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Series y sucesión aritmética

Aprenderás a resolver problemas en los que se involucran sucesiones y series aritméticas.
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En la naturaleza muchas veces aparecen las sucesiones de números. Por ejemplo, cuando el hombre tuvo la necesidad de contar, tuvo que inventar un conjunto de números que le sirviera para ese propósito. El conjunto de los números naturales es una sucesión: 1, 2, 3, 4, 5,\cdots.

Sucesión

Es una lista de números tales que pueden encontrarse uno a uno a través de una regla. Cada uno de los números que forma la sucesión se conoce como término de la sucesión.

Por ejemplo, los números: 2, 4, 6, 8, 10, \cdots forman una sucesión. Para encontrar el siguiente número sumamos dos al que tenemos por último término. En este caso tenemos la sucesión de los números pares.

También podemos formar la sucesión de los números impares de manera semejante: 1, 3, 5, \cdots.

Existen muchos tipos de sucesiones. Por ejemplo, la sucesión: 5, 11, 17, 23, 29, etc. podemos calcular el siguiente número sumando 6 al último término.

Observa que una sucesión siempre tiene un primer término. Supongamos que ese primer término es el número a_1. En el ejemplo anterior a_1 = 5.

Para encontrar el siguiente término sumamos un número que no cambia de término a término, es decir, es constante. En el ejemplo anterior sumábamos el número 6, pero para hacer el caso general, vamos a considerar que sumamos el número d. Entonces, los siguientes términos serán:

    \fcolorbox{red}{red!10}{ \begin{minipage}{0.5\linewidth} \enc{En el ejemplo:} \begin{eqnarray*} \textcolor{blue}{a_2} &=& \textcolor{blue}{5 + 6}\\ a_3 &=& \textcolor{blue}{a_2} + d\\ &=& (\textcolor{blue}{5 + 6}) + 6 = 5 + 2\,(6)\\ a_4 &=& \textcolor{red}{a_3} + d\\ &=& (\textcolor{red}{5 + 2\,(6)}) + 6 = 5 + 3\,(6)\\ a_5 &=& \textcolor{cyan}{a_4} + d\\ &=& (\textcolor{cyan}{5 + 3\,(6)}) + 6 = 5 + 4\,(6)\\ \end{eqnarray*} \end{minipage}} \fcolorbox{blue}{blue!10}{ \begin{minipage}{0.5\linewidth} \enc{En general:} \begin{eqnarray*} \textcolor{blue}{a_2} &=& \textcolor{blue}{a_1 + d}\\ a_3 &=& \textcolor{blue}{a_2} + d\\ &=& (\textcolor{blue}{a_1 + d}) + d = a_1 + 2\,d\\ a_4 &=& \textcolor{red}{a_3} + d\\ &=& (\textcolor{red}{a_1 + 2\,d}) + d = a_1 + 3\,d\\ a_5 &=& \textcolor{cyan}{a_4} + d\\ &=& (\textcolor{cyan}{a_1 + 3\,d}) + d = a_1 + 4\,d\\ \end{eqnarray*} \end{minipage}}

y en general:

    \begin{equation*} a_n = a_{1} + (n-1)\,d \end{equation*}

Sucesión aritmética

Es una sucesión que cumple con que cualesquiera dos términos consecutivos tienen una diferencia constante. El primer término de una sucesión aritmética se denota por a_1, la diferencia constante de cualesquiera dos términos consecutivos por d, y el enésimo término por a_n.
Para encontrar el n-ésimo término, utilizamos la siguiente fórmula:

    \begin{equation*} a_n = a_1 + d\,(n - 1) \end{equation*}

Ejemplo 1

Las siguientes son ejemplos de sucesiones aritméticas:

  • \Rightarrow\qquad1, 3, 5, 7, 9, 11, \cdots
    donde el primer término es a_1=1 y la diferencia constante entre cualesquiera dos términos consecutivos es d = 2.
  • \Rightarrow\qquad3, 7, 11, 15, 19, \cdots
    donde a_1=3 y d=2
  • \Rightarrow\qquad7, 10, 13, 16, 19, 22, \cdots
    donde a_1=7 y d=3.

Para verificar que la sucesión es aritmética podemos elegir cualesquiera dos términos consecutivos a_{m}, a_{m+1} y encontrar su diferencia: a_{m-1} - a_{m} = d.

Si esta diferencia cambia con distintos pares de términos consecutivos, entonces, la sucesión no es aritmética.

Ejemplo 2

Encuentra el término a_{12} de la sucesión aritmética definida con a_{1} = 5 y d = 6.

Para resolver este ejercicio utilizaremos la fórmula:

    \begin{equation*} a_n = a_1 + d\,(n - 1) \end{equation*}

En este caso a_{1} = 5, n = 12, y d = 6. Al sustituir los valores en la fórmula obtenemos:

    \begin{eqnarray*} a_{n} &=& a_1 + d\,(n - 1)\\ a_{12}&=& 5 + 6\,(12 - 1)\\ &=& 5 + (6)(11)\\ &=& 5 + 66\\ &=& 71 \end{eqnarray*}

Entonces a_{12} = 71.
Puedes verificar el resultado encontrando todos los términos desde a_1 hasta a_{12}. Para esto tendrás que sumar d=6 a cada término para encontrar el siguiente.


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