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Resolución de triángulos rectángulos

Aprenderás a resolver triángulos rectángulos utilizando las funciones trigonométricas y las funciones trigonométricas inversas.

Ahora vamos a aplicar las funciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos. En este contexto, resolver un triángulo significa calcular alguno de sus elementos, pudiendo ser un lado o un ángulo, dados otros elementos del mismo.


Ejemplo 1

Resuelve el siguiente triángulo rectángulo:

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Empezamos notando que podemos utilizar la información de la tabla de resumen de valores de las funciones trigonométricas de los ángulos notables. Para calcular el valor de r podemos aplicar la función coseno, pues esta función incluye a r, x (que es el valor que conocemos) y al ángulo \theta=60\textdegree:

    \begin{equation*}    \sec\theta = \frac{r}{x}\qquad\Rightarrow\qquad r = x\,\sec\theta = (1)(2) = 2 \end{equation*}

Para calcular el otro cateto desconocido del triángulo, tenemos varios métodos:

Primer Método

Dado que el triángulo es rectángulo, podemos aplicar el Teorema de Pitágoras.

    \begin{equation*}    y^2 = r^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3\qquad\Rightarrow\qquad y = \sqrt{3}%\mbox{ cm} \end{equation*}

Segundo Método

También podemos aplicar la definición de la función seno:

    \begin{equation*}    \sin\theta = \frac{y}{r}\qquad\Rightarrow\qquad     y = r\,\sin\theta = 2\,\sin(60\textdegree) = (2)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \sqrt{3}\mbox{ cm} \end{equation*}

El ángulo \alpha, es el complemento del ángulo \theta=60\textdegree, porque los dos ángulos agudos de cualquier triángulo rectángulo suman 90\textdegree. Por lo tanto, \alpha = 90\textdegree - \theta = 90\textdegree - 60\textdegree = 30\textdegree.



Ejemplo 2

Resuelve el siguiente triángulo rectángulo:

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Empezamos observando que desconocemos la medida de la hipotenusa. Aplicamos el teorema de Pitágoras:

    \begin{equation*}    r = \sqrt{\left(2\sqrt{3}\right)^2 + (2)^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4%\mbox{ cm} \end{equation*}

Ahora vamos a calcular cada uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo. Utilizamos la definición de tangente:

    \begin{equation*}    \tan\theta = \frac{y}{x} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \end{equation*}

Del resumen de los valores de las funciones trigonométricas vemos que \theta = 30\textdegree.
Entonces, dado que: \alpha + \theta = 90\textdegree, se sigue que:

    \begin{equation*}    \alpha = 90\textdegree - 30\textdegree = 60\textdegree \end{equation*}


Cuando los valores de las funciones trigonométricas no estén en la tabla de resumen, tendremos que utilizar una calculadora científica. Recuerda antes de hacer los cálculos que debes indicar en la calculadora que las medidas de los ángulos que utilizaremos están en grados sexagesimales.


Ejemplo 3

Calcula la longitud de cada uno de los catetos del triángulo rectángulo siguiente:

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De la figura, sabemos que r = 3 cm, y \theta = 40\textdegree. A partir de las definiciones de las funciones trigonométricas \sin\theta y \cos\theta podemos calcular los valores de y y x respectivamente. Para eso, vamos a sustituir los valores conocidos y despejar la incógnita en cada caso. Empezamos calculando el valor de x:

    \begin{equation*}    \cos\theta = \frac{x}{r} \qquad\Rightarrow\qquad x = r\,\cos\theta = 3\,\cos(40\textdegree) \approx 2.2981%\mbox{ cm} \end{equation*}

Ahora calculamos el valor de y usando el mismo procedimiento:

    \begin{equation*}    \sin\theta = \frac{y}{r} \qquad\Rightarrow\qquad y = r\,\sin\theta = 3\,\sin(40\textdegree) \approx 1.92836%\mbox{ cm} \end{equation*}

El otro ángulo agudo mide 50\textdegree, porque los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios.


Recuerda que resolver un triángulo significa calcular las longitudes de todos sus lados y las medidas de todos sus ángulos.


Ejemplo 4

Resuelve el siguiente triángulo rectángulo a partir de la información dada:

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Empezamos calculando el ángulo agudo desconocido. Dado que la suma de los tres ángulos internos es 180\textdegree y uno de ellos es un ángulo recto, tenemos que la suma del ángulo desconocido más 35\textdegree es igual a 90\textdegree.Entonces, si \alpha es la medida del ángulo desconocido tenemos:

    \begin{equation*}    35\textdegree + \alpha = 90\textdegree\qquad\Rightarrow\qquad \alpha = 90\textdegree - 35\textdegree = 55\textdegree \end{equation*}

Para calcular las longitudes de los lados aplicamos la definición de las funciones trigonométricas \cos\theta y \sin\theta:

    \begin{equation*}    \cos\theta = \frac{x}{r} \qquad\Rightarrow\qquad x = r\,\cos\theta = 4\,\cos(35\textdegree) \approx 3.2766%\mbox{ cm} \end{equation*}

Ahora calculamos el valor de y usando el mismo procedimiento:

    \begin{equation*}    \sin\theta = \frac{y}{r} \qquad\Rightarrow\qquad y = r\,\sin\theta = 4\,\sin(35\textdegree) \approx 2.2943%\mbox{ cm} \end{equation*}


Algunas veces no vamos a tener el valor de algún ángulo agudo del triángulo rectángulo y además, no estará en la tabla de resumen. En esos casos tendremos que aplicar las funciones trigonométricas inversas.


Funciones trigonométricas inversas

Funciones que calculan el valor de un ángulo a partir del valor correspondiente de una función trigonométrica del mismo.

Las funciones trigonométricas son:

  • Arcoseno: \arcsin y
  • Arcocoseno: \arccos x
  • Arcotangente: \arctan m

Si nosotros conocemos que el seno de 30\textdegree = 0.5, cuando aplicamos este valor (0.5) a la función seno inverso nos devuelve 30\textdegree. Es decir, una función inversa contesta a la pregunta: Sé que el valor de la función trigonométrica f(\theta) es u. ¿Cuánto vale el ángulo \theta? Nosotros sustituimos el valor u en la función trigonométrica y nos devuelve el valor del ángulo \theta.


Ejemplo 5

Resuelve el siguiente triángulo rectángulo:

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En este caso solamente conocemos uno de los ángulos del triángulo: el ángulo recto. Podemos empezar calculando la hipotenusa del triángulo rectángulo aplicando el teorema de Pitágoras:

    \begin{eqnarray*} r &=& \sqrt{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2 + \left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)^2}\\ &=& \sqrt{\left(6 + 2\,\sqrt{12} + 2\right) + \left(6 - 2\,\sqrt{12} + 2\right)}\\ &=& \sqrt{16}\\ &=& 4 \end{eqnarray*}

Teniendo las longitudes de los lados del triángulo, podemos calcular cualquiera de los valores de las funciones trigonométricas del ángulo \theta:

    \begin{eqnarray*} \sin\theta &=& \displaystyle\frac{y}{r} = \displaystyle\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\\ \cos\theta &=& \displaystyle\frac{x}{r} = \displaystyle\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\\	 \tan\theta &=& \displaystyle\frac{y}{x} = \displaystyle\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \end{eqnarray*}

Ahora, para calcular el ángulo \theta podemos aplicar una función trigonométrica inversa.

Primer método

Aplicamos la función \arcsin y:

    \begin{equation*}    \theta = \arcsin y = \arcsin(\sin\theta) = \arcsin\left(\displaystyle\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right) = 15\textdegree \end{equation*}

Segundo método

También podemos aplicar la función \arccos x:

    \begin{equation*}    \theta = \arccos x = \arccos(\cos\theta) = \arccos\left(\displaystyle\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right) = 15\textdegree \end{equation*}

Tercer método

La otra opción consiste en aplicar la función \arctan m

    \begin{equation*}    \theta = \arcsin y = \arctan(\tan\theta)     = \arctan\left(\displaystyle\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}\right) = 15\textdegree \end{equation*}

El otro ángulo agudo del triángulo rectángulo debe medir: 90\textdegree - 15\textdegree = 75\textdegree.


Una interpretación geométrica de las funciones \sin\theta y \cos\theta que nos servirá para resolver algunos problemas es la siguiente. Considera una circunferencia unitaria, y en ésta traza un radio, como se muestra en la siguiente figura:

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Observa que las funciones trigonométricas están representadas por segmentos de recta que resultan de las proyecciones, horizontal para el coseno y vertical para el seno, porque si la hipotenusa del triángulo rectángulo mide 1, entonces,

    \begin{equation*}    \sin\theta = \frac{y}{r} = \frac{y}{1} = y\qquad\mbox{ y tambi\'en, }\qquad\cos\theta = \frac{x}{r} = \frac{x}{1} = x \end{equation*}

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