Relaciones y funciones

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1 Ejemplo 3
2 Ejemplo 4
3 Ejemplo 5
4 Ejemplo 6

Ejemplo 3

En el correo postal un paquete enviado a nivel nacional con un peso de $p$ gramos cuesta $I$ pesos, de acuerdo a la siguiente tabla:

Peso (gr)	Importe ($)	Peso (gr)	Importe ($)
$0 < p \leq 100$	12.50	$500 < p \leq 600$	43.50
$100 < p \leq 200$	19.00	$600 < p \leq 700$	49.35
$200 < p \leq 300$	25.25	$700 < p \leq 800$	55.20
$300 < p \leq 400$	31.50	$800 < p \leq 900$	61.00
$400 < p \leq 500$	37.50	$900 < p \leq 1000$	66.50

¿Representa esta relación entre las variables una función?

Para verificar si se trata de una función debemos verificar que satisface la definición.
Si a cada elemento del dominio (peso) le corresponde a lo más un elemento del contradominio (importe), entonces sí se trata de una función.

Ahora podemos convertir la pregunta a: ¿Existe un peso para el cual se asignen dos importes? Como para cada peso del paquete se le asigna un único importe, entonces sí se trata de una función.

Ahora vamos a aplicar la regla de la recta vertical. Para eso, primero debemos graficar la función:

¿Puedes dibujar una recta vertical que corte en dos puntos a la gráfica de la función? Pues no, porque se trata de una función. Observa que la gráfica no está definida para $p = 0$ , porque si no vas a enviar un paquete, no hay necesidad de calcular el importe.

La función que graficamos se conoce como una función definida por intervalos, porque los valores que va tomando la función están definidos por distintas expresiones. Dependiendo del valor del dominio que le demos será la expresión que utilizará para calcular el valor que nos va a devolver.

Otro ejemplo de función definida por intervalos es la siguiente:

$\begin{equation*} f(x) = \left\{ \begin{array}{rl} 2\,x - 1 & \mbox{ si } x < 0\\ 3\,x + 1 & \mbox{ si } x \geq 0 \end{array} \right. \end{equation*}$

Cuando los valores de $x$ que le damos son negativos, es decir, si $x < 0$ , entonces utilizamos $2\,x - 1$ para calcular el valor que la función nos devolverá. Pero si $x \geq 0$ , entonces usamos $3\,x + 1$ . Si graficas estas dos ramas de la función, obtienes la gráfica que está definida por intervalos como se indicó.

Ejemplo 4

Cuando se deja caer una piedra desde 10 metros de altura, la distancia $y$ desde el suelo a la piedra, $t$ segundos después de haberse soltado puede calcularse con la ecuación:

$\begin{equation*} y = 10 - 4.05\,t^2 \end{equation*}$

Verifica si esta ecuación es una función.

Lo más sencillo en este caso es graficar la ecuación que nos dieron y verficar si se trata de una función aplicando la regla de la recta vertical.

Como no es posible cortar la gráfica con una recta vertical en dos de sus puntos, se trata de una función.

A lo largo del curso seguirás viendo más aplicaciones de las funciones en problemas cotidianos, técnicos y matemáticos.

Ejemplo 5

Los taxis cobran $7.40 pesos por solicitar en servicio y $4.40 pesos por kilómetro recorrido. Encuentra la función que transforma los kilómetros recorridos ( $x$ ) en el importe que debemos pagar al taxista ( $y$ ).

Si recorremos cero kilómetros debemos pagar solamente el importe por solicitar el servicio.

Si recorremos un kilómetro debemos pagar, además $4.40, esto hace un total de $7.40 + $4.40 = $11.80 pesos.

Si recorremos dos kilómetros debemos pagar: $7.40 + $2\times$ $4.40 = $16.20 pesos.

En general, si recorremos $x$ kilómetros, debemos pagar:

$\begin{equation*} y = 7.40 + 4.40\,x \end{equation*}$

Esta es la función que nos pidieron encontrar. Por ejemplo, si deseamos conocer cuánto debemos pagar si recorremos 25 kilómetros en el taxi, basta evaluar la función en $x = 25$ :

$\begin{equation*} y = 7.40 + 4.40\,(25) = 117.40 \mbox{ pesos.} \end{equation*}$

Esta expresión es una función porque a cada valor de $x$ (elemento de su dominio) le asigna a lo más un valor $y$ (elemento de su contradominio). Se te queda como ejercicio graficar esta función.

La evaluación de una función en un punto nos ayuda a conocer el valor de la función en ese punto. En el ejemplo anterior pudimos calcular el importe gracias a este procedimiento. Por eso es muy importante. Para evaluar la función, simplemente sustituye el valor de $x$ donde quieres evaluarla y realiza todos los cálculos que quedan indicados por la función. El resultado que obtengas es el valor que toma la función en ese punto. Por ejemplo, la función $f(x) = 3^x$ evaluada en $x = 2$ es $3^2 = 9$ . Observa que solamente basta sustituir 3 en lugar de $x$ . Realizamos los cálculos y el resultado obtenido es el valor que tiene la función en ese punto.

Ejemplo 6

Dados $f(x) = 2^x - x^2$ , $x_0 = 5$ , y $c = 1$ , calcula:

$f(x_0)$
$f(x_0 + c)$
$f(x_0) + c$
$c\cdot f(x_0)$
$f(c\cdot x_0)$
$f(x_0 - c)$
$f(x_0) - c$

Sabemos que $x_0 = 5$ y que $c = 1$ . Primero calculamos $f(x_0)$ :

$\begin{eqnarray*} f(x) &=& 2^x - x^2\\ f(x_0) &=& 2^{x_0} - x_0^2\\ f(5) &=& 2^{5} - 5^2\\ &=& 32 - 25 = 7 \end{eqnarray*}$

Para calcular $f(x_0 + c)$ , antes de sustituir $x_0$ debemos sumarle $c$ , porque la expresión dice: el valor de $f$ evaluada en el punto $x_0 + c$ . Pero $x_0 + c = 5 + 1 = 6$ . Entonces,

$\begin{eqnarray*} f(x_0 + c) &=& 2^{x_0 + c} - (x_0 + c)^2\\ f(6) &=& 2^{6} - 6^2\\ &=& 64 - 36 = 28 \end{eqnarray*}$

$f(x_0) + c$ lo único que nos pide es que sumemos $c$ al valor que obtuvimos de $f(x_0)$ , esto es:

$\begin{equation*} f(x_0) + c = 7 + 1 = 8 \end{equation*}$

De manera semejante, $c\cdot f(x_0)$ nos pide que multipliquemos el valor de $f(x_0)$ por $c$ :

$\begin{equation*} c\cdot f(x_0) = (1)\cdot(7) + 1 = 7 \end{equation*}$

$f(c\cdot x_0)$ nos indica que multipliquemos los números $c$ y $x_0$ y el resultado lo sustituyamos en $f$ . Pero $f(c\cdot x_0) = f(1\cdot x_0) = f(x_0)$ , porque $c = 1$ . Entonces, $f(c\cdot x_0) = f(1\cdot 5) = f(5) = 7$ .

Ahora calcularemos $f(x_0 - c)$ . Primero calculamos $x_0 - c = 5 - 1 = 4$ . Entonces,

$\begin{eqnarray*} f(x_0 - c) &=& 2^{x_0 - c} - (x_0 - c)^2\\ f(4) &=& 2^4 - 4^2\\ &=& 14 - 16 = 0 \end{eqnarray*}$

Finalmente, $f(x_0) - c$ nos pide que restemos $c$ unidades al valor $f(x_0)$ .

$\begin{equation*} f(x_0) - c = f(5) - 1 = 7 - 1 = 6 \end{equation*}$

Dado que las funciones nos devuelven números después de transformarlos, realizar una operación (suma, resta, etc.) a un par de funciones se puede realizar siempre que éstas estén definidas. Por ejemplo si $f$ y $g$ son dos funciones definidas en un intervalo, entonces, podemos calcular $f(x) + g(x)$ , $f(x) - g(x)$ , $f(x)\cdot g(x)$ en cualquier caso y $f(x)\div g(x)$ siempre que $g(x)\neq 0$ .

Otra operación importante sobre funciones es la composición, la cual estudiamos en otra lección de este curso.

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