Sesión 13: Primeros documentos en LaTeX

% Estructura en LaTeX2e
% Artículo para la OMM-QRoo...
% Olimpiada Matemática Mexicana
% del Estado de Quintana Roo
\documentclass[pdftex,twoside,12pt,a4paper]{article}
 
% Signos de espa&ol.
\usepackage[ansinew]{inputenc} 
% Cambio los márgenes de la página del documento
\usepackage[left=2cm,top=1in,right=2.5cm]{geometry}
% para incluir fuentes tipograficas con color
\usepackage{color} 
% Para las ecuaciones
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
 
% -----------------------------
% Encabezados...
% -----------------------------
\usepackage{fancyhdr} % paquete...
 	% para usar encabezados y pie de pagina
\pagestyle{fancy}
\lhead{} % Encabezado de la izquierda
\chead{}  % Encabezado del centro
% Encabezado de la derecha
\rhead{\textcolor{blue}{OMM}\\\textcolor{blue}{QRoo}} 
% Pié de página de la izquierda
\lfoot{\textcolor{blue}{Suma de Gauss}} 
% Pié de página del centro
\cfoot{\small{\textcolor{blue}{\thepage}}} 
%Pie de página de la derecha
\rfoot{\textcolor{blue}{2007}} 
 
% Formato del párrafo del documento...
% Defino que no quiero que deje espacio en blanco 
% al iniciar el primer renglón de un nuevo párrafo...
\setlength{\parindent}{0pt} 
 
% Defino el espacio entre párrafos consecutivos...
\setlength{\parskip}{1ex} 
% -----------------------------------------------------------------------
% Termina el preámbulo del documento
%
% Inicia el documento
\begin{document}
% El título del artículo centrado y con formato especial...
\begin{center}
\textbf{\textcolor{blue}{La Suma de GAUSS}}
\end{center}
 
% inicia una sección...
\section{La experiencia de Gauss}
 
En este apartado, explicamos una experiencia de uno 
de los más grandes matemáticos de la historia de la 
humanidad: \textsl{Carl Friedrich Gauss.} 
% \textsl imprime al argumento con fuente inclinada (slanted)
 
Gauss es considerado por muchos matemáticos como uno 
de los más grandes matemáticos de la historia. 
Nació en Alemania, y realizó sus estudios de nivel 
básico como cualquier otro estudiante. Para dar una muestra 
de su talento matemático, aquí se presenta una vivencia que 
se cuenta de él, cuando tenía 8 años.
 
Un día Gauss fue a la escuela. Su maestra (guapa como todas 
las maestras de segundo de primaria) tenía a su novio, que 
muy pocas veces veía, debido a que vivían en poblados 
distintos. Un día el novio de la maestra fue a visitarla, 
y a ella se le hizo fácil entretener a sus estudiantes 
poniéndoles una tarea muy sencilla, pero bastante laboriosa: 
sumar todos los números del 1 al 100.
 
Tan pronto como les dijeron, todos los niños del salón 
empezaron a sumar, pero a Gauss se le hizo demasiado aburrido 
recorrer todo el camino ``a pie'', así que utilizó ciertas propiedades 
de los números enteros para terminar más rápido haciendo menos esfuerzo. 
Veamos qué hizo Gauss.
 
Seguramente pensó: Bueno, esta maestra floja quiere andar noviando, 
así que nos deja de tarea algo que ella misma considera laborioso, 
pero le daré una pequeña sorpresa.
 
Ella nos pide que sumemos:
% 
\begin{equation*}
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \cdots + 99 + 100
\end{equation*}
%
Pero es evidente que la suma anterior es igual a:
% Otra ecuación...
\begin{equation*}
100 + 99 + 98 + 97 + 96 + \cdots + 2 + 1
\end{equation*}
%
porque si fueran grupos de manzanas que estuviéramos colocando 
dentro del salón, entonces no importaría por cual grupo de 
manzanas empezara metiendo, al final de cuentas tendré el 
mismo número de manzanas, si es que se meten todos los grupos.
 
Regresando a las sumas que nos pide la maestra, si sumo ambos 
renglones, tendré dos veces la suma que la maestra nos pide. 
Veamos si eso ayuda.
% Una tabla en ambiente matemático
\begin{equation*}
\begin{array}{ccccccccccccccc}
   S &=&   1 &+&   2 &+&   3 &+&   4 &+& \cdots &+&  99 &+& 100\\
   S &=& 100 &+&  99 &+&  98 &+&  97 &+& \cdots &+&   2 &+&   1\\\hline
2\,S &=& 101 &+& 101 &+& 101 &+& 101 &+& \cdots &+& 101 &+& 101\\
\end{array}
\end{equation*}
%
Aquí veo luego, luego que el 101 se repite cien veces. Entonces 
la suma del último renglón debe ser 100 por 101, esto es, 10\,100 
(recuerda el truco de multiplicar por cien, solamente agrega dos 
ceros a la derecha). Este número es el doble de la suma que nos 
pidió la maestra, así que, si divido 10100 entre dos tengo la suma 
que estoy buscando. Entonces la suma debe ser 5050. 
La maestra quiere ver en la libreta:
% Una ecuación más...
\begin{equation*}
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \cdots + 99 + 100 = 5050
\end{equation*}
%
Listo!
 
Desde luego, nuestro amigo Gauss realizó esto más rápido de lo que 
su maestra esperaba, que ella se sorprendió cuando Gauss levantó 
su pizarra para ponerla en su escritorio y decir ``\textsl{ya está}''. 
Para sorpresa de la maestra Gauss era el único que tenía el resultado 
correcto.
%
%
% Inicia otra sección...
\section{Generalización}
 
Ahora, en caso de que quieras sumar:
% Una ecuación más...
\begin{equation}
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \cdots + n = \displaystyle\frac{n\,(n+1)}{2}
\end{equation}
%
Porque, utilizando el método de Gauss, obtenemos:
% Un arreglo más...
\begin{equation*}
\begin{array}{ccccccccccc}
   S &=&  1  &+&   2   &+& \cdots &+&  n-1  &+&  n   \\
   S &=&  n  &+&  n-1  &+& \cdots &+&    2  &+&  1   \\\hline
2\,S &=&(n+1)&+& (n+1) &+& \cdots &+& (n+1) &+& (n+1)\\
\end{array}
\end{equation*}
%
Observa que estamos sumando el número $n+1$ un total de $n$ veces, 
de aquí que: $2\,S=n\,(n+1)$, y 
% La última ecuación...
\begin{equation*}
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \cdots + n = \displaystyle\frac{n\,(n+1)}{2}
\end{equation*}
%
\textbf{\textcolor{blue}{Moraleja:}} Lo que parece difícil 
se hace fácil si te decides a pensar en resolver el problema 
que tienes enfrente.
 
Como se puede ver, conocer unas pocas propiedades de las cosas 
que estemos operando, y aplicarlas a un problema específico, 
ayuda bastante a reducir el esfuerzo que se supone necesario 
para resolverlo sin aplicar tales propiedades.
 
Para eso sirven las matemáticas..., aunque muchas de las veces, 
no nos demos cuenta; o peor aún, parezca lo contrario.
 
\vfill
\textsl{Profr. Efraín Soto Apolinar.}
 
\textbf{\textcolor{blue}{P.D.}} ¿Puedes mencionar las propiedades 
de los números que utilizó Gauss para resolver su tarea?
\end{document}
% Termina el documento

%
% Estructura en LaTeX2e
%
% Examen diagnóstico
% Elaborado por Efraín Soto A.
%
% para el manual:
% LaTeX2e en 15 sesiones.
% 
% 22 de noviembre de 2008.
%
\documentclass[pdftex,twoside,12pt,a4paper]{article}
 
 
% Sígnos de espa&ol.
\usepackage[ansinew]{inputenc} 
% Cambio los márgenes de la página del documento
\usepackage[left=2cm,top=1in,right=2.5cm]{geometry}
% para incluir fuentes tipograficas con color
\usepackage{color} 
% Para las ecuaciones
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
% para hacer listas enumeradas
\usepackage{enumerate}
 
% -----------------------------
% Encabezados...
% -----------------------------
\usepackage{fancyhdr} % paquete...
 % para usar encabezados y pie de pagina
\pagestyle{fancy}
\lhead{} % Encabezado de la izquierda
\chead{}  % Encabezado del centro
\rhead{\textcolor{blue}{Matemáticas}} % Encabezado de la derecha
\lfoot{\textcolor{blue}{Examen}} % Pié de página de la izquierda
\cfoot{\small{\textcolor{blue}{\thepage}}} % Pié de página del centro
\rfoot{\textcolor{blue}{Diagnóstico}} %Pie de página de la derecha
 
 
% Formato del párrafo del documento...
% Defino que no quiero que deje espacio en blanco 
% al iniciar el primer renglón de un nuevo párrafo...
\setlength{\parindent}{0pt} 
 
% Defino el espacio entre párrafos consecutivos...
\setlength{\parskip}{1ex} 
 
% ------------------------------------------------------------------------
% Termina el preámbulo del documento
 
% Inicia el documento
\begin{document}
% El título del artículo centrado y con formato especial...
\begin{center}
% el nombre de la materia tiene fuente tipográfica
% \textsc{} que hace mayúsculas pequeñas...
\textsc{Matemáticas} \\% Nombre de la Materia
\textsl{Profr. Efraín Soto Apolinar.}
\end{center}
 
% Espacio para que el estudiante escriba sus datos
\textbf{Nombre:} \rule{7.5cm}{0.5pt} \hfill
\textbf{Grupo:} \rule{1.5cm}{0.5pt} 
\textbf{Calif:} \rule{1.5cm}{0.5pt} 
 
% Incluyo las instrucciones del examen.
\textcolor{cyan}{\hrule}
\textbf{\textcolor{blue}{Instrucciones:}} 
% \textit{} cambia la fuente tipográfica a itálica (cursiva).
\textit{Resuelve completa y correctamente cada uno de los 
siguientes ejercicios y problemas.}\\
\textcolor{cyan}{\hrule}
 
%
% Empiezan las preguntas del examen
%
\begin{enumerate}[1)]
% primer pregunta
\item Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales por 
cualquier método algebraico:
$\left\{
\begin{array}{rcl}
3\,x - 2\,y &=& 1\\
2\,x + 3\,y &=& 1
\end{array}\right.
$
 
\vspace{3cm}
% siguiente pregunta
\item Adán tiene \$39 pesos en 12 monedas. Las únicas denominaciones 
de monedas que tiene son de \$2.00 y \$5.00 pesos. ¿Cuántas monedas 
tiene de cada denominación?
 
\vspace{3cm}
% siguiente pregunta
\item Encuentra las coordenadas del centro $C(h,k)$ y el radio $r$ de 
la circunferencia que pasa por los siguientes tres puntos $P(1,3)$, 
$Q(-3,1)$ y $R(3,-1)$.
 
\vspace{3cm}
% siguiente pregunta
\item Expresa como suma de fracciones con denominadores lineales: 
$\displaystyle\frac{x}{x^2 + 4\,x - 5} = $
 
\vspace{3cm}
% siguiente pregunta
\item Calcula: $\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\!\frac{dx}{x^2}$
\end{enumerate}
\end{document}
% Termina el documento

% ---------------------------------------------
% Problemitas para los que se aburren
% en casa viendo el techo por estar en la cama!
% ---------------------------------------------
 
% ---------------------------------------------
% Autor: Efraín Soto Apolinar.
% ----------------------------------------------
 
\documentclass[12pt,a4paper,twoside,landscape]{article}
% Español...
\usepackage[ansinew]{inputenc}
 
% Formato del párrafo del documento...
%
% Defino que no quiero que deje espacio en blanco 
% al iniciar el primer renglón de un nuevo párrafo...
\setlength{\parindent}{0pt} 
% Defino el espacio entre párrafos consecutivos...
\setlength{\parskip}{2ex plus 0.5ex minus 0.2ex} 
% Defino los márgenes de la hoja
\usepackage[left=2.5cm,top=2.5cm,right=2.5cm,bottom=2.5cm]{geometry} 
\usepackage{color}           % por si se requieren letras de color...
\usepackage{amsfonts}        % Fuentes Matemáticas
\usepackage{amsmath,amssymb} % igualmente...
 
% --------------------------
% Ambiente solucion...
% --------------------------
\newenvironment{solucion}[1]{
\textsc{\textbf{Solución.}}\\{\rmfamily #1}
}{
\hfill$\square$
}
 
% ----------------------
% Encabezados...
% ----------------------
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{} % Limpia todos los encabezados y pie de página
\fancyhead[LE,RO]{\textcolor{blue}{Problemita...}}
\fancyfoot[C]{\bfseries\thepage}
% - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
\begin{document}
\large
\begin{center}
\textbf{Un problemita para los aburridos...}
\end{center}
 
\textsl{Para que no se la pasen rascándose la panza!}
 
Problemita bonito.
 
\textcolor{blue}{
\textsc{Demuestra que:}
\begin{equation}
a^{ix}=\cos\left(x\,\ln a\right)+i\,\sin\left(x\,\ln a\right)\nonumber
\end{equation}
}
 
En mi trabajo nos encontramos este problemita y cuando 
encontramos la solución me gustó bastante... 
por eso les envío una copia para que se gocen con él!
 
La solución está en la siguiente página... pero primero intenten!!!
\newpage
Compara esta solución con tu solución...
 
\textcolor{red}{Si no has intentado encontrar la solución, 
es mejor que regreses y lo intentes!!!}
 
Ok. Ahí va:
 
\begin{solucion}
{Solamente se requiere utilizar las propiedades de los exponentes 
y los logaritmos y al final la fórmula de Euler...
\Large
\begin{eqnarray*}
a^{ix} &=& \left(a^x\right)^i\\
       &=& \left[e^{\ln(a^x)}\right]^i\\
       &=& e^{i\,\ln(a^x)}\\
       &=& e^{i\,x\,\ln a}\\
       &=& \cos\left(x\,\ln a\right) + i\,\sin\left(x\,\ln a\right)
\end{eqnarray*}
}
\end{solucion}
 
Lo que me parece interesante de este problema es que si graficamos 
paramétricamente las coordenadas de $a^{i\,x}$, sigue siendo una 
circunferencia. No cambia el radio, sino la frecuencia. 
 
¿Qué tal?
 
Saludos.
 
Efra.
\vfill
\textbf{P.D.} Si no pudiste resolverlo, no te preocupes... 
Así es la ciencia. 
 
\end{document}

\documentclass{article}
\usepackage[ansinew]{inputenc}
\usepackage[top=1in,bottom=1in,left=1in,right=1in]{geometry}
\usepackage{color}
\usepackage{pifont}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
%
Para aquellos profesores que disfrutan de encontrar retos 
para los estudiantes, creo que este es uno bueno.
\begin{center}
\shadowbox{\begin{minipage}{0.85\linewidth}
Resuelve:
\begin{equation*}
ab\,x^2 - a^2x = b^2x - ab
\end{equation*}
\end{minipage}
}
\end{center}
\begin{dinglist}{51}
\item \textcolor{red}{\textbf{Primer Método:}} Primero reescribimos 
la ecuación en la forma: $\alpha x^2 + \beta x + \gamma = 0$
\begin{eqnarray*}
ab\,x^2 - a^2x &=& b^2x - ab\\
ab\,x^2 - \left(a^2 + b^2\right)\,x + ab &=& 0
\end{eqnarray*}
\item Ahora aplicamos la fórmula general:
\begin{eqnarray*}
x &=& \displaystyle
  \frac{a^2 + b^2 \pm \sqrt{\left(a^2 + b^2\right)^2 - 4a^2b^2}}{2\,ab}\\
  &=& \displaystyle
  \frac{a^2 + b^2 \pm \sqrt{a^4 + 2a^2b^2 + b^4 - 4a^2b^2}}{2\,ab}\\
  &=& \displaystyle\frac{a^2 + b^2 \pm \sqrt{a^4 - 2a^2b^2 + b^4}}{2\,ab}\\
  &=& \displaystyle\frac{a^2 + b^2 \pm \sqrt{(a^2 - b^2)^2}}{2\,ab}\\
  &=& \displaystyle\frac{a^2 + b^2 \pm (a^2 - b^2)}{2\,ab}
\end{eqnarray*}
\item Ahora calculamos por separado cada una de las raíces de la ecuación:
\begin{eqnarray*}
x_1 &=& \displaystyle\frac{a^2 + b^2 + (a^2 - b^2)}{2\,ab}\\
    &=& \displaystyle\frac{2\,a^2}{2\,ab} = \frac{a}{b}\\
x_2 &=& \displaystyle\frac{a^2 + b^2 - a^2 + b^2}{2\,ab}\\
    &=& \displaystyle\frac{2\,b^2}{2\,ab} = \frac{b}{a}
\end{eqnarray*}
%\item Ahora verifica que las raíces sean correctas.
\item \textcolor{red}{\textbf{Segundo Método:}} Podemos 
dividir ambos lados de la ecuación entre $ab$ y obtener:
\begin{eqnarray*}
ab\,x^2 - \left(a^2 + b^2\right)\,x + ab &=& 0\\
x^2 - \displaystyle\frac{a^2 + b^2}{ab}\,x + 1 &=& 0\\
x^2 - \left(\displaystyle\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\right)\,x + 1 &=& 0\\
\left(x - \displaystyle\frac{a}{b}\right)\left(x - \frac{b}{a}\right) &=& 0
\end{eqnarray*}
\item De donde se hace evidente que la solución que encontramos 
con el primer método es correcta.
\end{dinglist}
\vfill
Un saludo.\\
\textcolor{blue}{Efraín Soto A.}
\end{document}

%
% Estructura en LaTeX2e
%
% Deducción de la ley de senos
% 
% Elaborado por Efraín Soto A.
% 
% Incluido en el manual:
% LaTeX2e en 15 sesiones.
% 
% 12 de diciembre de 2008.
%
\documentclass[pdftex,twoside,10pt,a4paper]{article}
\usepackage[left=1.5cm,top=1in,right=1.5cm]{geometry}
\usepackage[ansinew]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{color}
\usepackage{tikz}
 
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancy}
\lhead{} % Encabezado de la izquierda
\chead{}  % Encabezado del centro
% Encabezado de la derecha
\rhead{\textcolor{blue}{Formularios}} 
% Pié de página de la izquierda
\lfoot{\textcolor{blue}{Profr. Efraín Soto A.}} 
\cfoot{}% Pié de página del centro
\rfoot{} %Pie de página de la derecha
 
 
% Formato del párrafo del documento...
\setlength{\parindent}{0pt}
\setlength{\parskip}{2ex plus 0.5ex minus 0.2ex}
\setcounter{page}{0}
\pagenumbering{arabic}
 
\begin{document}
 
\begin{center}
{\huge
\textcolor{blue}{Ley de senos}
}
 
$\displaystyle\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} 
  = \frac{c}{\sin\gamma}$
\end{center}
%
Empezamos con un triángulo cualquiera.
 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
\draw[blue,thick] (0,0) -- (5,0) node[below,midway]{$a$};
\draw[blue,thick] (0,0) -- (4,5)node[above,midway]{$b$};
\draw[blue,thick] (4,5) -- (5,0)node[above,midway]{$c$};
\draw[cyan,thick,loosely dashed] (4,0) -- (4,5);
\node[left,cyan] at (4,2.5){$h$};
\node[red] at (0.4,0.25) {$\gamma$};
\node[red] at (4.65,0.25) {$\beta$};
\node[red,below] at (3.85,4.75) {$\alpha$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
 
Es claro, de la figura que $h=c\,\sin\beta$. 
Pero también, $h=b\,\sin\gamma$.
 
Al igualar los dos valores de $h$ encontrados obtenemos:
%
\begin{eqnarray*}
h = c\,\sin\beta &=& b\,\sin\gamma\\
\displaystyle\frac{c}{\sin\gamma} &=& \frac{b}{\sin\beta}
\end{eqnarray*}
%
 
Pero esa no es la única altura que tiene el triángulo.
 
Si dibujamos ahora otra altura $h_2$, 
como se muestra enseguida:
 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
\draw[blue,thick] (0,0) -- (5,0) node[below,midway]{$a$};
\draw[blue,thick] (0,0) -- (4,5)node[above,midway]{$b$};
\draw[blue,thick] (4,5) -- (5,0)node[above,midway]{$c$};
\draw[cyan,thick,loosely dashed] (1.95,2.44) -- (5,0);
\node[above,cyan] at (3.12,1.5){$h_2$};
\node[red] at (0.4,0.25) {$\gamma$};
\node[red] at (4.65,0.25) {$\beta$};
\node[red,below] at (3.85,4.75) {$\alpha$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
 
Ahora tenemos que $h_2=a\,\sin\gamma$, y también se cumple: 
$h_2 = c\,\sin\alpha$. Al igualar estos valores obtenemos:
%
\begin{eqnarray*}
h_2=a\,\sin\gamma &=& c\,\sin\alpha\\
\displaystyle\frac{a}{\sin\alpha} &=& \frac{c}{\sin\gamma}
\end{eqnarray*}
%
Pero ya habíamos encontrado que:
%
\begin{equation*}
\displaystyle\frac{c}{\sin\gamma} = \frac{b}{\sin\beta}
\end{equation*}
%
Entonces, por transitividad, podemos escribir:
%
\begin{equation*}
\displaystyle\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}
 = \frac{c}{\sin\gamma}
\end{equation*}
%
\end{document}

% ---------------------------------------------
% Autor: Efraín Soto Apolinar.
% Ingeniero en Sistemas de Energía
% Egresado de la Universidad de Quintana Roo
% División de Ciencias e Ingeniería
% Generación 1997 - 2002 
% Basado en ideas compartidas por:
% Abel Chávez Morales
% ----------------------------------------------
% El autor de este artículo es estudiante de la 
% Maestría en Ciencias en Ingeniería de Sistemas 
% Programa de Posgrado impartido en la 
% Falcultad de Ingeniería Mecánica - Eléctrica
% de la Universidad Autónoma de Nuevo León
% Fecha de Ingreso: Enero de 2008.
% ----------------------------------------------
% ----------------------------------------------
 
\documentclass[11pt,letterpaper,twoside]{article}
\usepackage[spanish]{babel} % Esto ahorra mucho trabajo!
\usepackage[latin1]{inputenc} %Permite el uso de los signos del español.
 
% Formato del párrafo del documento...
\setlength{\parindent}{0pt} 
\setlength{\parskip}{2ex plus 0.5ex minus 0.2ex}
 
\usepackage[left=2.5cm,top=2.5cm,right=2.5cm,bottom=2.5cm]{geometry}
\usepackage{color}           % por si se requieren letras de color...
\usepackage{amsfonts}        % Fuentes matemáticas..
\usepackage{amsmath,amssymb} % igualmente...
\usepackage{enumerate}       % para que enumere con romanos...
\usepackage{cancel}          % para que cancele algunas cosas...
\usepackage{multicol}        % para generar varias columnas...
 
\newcommand{\tituloh}{
\textrm{Nueva criba de Eratóstenes}
}
%
\newcommand{\titulo}{
\fontsize{14pt}{16.8pt}
\textbf{La nueva criba de Eratóstenes}
}
%
\newcommand{\auta}{ % Autor A
\fontsize{10pt}{12pt}
\textbf{Efraín Soto Apolinar
\footnote{Estudiante del programa de posgrado en 
Ingeniería de Sistemas de la Facultad de 
Ingeniería Mecánica -- Eléctrica de la U.A.N.L.}}
}
%
\newcommand{\filiacion}{
\fontsize{10pt}{12pt}
\textrm{F.I.M.E. U.A.N.L. San Nicolás, N.L. México.}
}
%
\newcommand{\email}{ % Mi E-Mail
\fontsize{10pt}{12pt}\textsl{efrain@yalma.fime.uanl.mx}
}
 
\newcommand{\encabezado}{
\begin{center}
	\titulo\\
	\auta\\
	\filiacion\\
	\email
\end{center}
}
 
\newcommand{\keywords}{ % Palabras clave
\fontsize{10pt}{12pt}
\textbf{Palabras clave: }
\textsl{Congruencias -- divisibilidad -- 
módulos -- números primos -- primos gemelos -- 
teoría de números.}
}
%
 
% --------------------------
% Ambientes...
% --------------------------
 
\newenvironment{resumen}[1]{
\begin{center}
	\fontsize{12pt}{13.2pt}
	\textbf{Resumen}
\end{center}
\fontsize{10pt}{12pt}
\rmfamily\begin{quotation}#1
}{
\end{quotation}
\fontsize{11pt}{13.2pt}
}
 
\newcounter{defin}
\setcounter{defin}{1}
\newenvironment{definicion}[2]{
\textbf{Definición. \thesection.\thedefin.}
\stepcounter{defin}
\textsc{
	\hspace{2.5ex}
	\fontsize{11pt}{13.2pt}
	\textbf{#1}
	}
\hspace{2.5ex}{\textsl{#2}}
}{
\par % iniciar un párrafo nuevo
}
 
\newenvironment{demostracion}[1]{
\textsc{\textbf{Demostración.}}\\
{\fontsize{11pt}{13.2pt}\rmfamily #1}
}{
\hfill$\square$
}
 
\newenvironment{nota}[1]{
\textsc{Nota:}\hspace{2.5ex}\textsl{#1}
}{
\hfill$\checkmark$
}
 
%
% Nuevo ambiente theorem
%
\newtheorem{teorema}{Teorema}[section]
%
% Para los ejemplos
%
\newcounter{ejem}
\setcounter{ejem}{1}
\newenvironment{ejemplo}[1]{
\textbf{Ejemplo \thesection.\theejem.}
\stepcounter{ejem}
\hspace{2.5ex}{\textsl{#1}}
}{
% No hacer nada...
}
 
% ----------------------
% Encabezados...
% ----------------------
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancy}
% limpio el encabezado por default
\renewcommand{\sectionmark}[1]{} 
\fancyhf{} % Limpia todos los encabezados y pie de página
\fancyhead[LE]{\tituloh}
\fancyfoot[C]{\bfseries\thepage}
%
%
%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\encabezado
 
\begin{resumen}
{Se dan algunas definiciones básicas relacionadas 
con la divisibilidad y las clases de congruencia 
en el conjunto de los números naturales. 
Se muestra una forma más eficiente de enlistar los 
números primos, lo que se denomina 
\textsl{la nueva criba de Eratóstenes}.
}
\end{resumen}
 
\keywords
 
\section{DEFINICIONES}\label{define}
\begin{definicion}
{Cerradura}
{Sea $\mathbb{A}$ un conjunto no vacío, y sea $\circ$ 
una operación binaria definida para cualesquiera dos 
elementos $a,  b\in\mathbb{A}$. Si $a\circ b\in\mathbb{A}$ 
para cualesquiera $a,b\in\mathbb{A}$, entonces, decimos que 
el conjunto $\mathbb{A}$ es cerrado bajo la operación $\circ$.
}
\end{definicion}
 
\begin{definicion}
{Número primo.}
{Un número natural es primo si tiene exactamente 
dos divisores (naturales).
}
\end{definicion}
 
\begin{definicion}
{Número compuesto.}
{Un número natural es compuesto si tiene 3 o 
más divisores.
}
\end{definicion}
 
\begin{definicion}
{Números primos gemelos.}
{Dos números primos son primos gemelos si la diferencia 
entre ellos es 2.
}
\end{definicion}
 
\begin{definicion}
{Divisibilidad.}
{Sean $a,b,m$ números naturales. Decimos que el número $b$ 
divide al número $a$, o de forma equivalente, que el número $a$ 
es divisible por el número $b$, si existe un número natural $m$ 
tal que $a=b\cdot m$, y se denota por $b|a$.
}
\end{definicion}
 
\begin{teorema}{
Sean $a,b,c,m,n$ números naturales. La divisibilidad tiene las 
siguientes propiedades: \label{propDivisibilidad}
\begin{enumerate}[i.]
\begin{multicols}{2}{
\item Si $b|a$, entonces $b|(a\cdot c)$.
\item Si $b|a$, y $a|c$, entonces $b|c$.
\item Si $b|a$, y $b|c$, entonces $b|(a+c)$.
\item Si $b|a$, y $b|c$, entonces $b|(a-c)$.
\item Si $b|a$, y $b|c$, entonces $b|(a\cdot m+c\cdot n)$.
\item Si $b|a$ entonces $b\leq a$.
\item Si $a\neq0$, entonces $a|a$.
\item Si $a|b$, y $b|a$, entonces $a=b$.
\item $1|a$.
}
\end{multicols}
\end{enumerate}
}
\end{teorema}
 
La siguiente definición es una notación inventanda por 
Carl F. Gauss que nos ayudará a simplificar cálculos y nos 
facilitará la construcción de la nueva criba de Eratóstenes.
 
\begin{definicion}
{Congruencias.}
{Si $a=b\cdot m+r$, se entiende que $b|(a-r)$, y escribimos: 
$a\equiv r\mod b$ para indicarlo y se lee 
``\textsl{$a$ es congruente con $r$ módulo $b$}''.
}
\end{definicion}
 
\begin{teorema}{
Sean $a,b,c,r,s$ números naturales. Las congruencias tienen 
las siguientes propiedades: 
\label{propModulos}
\begin{enumerate}[i.]
\item Si $a\equiv r\mod b$, y $0\leq r\leq b$, entonces $r$ 
es el residuo de dividir $a$ entre $b$
\item $a\equiv r \mod b\qquad\Leftrightarrow\qquad b|(a-r)
	\qquad\Leftrightarrow\qquad a=b\cdot m+r$
\item $a\equiv a \mod b$
\item Si $a\equiv r\mod b$, entonces $r\equiv a\mod b$
\item Si $a\equiv r\mod b$, y $r\equiv s\mod b$, 
	entonces $a\equiv s\mod b$
\item Si $a\equiv r\mod b$, y $c\equiv s\mod b$, 
	entonces $a+c\equiv (r+s)\mod b$
\item Si $a\equiv r\mod b$, y $c\equiv s\mod b$, 
	entonces $a-c\equiv (r-s)\mod b$
\item Si $a\equiv r\mod b$, y $c\equiv s\mod b$, 
	entonces $a\cdot c\equiv (r\cdot s)\mod b$
\item Si $a\equiv r\mod b$, entonces $a^s\equiv r^s\mod b$
\end{enumerate}
}
\end{teorema}
 
\begin{teorema}{
Sea $p\geq5$ un número primo. Entonces, bien $p\equiv1\mod6$, 
bien $p\equiv5\mod6$.\label{primoModulo}
}
\end{teorema}
 
\begin{demostracion}{
Un número natural $a$ cualquiera puede estar en alguna de las 
siguientes clases de congruencia: 
\begin{itemize}
\item $a\equiv 0 \mod 6$, con lo que sería divisible por 6.
\item $a\equiv 1 \mod 6$, con lo que podría ser primo.
\item $a\equiv 2 \mod 6$, con lo que resultaría ser divisible por 2.
\item $a\equiv 3 \mod 6$, con lo que resultaría ser divisible por 3.
\item $a\equiv 4 \mod 6$, con lo que resultaría ser divisible por 2.
\item $a\equiv 5 \mod 6$, con lo que podría ser primo.
\end{itemize}
}
\end{demostracion}
 
\begin{nota}
{No todos los números naturales $p$ que cumplen con $p\equiv1\mod6$, 
o bien, $p\equiv5\mod6$ son primos, pero todos los primos mayores o 
iguales a 5, tienen esa forma.
}
\end{nota}
 
\begin{teorema}{
Sea $\mathbb{P}$ el conjunto de todos los números naturales $p\geq5$ 
(no necesariamente primos) de la forma: $p\equiv1\mod 6$, ó 
$p\equiv5\mod 6$; o bien $\mathbb{P}=\{p~|~p\equiv 1\mod6, \mbox{ ó } 
p\equiv5 \mod 6; p\in\mathbb{N}, p\geq5\}$. Entonces, el conjunto 
$\mathbb{P}$ es cerrado bajo la multiplicación. \label{cerraduraP}
}
\end{teorema}
 
\begin{demostracion}{
Sea $a\equiv1\mod6$, y $b\equiv5\mod6$. Por definición, 
$a,b\in\mathbb{P}$. Por las propiedades \textsc{i, iv} y 
\textsc{viii} de las congruencias de módulos tenemos:
\begin{itemize}
\item $a\cdot a\equiv1\mod 6$
\item $a\cdot b\equiv5\mod 6$
\item $b\cdot b\equiv25\mod 6\equiv1\mod6$
\end{itemize}
con lo que queda establecido el teorema.
}
\end{demostracion}
 
%
%
%
\section{NUEVA CRIBA DE ERATÓSTENES}
En los estudios de nivel elemental a medio superior se enseña la 
criba de Eratóstenes como un método para encontrar todos los números 
primos hasta un número natural finito. Con los teoremas enlistados 
tenemos una segunda forma (más eficiente) de encontrar la lista de 
los números primos. 
 
Para este fin empezamos enlistando a los únicos dos números primos 
que no pertenecen al conjunto $\mathbb{P}=\{p~|~p\equiv 1\mod6, 
\mbox{ ó } p\equiv5 \mod 6; p\in\mathbb{N}, p\geq5\}$; esos dos 
números primos son 2 y 3. 
 
Inmediatamente después podemos hacer una tabla donde enlistemos los 
números en columnas, de acuerdo a la clase de congruencia a la que 
pertenezcan:
%
\begin{table}[hc]
\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}\toprule
$5 \mod 6$ &  $0 \mod  6$ & $1 \mod 6$\\
5          &     6     &   7  \\
11         &     12     &   13  \\
17         &     18     &   19  \\
23         &     24     &   25  \\
29         &     30     &   31  \\
35         &     36     &   37  \\
41         &     42     &   43  \\
47         &     48     &   49  \\
53         &     54     &   55  \\
59         &     60     &   61  \\
$\vdots$   &  $\vdots$  & $\vdots$ \\\bottomrule
\end{tabular}
\caption{Clases 5, 0 y 1 de módulo 6.}
\label{modulos}
\end{center}
\end{table}
%
En la tabla \ref{modulos} tenemos 3 columnas. La columna del centro 
contiene números que son divisibles por 6, solamente para que nos 
sirva de guía para encontrar las otras dos columnas. Las columnas de 
la izquierda y de la derecha son las que tienen a los elementos del 
conjunto $\mathbb{P}$. 
 
En la lista podemos ver algunos números que no son primos, e.g., 25. 
El teorema \ref{cerraduraP} explica por qué tenemos números compuestos 
en $\mathbb{P}$. 
 
La siguiente cuestión consiste en eliminar los números que son 
compuestos. Para lograr esta meta haremos uso del teorema 
\ref{cerraduraP}  y de la definición de número compuesto.
 
Es obvio que todo número natural $n$ (a excepción del número 1) 
tiene al menos dos divisores: el número 1 y el número $n$ 
(i.e., él mismo). Entonces, si aparece un divisor más, 
se entiende que ya es compuesto.
 
Por el teorema \ref{cerraduraP} sabemos que algunos de los elementos de 
$\mathbb{P}$ tienen más de dos divisores, por lo que no son números 
primos, sino compuestos.
%
%
%
 
\section{CONSTRUYENDO LA NUEVA CRIBA}
La tarea ahora parece muy sencilla: tomamos el menor de todos los 
elementos del conjunto $\mathbb{P}$ (esto es posible gracias al 
principio del buen ordenamiento, que dice que un conjunto no vacío 
de números naturales tiene un elemento que es menor o igual a 
cualquier otro elemento del conjunto considerado) y lo multiplicamos 
por todos los elementos del conjunto $\mathbb{P}$. Así encontraremos 
los números $p\in\mathbb{P}$ que no son primos.
 
Después de haber multiplicado el primer número primo $5\in\mathbb{P}$ 
por todos los elementos del conjunto $\mathbb{P}$ (incluido el 5 mismo), 
debemos continuar con el siguiente primo, en este caso el número 7. 
Ahora debemos multiplicar a este número primo por todos los demás 
elementos del conjunto $\mathbb{P}$ que todavía no han sido eliminados 
(en caso de no ser primos).
 
Es claro que no se requiere multiplicar $7\times5$, dado que esta 
multiplicación se realizó cuando empezamos multiplicando el número 5 
por todos los elementos del conjunto $\mathbb{P}$. Entonces, debemos 
empezar desde $7\times7$.
 
Y así sucesivamente, hasta que hayamos terminado con la lista que 
deseamos obtener.
 
Enseguida se muestra el proceso elaborado hasta el número primo 61.
%
\begin{table}[h]
\begin{center}
\begin{tabular}{cc}\toprule
$5 \mod 6$ &  $1 \mod 6$\\
5          &     7      \\
11         &     13     \\
17         &     19     \\
23         &     \cancel{25}  \\
29         &     31     \\
\cancel{35}&     37     \\
41         &     43     \\
47         &     \cancel{49}  \\
53         &     \cancel{55}  \\
59         &     61     \\
$\vdots$   &     $\vdots$ \\\bottomrule
\end{tabular}
\caption{Nueva criba de Eratóstenes.}
\label{criba}
\end{center}
\end{table}
%
$5\times5$ eliminó al número 25, $5\times7$ eliminó al número 35, 
$5\times11$ eliminó al número 55, etc., $7\times7$ eliminó al 
número 49, $7\times11$ elimina al número 77, etc., $11\times11$ 
elimina al número 121, etc., y así sucesivamente.
%
%
%
\section{CONCLUSIONES}
Este mismo procedimiento puede usarse para generar un algoritmo 
muy eficiente para verificar si un número natural dado $n$ es o 
no un número primo. En este caso se debe iniciar comparando el 
número dado $n$ con los dos únicos números primos que no están en 
$\mathbb{P}$. En caso de que no sea así, se debe encontrar el residuo 
de dividir el número $n$ entre 6. Si este residuo es distinto a 1 ó 5, 
entonces, con certeza sabemos que el número es compuesto. 
Por otra parte, si el residuo de dividir $n$ entre 6 es, bien 1, bien 5, 
entonces debemos verificar si se divide por alguno de los números 
$p\in\mathbb{P}$. No requerimos checar todos los números $p\in\mathbb{P}$ 
hasta uno antes de $n$, como es bien sabido, basta verificar hasta el 
número natural mayor o igual a $\sqrt{n}$.
 
El algoritmo creado con la criba de Eratóstenes verifica si el número 
$n$ es divisible por los números impares. Es claro que hay 3 números 
impares de cada 6 números naturales. El algoritmo de la nueva criba 
de Eratóstenes solamente verifica 2 de cada seis números naturales: 
los que pertenecen al conjunto $\mathbb{P}=\{p~|~p\equiv 1\mod6, 
\mbox{ ó } p\equiv5 \mod 6; p\in\mathbb{N}, p\geq5\}$. 
 
Más aún, algunos de los elementos del conjunto $\mathbb{P}$ son 
compuestos y es muy obvio verificarlo: cuando en la cifra de las 
unidades tiene un 5, por ejemplo: 25 ($5\times5$), 55 ($5\times11$), 
125 ($5\times25$), etc.
 
Se debe recordar que esta nueva criba no considera a los primeros dos 
números naturales primos: el 2 y el 3. Por tanto, cuando se haga la 
lista de los números primos utilizando la nueva criba de Eratóstenes 
deben incluirse estos dos números primos.
 
Durante mucho tiempo ha existido la pregunta (sin responder hasta el día 
de hoy) si existe un número infinito de parejas de números primos gemelos. 
El teorema \ref{primoModulo} muestra por qué aparecen los números primos 
gemelos.
 
En el primer intento por demostrar esta conjetura\footnote{En este 
artículo se incluyen ideas compartidas por el físico Abel Chávez Morales.} 
(la infinitud de los números primos gemelos) se encontraron los resultados 
que aquí se muestran. 
El reto que queda por resolver es la cuestión de si hay un número infinito 
de números primos gemelos, para lo cual habrá que estudiar la distribución 
de los productos de los elementos de $\mathbb{P}$. 
%
\end{document}

\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[top=0.75in,bottom=0.75in,left=1in,right=1in]{geometry}
\usepackage[ansinew]{inputenc}
\usepackage{booktabs}
\usepackage{color}
% Fuentes tipográficas
\usepackage[adobe-utopia]{mathdesign}
 
\begin{document}
\begin{center}
{\huge \textcolor{blue}{Los primeros 600 números primos}}
 
\begin{tabular}{rrrrrrrrrrrrrrrrrrrr}\toprule
  2 &   3 &   5 &   7 &  11 &  13 &  17 &  19 &  23 &  29 \\
 31 &  37 &  41 &  43 &  47 &  53 &  59 &  61 &  67 &  71 \\
 73 &  79 &  83 &  89 &  97 & 101 & 103 & 107 & 109 & 113 \\ 
127 & 131 & 137 & 139 & 149 & 151 & 157 & 163 & 167 & 173 \\
179 & 181 & 191 & 193 & 197 & 199 & 211 & 223 & 227 & 229 \\\midrule 
233 & 239 & 241 & 251 & 257 & 263 & 269 & 271 & 277 & 281 \\
283 & 293 & 307 & 311 & 313 & 317 & 331 & 337 & 347 & 349 \\ 
353 & 359 & 367 & 373 & 379 & 383 & 389 & 397 & 401 & 409 \\ 
419 & 421 & 431 & 433 & 439 & 443 & 449 & 457 & 461 & 463 \\
467 & 479 & 487 & 491 & 499 & 503 & 509 & 521 & 523 & 541 \\ \midrule 
547 & 557 & 563 & 569 & 571 & 577 & 587 & 593 & 599 & 601 \\ 
607 & 613 & 617 & 619 & 631 & 641 & 643 & 647 & 653 & 659 \\
661 & 673 & 677 & 683 & 691 & 701 & 709 & 719 & 727 & 733 \\ 
739 & 743 & 751 & 757 & 761 & 769 & 773 & 787 & 797 & 809 \\
811 & 821 & 823 & 827 & 829 & 839 & 853 & 857 & 859 & 863 \\\midrule 
 877 &  881 &  883 &  887 &  907 &  911 &  919 &  929 &  937 &  941 \\
 947 &  953 &  967 &  971 &  977 &  983 &  991 &  997 & 1009 & 1013 \\ 
1019 & 1021 & 1031 & 1033 & 1039 & 1049 & 1051 & 1061 & 1063 & 1069 \\  
1087 & 1091 & 1093 & 1097 & 1103 & 1109 & 1117 & 1123 & 1129 & 1151 \\
1153 & 1163 & 1171 & 1181 & 1187 & 1193 & 1201 & 1213 & 1217 & 1223 \\\midrule  
1229 & 1231 & 1237 & 1249 & 1259 & 1277 & 1279 & 1283 & 1289 & 1291 \\ 
1297 & 1301 & 1303 & 1307 & 1319 & 1321 & 1327 & 1361 & 1367 & 1373 \\ 
1381 & 1399 & 1409 & 1423 & 1427 & 1429 & 1433 & 1439 & 1447 & 1451 \\
1453 & 1459 & 1471 & 1481 & 1483 & 1487 & 1489 & 1493 & 1499 & 1511 \\ 
1523 & 1531 & 1543 & 1549 & 1553 & 1559 & 1567 & 1571 & 1579 & 1583 \\\midrule 
1597 & 1601 & 1607 & 1609 & 1613 & 1619 & 1621 & 1627 & 1637 & 1657 \\ 
1663 & 1667 & 1669 & 1693 & 1697 & 1699 & 1709 & 1721 & 1723 & 1733 \\
1741 & 1747 & 1753 & 1759 & 1777 & 1783 & 1787 & 1789 & 1801 & 1811 \\
1823 & 1831 & 1847 & 1861 & 1867 & 1871 & 1873 & 1877 & 1879 & 1889 \\
1901 & 1907 & 1913 & 1931 & 1933 & 1949 & 1951 & 1973 & 1979 & 1987 \\\midrule 
1993 & 1997 & 1999 & 2003 & 2011 & 2017 & 2027 & 2029 & 2039 & 2053 \\
2063 & 2069 & 2081 & 2083 & 2087 & 2089 & 2099 & 2111 & 2113 & 2129 \\
2131 & 2137 & 2141 & 2143 & 2153 & 2161 & 2179 & 2203 & 2207 & 2213 \\
2221 & 2237 & 2239 & 2243 & 2251 & 2267 & 2269 & 2273 & 2281 & 2287 \\
2293 & 2297 & 2309 & 2311 & 2333 & 2339 & 2341 & 2347 & 2351 & 2357 \\\midrule 
2371 & 2377 & 2381 & 2383 & 2389 & 2393 & 2399 & 2411 & 2417 & 2423 \\
2437 & 2441 & 2447 & 2459 & 2467 & 2473 & 2477 & 2503 & 2521 & 2531 \\ 
2539 & 2543 & 2549 & 2551 & 2557 & 2579 & 2591 & 2593 & 2609 & 2617 \\ 
2621 & 2633 & 2647 & 2657 & 2659 & 2663 & 2671 & 2677 & 2683 & 2687 \\ 
2689 & 2693 & 2699 & 2707 & 2711 & 2713 & 2719 & 2729 & 2731 & 2741 \\
\bottomrule
\end{tabular}
 
\begin{tabular}{rrrrrrrrrrrrrrrrrrrr}\toprule
2749 & 2753 & 2767 & 2777 & 2789 & 2791 & 2797 & 2801 & 2803 & 2819 \\
2833 & 2837 & 2843 & 2851 & 2857 & 2861 & 2879 & 2887 & 2897 & 2903 \\
2909 & 2917 & 2927 & 2939 & 2953 & 2957 & 2963 & 2969 & 2971 & 2999 \\
3001 & 3011 & 3019 & 3023 & 3037 & 3041 & 3049 & 3061 & 3067 & 3079 \\
3083 & 3089 & 3109 & 3119 & 3121 & 3137 & 3163 & 3167 & 3169 & 3181 \\\midrule 
3187 & 3191 & 3203 & 3209 & 3217 & 3221 & 3229 & 3251 & 3253 & 3257 \\
3259 & 3271 & 3299 & 3301 & 3307 & 3313 & 3319 & 3323 & 3329 & 3331 \\
3343 & 3347 & 3359 & 3361 & 3371 & 3373 & 3389 & 3391 & 3407 & 3413 \\
3433 & 3449 & 3457 & 3461 & 3463 & 3467 & 3469 & 3491 & 3499 & 3511 \\
3517 & 3527 & 3529 & 3533 & 3539 & 3541 & 3547 & 3557 & 3559 & 3571 \\\midrule 
3581 & 3583 & 3593 & 3607 & 3613 & 3617 & 3623 & 3631 & 3637 & 3643 \\
3659 & 3671 & 3673 & 3677 & 3691 & 3697 & 3701 & 3709 & 3719 & 3727 \\
3733 & 3739 & 3761 & 3767 & 3769 & 3779 & 3793 & 3797 & 3803 & 3821 \\
3823 & 3833 & 3847 & 3851 & 3853 & 3863 & 3877 & 3881 & 3889 & 3907 \\
3911 & 3917 & 3919 & 3923 & 3929 & 3931 & 3943 & 3947 & 3967 & 3989 \\\midrule 
4001 & 4003 & 4007 & 4013 & 4019 & 4021 & 4027 & 4049 & 4051 & 4057 \\ 
4073 & 4079 & 4091 & 4093 & 4099 & 4111 & 4127 & 4129 & 4133 & 4139 \\
4153 & 4157 & 4159 & 4177 & 4201 & 4211 & 4217 & 4219 & 4229 & 4231 \\
4241 & 4243 & 4253 & 4259 & 4261 & 4271 & 4273 & 4283 & 4289 & 4297 \\
4327 & 4337 & 4339 & 4349 & 4357 & 4363 & 4373 & 4391 & 4397 & 4409 \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}
 
\vfill
\begin{flushright}
\textcolor{blue}{Elaborado usando LaTeXe}.
\end{flushright}
\end{document}

\documentclass[10pt,landscape,legalpaper]{article}
\usepackage[top=0.75in,bottom=0.25in,left=1in,right=1in]{geometry}
\usepackage{amsmath,amsfonts}
\usepackage[ansinew]{inputenc}
\usepackage{multicol}
\usepackage{color}
\usepackage{tikz}
\usepackage{enumerate}
%
% Fuentes tipográficas
%
\usepackage{slantsc}
\usepackage[sc]{mathpazo}
\usepackage{pifont}
%
% Para los encabezados
%
\newcommand{\enc}[1]{
\textbf{\textcolor{blue}{#1}}
}
%
\pagestyle{empty}
%
\begin{document}
%
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\enc{\Large Formulario para Cálculo Diferencial}
\end{center}
%
\begin{center}
\enc{\Large Formulario para Cálculo Integral}
\end{center}
\end{multicols}
%
\vspace{2em}
%
\begin{multicols}{4}
%
% Formulario para Calculo Diferencial
%
\begin{enumerate}[i.]
% Funciones algebraicas
\item $\displaystyle\frac{dc}{dx}=0$
\item $\displaystyle\frac{dx}{dx}=1$
\item $\displaystyle\frac{d(u+v)}{dx}=\frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx}$
\item $\displaystyle\frac{d(c\cdot v)}{dx}=c\,\frac{dv}{dx}$
\item $\displaystyle\frac{d(u\cdot v)}{dx}=u\,\frac{dv}{dx}+v\,\frac{du}{dx}$
\item $\displaystyle\frac{d(v^n)}{dx}=n v^{n-1}\,\frac{dv}{dx}$
\item $\displaystyle\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = 
	\frac{v\,\displaystyle\frac{du}{dx}-u\,\frac{dv}{dx}}{v^2}$
\item $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dv}\cdot\frac{dv}{dx}$
\item $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\displaystyle\frac{dx}{dy}}$
% Funciones trascendentes
\item $\displaystyle\frac{d(\sin v)}{dx}= \cos v\,\frac{dv}{dx}$
\item $\displaystyle\frac{d(\cos v)}{dx}= - \sin v\,\frac{dv}{dx}$
\item $\displaystyle\frac{d(\tan v)}{dx}=   \sec^2 v\,\frac{dv}{dx}$
\item $\displaystyle\frac{d(\cot v)}{dx}= - \csc^2 v\,\frac{dv}{dx}$
\item $\displaystyle\frac{d(\sec v)}{dx}=   \sec v\,\tan v\,\frac{dv}{dx}$
\item $\displaystyle\frac{d(\csc v)}{dx}= - \csc v\,\cot v\,\frac{dv}{dx}$
\item $\displaystyle\frac{d(\arcsin v)}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\,\frac{dv}{dx}$
\item $\displaystyle\frac{d(\arccos v)}{dx}=\frac{-1}{\sqrt{1-v^2}}\,\frac{dv}{dx}$
\item $\displaystyle\frac{d(\arctan v)}{dx}=\frac{1}{1+v^2}\,\frac{dv}{dx}$
\item $\displaystyle\frac{d(\mbox{arccot } v)}{dx}=\frac{-1}{1+v^2}\,\frac{dv}{dx}$
\item $\displaystyle\frac{d(\mbox{arcsec } v)}{dx}=\frac{1}{v\,\sqrt{v^2-1}}\,\frac{dv}{dx}$
\item $\displaystyle\frac{d(\mbox{arccsc }v)}{dx}=\frac{-1}{v\,\sqrt{v^2-1}}\,\frac{dv}{dx}$
\item $\displaystyle\frac{d(\ln v)}{dx}=\frac{1}{v}\,\frac{dv}{dx}$
\item $\displaystyle\frac{d(\log_a v)}{dx}=\frac{\log_a e}{v}\,\frac{dv}{dx}$
\item $\displaystyle\frac{d(a^v)}{dx}=a^v\,\ln a\,\frac{dv}{dx}$
\item $\displaystyle\frac{d(e^v)}{dx}=e^v\,\frac{dv}{dx}$
\item $\displaystyle\frac{d(u^v)}{dx}=\left(v\cdot u^{v-1}+\ln u\cdot u^v\right)\,\frac{dv}{dx}$
\end{enumerate}
%
%
% Formulario para Cálculo Integral
%
\begin{enumerate}[i.]
\item $\displaystyle\int\!(dv+dw) = \displaystyle\int\!dv + \displaystyle\int\!dw$
\item $\displaystyle\int\!a\,dv = a\displaystyle\int\!dv$
\item $\displaystyle\int\!{dx} = x + C$
\item $\displaystyle\int\!v^n\,{dv} = \displaystyle\frac{v^{n+1}}{n+1} + C$
\item $\displaystyle\int\!\displaystyle\frac{dv}{v} = \ln |v| + C$
\item $\displaystyle\int\!a^v\,dv = \displaystyle\frac{a^v}{\ln a} + C$
\item $\displaystyle\int\!e^v\,dv = e^v + C$
\item $\displaystyle\int\! \ln v\,{dv} = v\,\ln v - v + C$
\item $\displaystyle\int\!\sin v\,dv = -\cos v + C$
\item $\displaystyle\int\!\cos v\,dv = \sin v + C$
\item $\displaystyle\int\!\sec^2v \,dv = \tan v + C$
\item $\displaystyle\int\!\csc^2v \,dv = -\cot v + C$
\item $\displaystyle\int\!\sec v\tan v \,dv = \sec v + C$
\item $\displaystyle\int\!\sec v \,dv = \ln \left(\sec v + \tan v\right) + C$
\item $\displaystyle\int\!\displaystyle\frac{dv}{a^2 - v^2} = 
	\frac{1}{2\,a}\,\ln\left(\frac{a + v}{a - v}\right) + C$
\item $\displaystyle\int\!\displaystyle\frac{dv}{a^2 + v^2} = 
	\frac{1}{a}\,\arctan\left(\frac{v}{a}\right) + C$
\item $\displaystyle\int\!\displaystyle\frac{dv}{v^2 - a^2} = 
	\frac{1}{2\,a}\,\ln\left(\frac{v - a}{v + a}\right) + C$
\item $\displaystyle\int\!\displaystyle\frac{dv}{\sqrt{a^2 - v^2}} = 
	\arcsin \left(\frac{v}{a}\right) + C$
\item $\displaystyle\int\!\displaystyle\frac{dv}{\sqrt{v^2 \pm a^2}}= 
	\ln\left(v+\sqrt{v^2 \pm a^2}\right) + C$
\item $\displaystyle\int\!\sqrt{a^2 - v^2}\,dv = 
	\displaystyle\frac{v}{2}\,\sqrt{a^2 - v^2} + 
	\frac{a^2}{2}\,\arcsin\left(\frac{v}{a}\right) + C$
\item $\displaystyle\int\!\sqrt{v^2 \pm a^2}\,dv = 
	\displaystyle\frac{v}{2}\,\sqrt{v^2 \pm a^2} \pm 
	\frac{a^2}{2}\,\ln\left(v+\sqrt{v^2 \pm a^2}\right) + C$
\item $\int\!u\,dv = u\cdot v - \int\!v\,du$
%
%
%
\begin{center}
\enc{Sustituciones Trigonométricas}
\end{center}
   \begin{dinglist}{51}
   \item $\sqrt{a^2 - u^2}\qquad\rightarrow$ 
   hágase \\$u = a\,\sin z\rightarrow a\,\cos z$
   \item $\sqrt{a^2 + u^2}\qquad\rightarrow$ 
   hágase \\$u = a\,\tan z\rightarrow a\,\sec z$
   \item $\sqrt{u^2 - a^2}\qquad\rightarrow$ 
   hágase \\$u = a\,\sec z\rightarrow a\,\tan z$
   \end{dinglist}
 
\end{enumerate}
%
\end{multicols}
%
\vfill
%
\textcolor{blue}{Elaborado usando LaTeXe.}
\hfill
\textcolor{blue}{Profr. Efraín Soto Apolinar.}
%
\end{document}

% Estructura en LaTeX2e
%
% Lista de Ejercicios
% Elaborada por Efraín Soto Apolinar.
% para el manual:
% LaTeX2e en 15 sesiones. 
% 22 de noviembre de 2008.
%
\documentclass[pdftex,twoside,12pt,a4paper]{article}
% Sígnos de espa&ol.
\usepackage[ansinew]{inputenc} 
% Cambio los márgenes de la página del documento
\usepackage[left=2cm,top=1in,right=2.5cm,bottom=1in]{geometry}
% para incluir fuentes tipograficas con color
\usepackage{color} 
\usepackage{tikz} % para usar cyan!25
% Para las ecuaciones
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
% para hacer listas enumeradas
\usepackage{enumerate}
% para usar varias columnas
\usepackage{multicol}
% -----------------------------
% Encabezados...
% -----------------------------
\usepackage{fancyhdr} % paquete...
 % para usar encabezados y pie de pagina
\pagestyle{fancy}
\lhead{} % Encabezado de la izquierda
\chead{}  % Encabezado del centro
\rhead{\textcolor{blue}{Matemáticas}} % Encabezado de la derecha
\lfoot{\textcolor{blue}{Ejercicios}} % Pié de página de la izquierda
\cfoot{\small{\textcolor{blue}{\thepage}}} % Pié de página del centro
\rfoot{\textcolor{blue}{Álgebra}} %Pie de página de la derecha
% Formato del párrafo del documento...
% Defino que no quiero que deje espacio en blanco 
% al iniciar el primer renglón de un nuevo párrafo...
\setlength{\parindent}{0pt} 
% Defino el espacio entre párrafos consecutivos...
\setlength{\parskip}{1ex} 
% ------------------------------------------------------------------------
% Termina el preámbulo del documento
% + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
%	 I  M  P  O  R  T  A  N  T  E  :
% Si desea imprimir las soluciones de los ejercicios
% borre el signo de porciento (%)
% que está en las líneas inmediatamente después
% de la que tienen el comentario: 
% Solución:
% Es decir, las que empiezan con:
%\hfill\textcolor{blue}{
% + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
% Inicia el documento
\begin{document}
% El título del artículo centrado y con formato especial...
\begin{center}
% el nombre de la materia tiene fuente tipográfica
% \textsc{} que hace mayúsculas pequeñas...
\textsc{Matemáticas} \\% Nombre de la Materia
\textsl{Profr. Efraín Soto Apolinar.}
\end{center}
% Incluyo las instrucciones de la lista de ejercicios.
\hrule
\textbf{Instrucciones:} 
\textit{Resuelve completa y correctamente cada uno de los 
siguientes ejercicios.}
\vspace{0.5em}
\hrule
%
% Empiezan los ejercicios
%
\begin{enumerate}[1.]
\item Resuelve: $7\,x + 1 = 50$.
% Solución: 
%\hfill\textcolor{blue}{$x = 7$}
%
\item Resuelve: $\left\{
\setlength{\arraycolsep}{0.11111em}
\begin{array}{rcrcl}
2\,x & + &    y & = & 8\\
x    & + & 2\,y & = & 7
\end{array}
\right.
$
% Solución:
%\hfill\textcolor{blue}{$x = 3, y = 2$}
%
\item Resuelve: $x^2 + 7\,x + 12 = 0$
% Solución:
%\hfill\textcolor{blue}{$x = -4, x = -3$}
%
\item Calcula: $\left(\displaystyle\frac{x}{2} - \frac{3\,y^2}{7}\right)^2 = $
% Solución:
%\hfill\textcolor{blue}{$\displaystyle\frac{x^2}{4} - \frac{3}{7}\,xy^2 
%	+ \frac{9\,y^4}{49}$}
%
\item Factoriza: $x^5 - y^5 = $
% Solución:
%\hfill\textcolor{blue}{$(x - y)\left(x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3 + y^4\right)$}
%
 
\item Calcula: $\displaystyle\frac{1}{x + 1} - \frac{x}{x - 1} = $
% Solución: 
%\hfill\textcolor{blue}{$-\displaystyle\frac{1+{x}^{2}}{{x}^{2}-1}$}
%
\item Resuelve: $\displaystyle\frac{1}{2 - x} - \frac{1}{2 + x} = 2$
% Solución:
%\hfill\textcolor{blue}{$\sqrt{2}, -\sqrt{2}$}
%
\item Resuelve: $6\,x^2 - 19\,x - 7 = 0$
% Solución:
%\hfill\textcolor{blue}{$x = \displaystyle-\frac{1}{3},\quad\frac{7}{2}$}
%
\item Compré un sombrero, una camisa, un pantalón y una 
	corbata. Por la camisa, el pantalón y la corbata debía 
	pagar \$430.00 pesos. Por el sombrero, la corbata y el 
	pantalón debía pagar \$400.00 pesos. Por el sombrero, 
	la camisa, y la corbata debía pagar \$440.00 pesos. 
	Por el sombrero, la camisa y el pantalón debía pagar 
	\$380.00 pesos. ¿Cuánto me costó cada prenda?
% Solución: 
%\hfill\textcolor{blue}{Sombrero: \$120, camisa: \$150, corbata: \$110, 
%	pantalón:\$170.}
%	
\item Un terreno tiene su largo 3 metros mayor a su ancho y su área 
	es de 180 metros cuadrados. ¿Cuáles son las medidas del terreno?
% Solución:
%\hfill\textcolor{blue}{$15 \mbox{m}\times 12\mbox{m}$.}
%
\end{enumerate}
\vfill
\begin{flushright}
\textbf{Fecha de entrega:} 31 de febrero de 2009.
\end{flushright}
\end{document}