 0$, debe 
iniciar el ambiente matemático con un símbolo de 
pesos (\$) y terminarlo con el mismo símbolo.

y usted verá en el documento:

     La f\'ormula para calcular el \'area del tri\'angulo de base $b$ y altura $h$ es: \begin{equation*} 	A = \frac{b\times h}{2} \end{equation*}

Relacionado a la notación de geometría:

%
% esta es la primera forma:
%
\[ % esto inicia el ambiente matemático
	x + y = 1
\] % esto termina el ambiente matemático
%
% Esta es la segunda forma:
%
$$ % esto inicia el ambiente matemático
	x + y = 1
$$ % esto termina el ambiente matemático
%
% Tercera forma:
%
\begin{equation} % esto inicia el ambiente ecuación (numerada)
	x + y = 1 \nonumber
\end{equation} % esto termina el ambiente ecuación

incluye en el documento:

 \begin{minipage}{10cm} La suma de los \'angulos internos $\angle\alpha, \angle\beta, \angle\gamma$  de un tri\'angulo que se encuentra sobre un plano suman $\pi$ radianes,  o bien, $180\textdegree$. \end{minipage}

Ahora algunos ejemplos de geometría analítica que se extrajeron de la obra Geometría Analítica de Efraín Soto Apolinar.

\begin{equation*}
	x + y = 1 
\end{equation*}

incluye en el documento:

     \begin{minipage}{10cm} Para calcular las coordenadas del punto medio $M(x_M, y_M)$ del  segmento $\overline{AB}$ con $A(x_1, y_1)$, y $B(x_2, y_2)$ usamos: \begin{equation*} x_M = \frac{x_1 + x_2}{2} \qquad\qquad\qquad y_M = \frac{y_1 + y_2}{2} \end{equation*} que no es sino el promedio de cada coordenada. \end{minipage}

Para la fórmula de distancia entre dos puntos del plano podemos usar el siguiente código:

\begin{equation*}
	\frac{x}{x-y} + \frac{y}{x + y} = 1
\end{equation*}

incluye en el documento:

     \begin{minipage}{10cm} Sean $P(x_p,y_p)$ y $Q(x_q,y_q)$ dos puntos del plano.  La distancia $D$ entre ellos, medido en la unidad de medida  del sistema de coordenadas es igual a: \begin{equation*} 	D = \sqrt{(x_q - x_p)^2 + (y_q - y_p)^2} \end{equation*} \end{minipage}

Un último ejemplo para encontrar las coordenadas del punto que divide a un segmento en una razón r dada:

     \begin{minipage}{10cm} Si consideramos que $M(x_m,y_m)$ es el punto de divisi\'on  del segmento $\segm{PQ}$, con $P(x_p, y_p)$ y $Q(x_q, y_q)$,  entonces, podemos escribir: \begin{equation*} 	r = \frac{x_m - x_p}{x_q - x_m} \end{equation*} y de manera semejante: \begin{equation*} 	r = \frac{y_m - y_p}{y_q - y_m} \end{equation*} \end{minipage}

que se obtuvo con el código:

$$\frac{\frac{x}{x+y}}{\frac{y}{x-y}} = k$$

Análisis

En esta rama de las matemáticas es donde más utilizaremos las fórmulas y ecuaciones matemáticas al elaborar materiales.

Nuestro primer ejemplo de análisis:

$$\frac{\displaystyle\frac{x}{x+y}}{\displaystyle\frac{y}{x-y}} = k$$

que incluye en el documento:

     \begin{equation*} e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots \end{equation*}

Otro ejemplo al usar la regla de los cuatro pasos:

\begin{equation*}
	x^n + y^n = z^n
\end{equation*}

en el documento veremos:

     \begin{equation*} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x}}{\Delta x} \end{equation*}

Por cierto, no podemos dejar a un lado las derivadas:

\begin{equation*}
	x^{-1} = \frac{1}{x}
\end{equation*}

y en el documento se incluye lo siguiente:

     Si $f(x) = x^2$, entonces \begin{equation*} 	f'(x) = \frac{df}{dx} = 2\,x \end{equation*}

Para las derivadas parciales, debemos usar el símbolo \partial:

\begin{equation*}
	y = x^{x^x}
\end{equation*}

que incluye en el documento:

     \begin{equation*} \frac{\partial^3f}{\partial x^2\partial y} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\right) \end{equation*}

Ahora una integral:

\begin{equation*}
	x_1 = \frac{2}{3}
\end{equation*}

y se incluye en el documento:

     \begin{equation*} 	\int\!\frac{dv}{v} = \ln |v| + C \end{equation*}

Finalmente, la fórmula de Euler:

\begin{equation*}
	\mathbf{A} = [a_{ij}]
\end{equation*}

     \begin{equation*} e^{i\theta} = \cos\theta + i\,\sin\theta \end{equation*}

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