Relaciones y funciones

En matemáticas, una relación es un conjunto de pares ordenados. Como si se tratara de coordenadas de puntos, un conjunto de pares ordenados, forma una relación.

Contenido

1 Relación
2 Función
3 Notación funcional
4 Ejemplo 1
5 Ejemplo 2
6 Criterio de la línea vertical

Relación

Es un conjunto no vacío de pares ordenados de valores.

Por ejemplo, el siguiente conjunto es una relación:

$\begin{equation*} \{(1,2), (2,3), (1,5), (7,-1), (2,-1)\} \end{equation*}$

En cierta manera podemos imaginar a una relación como una forma de indicar cómo se relacionan dos variables. Por ejemplo, en una lista de asistencia, la relación consistiría en asignar un número de la lista a cada persona que se encuentra en esa lista.

No.	Nombre
1	Avendaño Apolinar Aarón
2	Arcadio Domínguez Joas L.
3	Bravo Cruz Julio César.
4	Chamlati Guillén Geordi.
5	Chargoy Rosas Claudia I.
6	González Flores Grabriel.
7	Flores Sobrevilla David.
8	Motilla Zapata Guillermo.
9	Sobrevilla Santos Isaac.
10	Sobrevilla Teniente Gabriela B.

El concepto central de todo este curso es el concepto de función.

Función

Es una relación entre dos conjuntos, llamados dominio y contradominio, de tal manera que a cada elemento del dominio le corresponda a lo más, un elemento del contradominio.

Puedes imaginar a una función como una máquina que transforma números. Nosotros le damos un número y esta máquina nos devuelve otro número (único). No es posible que al darle un valor la función nos devuelva dos o más valores, pero sí es posible que nosotros le demos un valor y la función no nos pueda devolver valor alguno.

En este último caso decimos que el valor que le dimos a la función no pertenece al dominio de la función, precisamente porque no lo puede transformar.

Notación funcional

Cuando se refiere a una función $f$ , $\mathbb{X}$ se refiere al dominio de la función, $\mathbb{Y}$ se refiere al contradominio, $x\in\mathbb{X}$ es un elemento del dominio, y $f(x)$ es el valor del contradominio que le corresponde al valor $x$ del dominio de la función.

Utilizando la analogía de la máquina que transforma números, $f$ es el nombre que le damos a esa máquina, es decir, es la función, $x$ es el número que nosotros le damos a la máquina, el conjunto de todos los valores que esta máquina puede transformar se denota por $\mathbb{X}$ ( $x\in\mathbb{X}$ ), $f(x)$ es el valor que la máquina nos devuelve cuando le damos $x$ y $\mathbb{Y}$ es el conjunto de todos los valores que la máquina nos devuelve ( $f(x)\in\mathbb{Y}$ ).

El siguiente diagrama puede ayudarte a entender mejor el concepto de función:

Ejemplo 1

Las siguientes expresiones son funciones.

$f(x) = x$ ,
$f(x) = 2\,x + 1$ ,
$f(x) = x^2 - x + 1$ ,
$f(x) = \displaystyle\frac{x^2 - x + 1}{x - 7}$ ,
$f(x) = \sqrt{2\,x + 1}$ ,
$f(x) = \displaystyle\frac{1}{x + 1}$ ,
$f(x) = \log_2 \left(x^2 + 1\right)$ ,
$f(x) = e^{-x}$ ,
$f(x) = x\cdot e^{x} + \ln (x)$ .

Para identificar una función debemos verificar que se cumple la condición que dice: para cada valor del dominio le corresponde a lo más un valor del contradominio. Si no se cumple esta condición, entonces se trata de una relación que no es una función. Veremos una forma sencilla de verificarlo en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2

Las siguientes son relaciones que no son funciones.

$x^2 + y^2 = 4$ , porque cuando graficamos esta relación, obtenemos una circunferencia. Si $x$ es elemento del dominio, y $y$ es elemento del contradominio, no se cumple que para todo elemento del dominio haya a lo más un elemento del contradominio.

En este caso, para un valor que le damos $x_0$ la relación nos devuelve dos: $y_0$ y $-y_0$ .
$y^2 = x$ , porque cuando graficamos obtenemos una parábola horizontal:

Ahora, para $x=3$ , obtenemos dos valores, $\sqrt{3}$ y $-\sqrt{3}$ .

Para diferenciar una función de una relación que no es función frecuentemente utilizamos el criterio de la línea vertical.

Criterio de la línea vertical

Si al dibujar una recta vertical sobre la gráfica de una función ésta puede ser cortada en dos puntos, entonces la relación no es una función.

En el ejemplo anterior, al dibujar una recta vertical es posible cortar la función con la recta en dos de sus puntos. Esto nos indica que la gráfica corresponde a una relación que no es una función. Porque si fuera una función, para cada valor de $x$ debería existir a lo más un solo valor de $y$ , pero en cada caso hay dos valores, por lo que ya no se puede tratar deuna función.

Nota: No todas las relaciones son funciones, pero por definición, todas las funciones son relaciones.

Entonces, cuando desees verificar sin una relación es o no una función, la graficaremos y le aplicaremos el criterio de la recta vertical.

Las funciones se aplican muy frecuentemente en diversos contextos. Por ejemplo, cuando vas a enviar un paquete a través del correo postal, el importe del envío depende del peso del paquete. En términos matemáticos decimos que el importe está en función del peso del paquete. Si $I$ es el importe que debemos pagar por un paquete de peso $p$ , entonces, $I = f(p)$ .

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