En la vida diaria encontramos muy frecuentemente oportunidades de aplicar las sucesiones aritméticas.
Ejemplo 3
Natalia hizo el compromiso de leer dos páginas más cada día del libro José Patter Prospectus. El primer día pudo leer 5 páginas. ¿Cuántas páginas debía leer el décimo día?

También sabemos que el primer día leyó 5 páginas, así que

Nos piden encontrar

Sustituimos los valores conocidos en la fórmula:
Esto significa que debe leer 23 páginas el décimo día de lectura.
Una pregunta que podemos hacer en este punto es: ¿cuántas páginas ha leído Natalia en sus primeros 10 días de lectura?
Para responder esa pregunta debemos sumar los primeros diez términos de esa sucesión aritmética.
La serie es la suma de los términos de una sucesión. Cuando estamos hablando de una serie finita, estamos considerando un número finito de términos. Cuando consideramos una serie infinita, consideramos un número infinito de términos.
Utilizando el método de Gauss, tenemos:

Como estamos sumando 10 términos, . Pero este valor es igual al doble de la suma que buscamos, entonces,
.
Es decir, en los primeros 10 días de lectura avanzó 140 páginas de su libro.
De manera semejante podemos encontrar de una manera sencilla la fórmula para calcular la suma de los primeros términos de una sucesión aritmética:
![Rendered by QuickLaTeX.com \begin{tabular}{ccccccccc} $S$ & = & $a_1$ & + & $[a_1+d]$ & + & $\cdots$ & + & $a_k$\\ $S$ & = & $a_k$ & + & $a_{k-1}$ & + & $\cdots$ & + & $a_1$\\\hline %$2\,S$ & = & $a_1 + $ & + & $[2\,a_1 + d\,(k-1)]$ & + & $\cdots$ & + & $[2\,a_1 + d\,(k-1)]$ \\ $2\,S$ & = & $[a_1 + a_k]$ & + & $[a_1 + a_k]$ & + & $\cdots$ & + & $[a_1 + a_k]$ \\ \end{tabular}](https://www.aprendematematicas.org.mx/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-544f9a1be9c4dc354c8cad111385f06e_l3.png)
Observa que





Entonces, al sumar estamos en realidad sumando
veces el número
, y esto es igual a:
. Pero no deseamos encontrar el valor de
, sino el valor de
.
Así que sacamos la mitad de y así terminamos:
Ahora, dividido entre dos es el promedio del primer y el
-ésimo térmimos.
Geométricamente podemos imaginar que lo que le falta al término para llegar al promedio
, se lo proporciona el término
, y en general, lo que le falta al término
para llegar al promedio
se lo proporciona el término
.
Una manera más de mostrar este resultado es la siguiente: si sumamos los términos de la sucesión, desde hasta
, obtenemos:
Pero como cada uno de los términos contiene al término
, podemos separar esta parte escribiendo:
Ahora consideramos la suma: , la cual se conoce como la suma de Gauss, la cual se estudia con detalle en la unidad titulada Conjuntos de números. Usando la fórmula de la suma de Gauss, obtenemos:
Sustituyendo este resultado obtenemos:
Ahora vemos que podemos factorizar el número :
Podemos generar una interpretación geométrica de este resultado. En ella, la altura de cada rectángulo unitario será de unidades de altura.
Ahora observa la fórmula para encontrar la serie:
Encontramos la suma multiplicando el número de términos () por el promedio del primer y último términos. Geométricamente esto significa que tomamos la mitad, bien en forma de diagonal, como formando escalones, o bien , dividiendo en dos el rectángulo, exactamente a la mitad de la altura del mismo.
Serie aritmética
La fórmula para encontrar la serie aritmética de los primeros



Para encontrar la suma aritmética de los primeros términos de una sucesión necesitamos conocer: el número de términos que vamos a sumar (es decir,
), el primer término
y el último término que queremos sumar
.
Si conocemos y
es muy fácil calcular
.
Ejemplo 4
Calcula la suma de Gauss usando la fórmula para la serie aritmética.
En este caso, el primer término es: ,
… la diferencia constante entre dos cualesquiera términos consecutivos es: , y
… el último término, es: .
Ahora sustituimos los valores en la fórmula:
Con lo que Gauss utilizó esta fórmula, sin saberlo, tal vez.
Las series aritméticas, al igual que las sucesiones aritméticas, sirven para resolver problemas cotidianos.
El significado que tiene cada uno de los términos de la sucesión dependen del contexto del problema que vamos a resolver.
Ejemplo 5
En la construcción de una barda en forma de pirámide para la exposición Maya de el Foro Universal de las Culturas Monterrey , se utilizaron
piedras para la fila de la base,
para la fila que estaba encima,
para la siguiente fila, y así sucesivamente, hasta que la fila de piedras más alta utilizó
piedras. ¿Cuántas piedras se utilizaron en total?

También se nos da a conocer el primer término, en este caso, el número de piedras de la fila de la base de la barda, que es:

No conocemos




Esto nos dice que la barda tenía 15 filas de piedras.
Ahora sí podemos encontrar el número total de piedras que se utilizaron en la construcción de la barda:
Es decir, se utilizaron, piedras en la construcción de esa barda en forma de pirámide.
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