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Series y sucesión aritmética

Aprenderás a resolver problemas en los que se involucran sucesiones y series aritméticas.


En la vida diaria encontramos muy frecuentemente oportunidades de aplicar las sucesiones aritméticas.

Ejemplo 3

Natalia hizo el compromiso de leer dos páginas más cada día del libro José Patter Prospectus. El primer día pudo leer 5 páginas. ¿Cuántas páginas debía leer el décimo día?

En este caso tenemos que ella lee 2 páginas más del libro cada día, con lo que d = 2.
También sabemos que el primer día leyó 5 páginas, así que a_1 = 5.
Nos piden encontrar a_{10}, es decir, cuántas páginas leyó el décimo día de lectura.
Sustituimos los valores conocidos en la fórmula:

    \begin{eqnarray*} a_n &=& a_1 + d\,(n - 1)\\ a_{10} &=& 5 + 2\,(10 - 1)\\ &=& 5 + (2)(9)\\ &=& 5 + 18\\ &=& 23 \end{eqnarray*}

Esto significa que debe leer 23 páginas el décimo día de lectura.

Una pregunta que podemos hacer en este punto es: ¿cuántas páginas ha leído Natalia en sus primeros 10 días de lectura?

Para responder esa pregunta debemos sumar los primeros diez términos de esa sucesión aritmética.

La serie es la suma de los términos de una sucesión. Cuando estamos hablando de una serie finita, estamos considerando un número finito de términos. Cuando consideramos una serie infinita, consideramos un número infinito de términos.

Utilizando el método de Gauss, tenemos:


\begin{tabular}{ccccccccc} $S$ & = & $5$ & + & $7$ & + & $\cdots$ & + & $23$\\ $S$ & = & $23$ & + & $21$ & + & $\cdots$ & + & $5$\\\hline $2\,S$ & = & $28$ & + & $28$ & + & $\cdots$ & + & $28$ \\ \end{tabular}

Como estamos sumando 10 términos, 28 + 28 + \cdots + 28 = 280. Pero este valor es igual al doble de la suma que buscamos, entonces, S = 280/2 = 140.
Es decir, en los primeros 10 días de lectura avanzó 140 páginas de su libro.

De manera semejante podemos encontrar de una manera sencilla la fórmula para calcular la suma de los primeros k términos de una sucesión aritmética:


\begin{tabular}{ccccccccc} $S$ & = & $a_1$ & + & $[a_1+d]$ & + & $\cdots$ & + & $a_k$\\ $S$ & = & $a_k$ & + & $a_{k-1}$ & + & $\cdots$ & + & $a_1$\\\hline %$2\,S$ & = & $a_1 + $ & + & $[2\,a_1 + d\,(k-1)]$ & + & $\cdots$ & + & $[2\,a_1 + d\,(k-1)]$ \\ $2\,S$ & = & $[a_1 + a_k]$ & + & $[a_1 + a_k]$ & + & $\cdots$ & + & $[a_1 + a_k]$ \\ \end{tabular}

Observa que a_{k-1} = a_{k} - d, porque a_k = a_{k-1} + d, es decir, al término a_{k-1} le sumamos la diferencia d para obtener a_{k}.

Entonces, al sumar 2\,S estamos en realidad sumando k veces el número a_{1} + a_{k}, y esto es igual a: k\,(a_{1} + a_{k}). Pero no deseamos encontrar el valor de 2\,S, sino el valor de S.

Así que sacamos la mitad de 2\,S y así terminamos:

    \begin{equation*} S = \displaystyle\frac{k\,(a_1 + a_k)}{2} = k\,\left(\displaystyle\frac{a_1 + a_k}{2}\right) \end{equation*}

Ahora, a_{1} + a_{k} dividido entre dos es el promedio del primer y el k-ésimo térmimos.
Geométricamente podemos imaginar que lo que le falta al término a_{1} para llegar al promedio (a_{1} + a_{k}) / 2, se lo proporciona el término a_k, y en general, lo que le falta al término a_{i} para llegar al promedio \frac{a_1 + a_k}{2} se lo proporciona el término a_{k-i+1}.

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Una manera más de mostrar este resultado es la siguiente: si sumamos los términos de la sucesión, desde a_1 hasta a_k, obtenemos:

    \begin{eqnarray*} S_k & = & a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_k\\ S_k & = & a_1 + (a_1+d)+(a_1+2\,d)+ \cdots + (a_1+d\,(k-1)) \end{eqnarray*}

Pero como cada uno de los k términos contiene al término a_1, podemos separar esta parte escribiendo:

    \begin{equation*} S_k = k\cdot a_1 + d\cdot(1+2+3+\cdots + (k-1)) \end{equation*}

Ahora consideramos la suma: 1+2+3+\cdots+(k-1), la cual se conoce como la suma de Gauss, la cual se estudia con detalle en la unidad titulada Conjuntos de números. Usando la fórmula de la suma de Gauss, obtenemos:

    \begin{equation*} 1+2+3+\cdots+(k-1)=\displaystyle\frac{(k-1)\,k}{2} \end{equation*}

Sustituyendo este resultado obtenemos:

    \begin{eqnarray*} S_k &=& a_1+(a_1+d)+(a_1+2\,d)+\cdots+(a_1+d\,(k-1))\\ & = & k\cdot a_1 + d\cdot\displaystyle\frac{(k-1)\,k}{2} \end{eqnarray*}

Ahora vemos que podemos factorizar el número k:

    \begin{eqnarray*} S_k & = & k\cdot a_1 + d\cdot\displaystyle\frac{(k-1)\,k}{2}\\ % & = & k\cdot\left(\displaystyle\frac{2\,a_1}{2} + \displaystyle\frac{d\,(k-1)}{2}\right)\\ & = & k\cdot\left(\displaystyle\frac{2\,a_1+d\,(k-1)}{2}\right)\\ & = & k\cdot\left(\displaystyle\frac{a_1+[a_1+d\,(k-1)]}{2}\right)\\ & = & k\cdot\left(\displaystyle\frac{a_1+a_k}{2}\right)\\ \end{eqnarray*}

Podemos generar una interpretación geométrica de este resultado. En ella, la altura de cada rectángulo unitario será de d unidades de altura.

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Ahora observa la fórmula para encontrar la serie:

    \begin{equation*} a_1+(a_1+d)+(a_1+2\,d)+\cdots+(a_1+d(n-1)) = k\cdot\left(\displaystyle\frac{a_1+a_k}{2}\right) \end{equation*}

Encontramos la suma multiplicando el número de términos (k) por el promedio del primer y último términos. Geométricamente esto significa que tomamos la mitad, bien en forma de diagonal, como formando escalones, o bien , dividiendo en dos el rectángulo, exactamente a la mitad de la altura del mismo.

Serie aritmética

Es la suma de varios términos consecutivos de una sucesión aritmética.
La fórmula para encontrar la serie aritmética de los primeros n términos de la sucesión definida por a_1, d, es:

    \begin{equation*} S_{n} = \frac{n\,(a_{1}+a_{n})}{2} \end{equation*}

Para encontrar la suma aritmética de los primeros n términos de una sucesión necesitamos conocer: el número de términos que vamos a sumar (es decir, n), el primer término a_1 y el último término que queremos sumar a_n.

Si conocemos a_1 y d es muy fácil calcular a_n.

Ejemplo 4

Calcula la suma de Gauss usando la fórmula para la serie aritmética.

Si recuerdas, Gauss calculó mentalmente la suma:

    \begin{equation*} 1+2+3+4+5+6+\cdots+99+100 \end{equation*}

En este caso, el primer término es: a_1=1,
… la diferencia constante entre dos cualesquiera términos consecutivos es: d=1, y
… el último término, es: a_{100}=100.
Ahora sustituimos los valores en la fórmula:

    \begin{eqnarray*} S_n &=& \frac{n\,(a_1+a_n)}{2}\\ S_{100} &=& \frac{100\,(1+100)}{2}\\ &=& \frac{\cancel{100}\times101}{\cancel{2}}\\ &=& 50\times101\\ &=& 5050 \end{eqnarray*}

Con lo que Gauss utilizó esta fórmula, sin saberlo, tal vez.

Las series aritméticas, al igual que las sucesiones aritméticas, sirven para resolver problemas cotidianos.

El significado que tiene cada uno de los términos de la sucesión dependen del contexto del problema que vamos a resolver.

Ejemplo 5

En la construcción de una barda en forma de pirámide para la exposición Maya de el Foro Universal de las Culturas Monterrey 2\,008, se utilizaron 1\,200 piedras para la fila de la base, 1\,150 para la fila que estaba encima, 1\,100 para la siguiente fila, y así sucesivamente, hasta que la fila de piedras más alta utilizó 500 piedras. ¿Cuántas piedras se utilizaron en total?

En este caso, cada fila utilizaba 50 piedras menos que la anterior, esto nos indica que la diferencia es negativa e igual a: d=-50
También se nos da a conocer el primer término, en este caso, el número de piedras de la fila de la base de la barda, que es: a_1=1\,200.
No conocemos n, pero sí conocemos el valor de a_n, es decir, el número de piedras de la fila de piedras más alta, en este caso, a_n=500. A partir de esta información podemos empezar encontrando el valor de n:

    \begin{eqnarray*} a_n&=&a_1+d\,(n-1)\\ 500&=&1\,200-50\,(n-1)\\ 500-1\,200&=&-50\,(n-1)\\ -700&=&-50\,(n-1)\\ \displaystyle\frac{-700}{-50}&=&n-1\qquad\Rightarrow\\ 14&=&n-1\\ 14+1&=&n=15 \end{eqnarray*}

Esto nos dice que la barda tenía 15 filas de piedras.
Ahora sí podemos encontrar el número total de piedras que se utilizaron en la construcción de la barda:

    \begin{eqnarray*} S_n &=& \frac{n\,(a_1+a_n)}{2}\\ S_{15} &=& \frac{15\,(1200+500)}{2} = \frac{15\times\cancel{1700}}{\cancel{2}}\\ &=& 15 \times 850 = 12\,750 \end{eqnarray*}

Es decir, se utilizaron, 12\,750 piedras en la construcción de esa barda en forma de pirámide.

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