Reglas del producto y del cociente

Al igual que la regla de la potencia, ya calculamos las fórmulas para calcular la derivada de un producto de dos funciones y del cociente de dos funciones. Ahora vamos a aplicar estas fórmulas en el cálculo de derivadas de más funciones.

Sugerencia: Para no confundirte, cuando vayas a calcular la derivada del producto o cociente de dos funciones, primero ordena los valores de $f(x)$ , $g(x)$ , $f'(x)$ y $g'(x)$ y después sustitúyelos en la fórmula.

Contenido

1 Ejemplo 1
2 Ejemplo 2
3 Ejemplo 3
4 Ejemplo 4
5 Ejemplo 5

Ejemplo 1

Calcula la derivada de la siguiente función:

$\begin{equation*} y = (x^3 - 1)\cdot(x^2 + 1) \end{equation*}$

Tenemos dos formas distintas y correctas de calcular la derivada. La primera forma consiste en realizar la multiplicación de los binomios y derivar el resultado:

$\begin{equation*} y = x^5 + x^3 - x^2 - 1 \end{equation*}$

Y su derivada es:

$\begin{equation*} \frac{dy}{dx} = 5\cdot x^4 + 3\,x^2 - 2\,x \end{equation*}$

La otra forma consiste en aplicar la fórmula para derivar el producto de dos funciones:

$\begin{equation*} \frac{d\left(f(x)\cdot g(x)\right)}{dx} = f(x)\cdot\frac{d\left(g(x)\right)}{dx} + g(x)\cdot\frac{d\left(f(x)\right)}{dx} \end{equation*}$

Así que definimos: $f(x) = x^3 - 1$ , y $g(x) = x^2 + 1$ . A partir de estos datos podemos calcular:

$\begin{equation*} \frac{d\left(f(x)\right)}{dx} = 3\,x^2\qquad\mbox{ y }\qquad\frac{d\left(g(x)\right)}{dx} = 2\,x \end{equation*}$

Ahora sustituimos los resultados en la fórmula para calcular la derivada del producto:

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} &=& \frac{d\left((x^3 - 1)\cdot(x^2 + 1)\right)}{dx} \\ &=& \left(x^3 - 1\right)\cdot\frac{d\left(x^2 + 1\right)}{dx} + \left(x^2 + 1\right)\cdot\frac{d\left(x^3 - 1\right)}{dx}\\ &=& \left(x^3 - 1\right)\cdot\left(2\,x\right) + \left(x^2 + 1\right)\left(3\,x^2\right)\\ &=& 2\,x^4 - 2\,x + 3\,x^4 + 3\,x^2\\ &=& 5\,x^4 + 3\,x^2 - 2\,x \end{eqnarray*}$

Por los dos métodos obtenemos la misma respuesta, como era de esperarse.

Ejemplo 2

Calcula la derivada de la función:

$\begin{equation*} y = \frac{1 - x}{x^4 + 1} \end{equation*}$

Aplicamos la regla para calcular la derivada de un cociente de dos funciones:

$\begin{equation*} \frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{g(x)\cdot f'(x) - f(x)\cdot g'(x)}{\left[g(x)\right]^2} \end{equation*}$

Definimos $f(x) = 1 - x$ , y $g(x) = x^4 + 1$ . Entonces, $f'(x) = -1$ , y $g'(x) = 4\,x^3$ . Ahora sustituimos estos valores en la regla:

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} &=& \frac{\left(x^4 + 1\right)(-1) - (1 - x)\left(4\,x^3\right)}{\left(x^4 + 1\right)}\\ &=& \frac{-x^4 - 1 - 4\,x^3 + 4\,x^4}{\left(x^4 + 1\right)}\\ &=& \frac{4\,x^4 - 4\,x^3 - 1}{\left(x^4 + 1\right)} \end{eqnarray*}$

Y terminamos.

Ejemplo 3

Calcula la derivada de la función:

$\begin{equation*} y = \frac{x^3 - 1}{x^2 + 1} \end{equation*}$

Ahora definimos:

$\begin{equation*} f(x) = x^3 - 1\qquad\mbox{ y }\qquad g(x) = x^2 + 1 \end{equation*}$

De aquí podemos fácilmente calcular:

$\begin{equation*} f'(x) = 3\,x^2\qquad\mbox{ y }\qquad g'(x) = 2\,x \end{equation*}$

Ahora sustituimos en la fórmula y obtenemos:

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} &=& \frac{\left(x^2 + 1\right)\cdot\left(3\,x^2\right) - \left(x^3 - 1\right)\cdot\left(2\,x\right)}{\left(x^2 + 1\right)^2}\\ &=& \frac{3\,x^4 + 3\,x^2 - 2\,x^4 + 2\,x}{\left(x^2 + 1\right)^2}\\ &=& \frac{x^4 + 3\,x^2 + 2\,x}{\left(x^2 + 1\right)^2}\\ \end{eqnarray*}$

Y terminamos.

Ejemplo 4

Calcula la derivada de la siguiente función:

$\begin{equation*} y = \frac{1}{x^2} \end{equation*}$

usando dos métodos diferentes.

Primer método: Aplicamos la regla de la potencia.

Usando las leyes de los exponentes la función puede escribirse de la forma:

$\begin{equation*} y = x^{-2} \end{equation*}$

Ahora aplicamos la regla de la potencia:

$\begin{equation*} \frac{dy}{dx} = -2\,x^{-3} = -\frac{2}{x^3} \end{equation*}$

Segundo método: Aplicamos la regla para calcular la derivada de un cociente de dos funciones.

Definimos: $f(x) = 1$ , y $g(x) = x^2$ . A partir de estas definiciones podemos calcular: $f'(x) = 0$ , y $g'(x) = 2\,x$ . Ahora sustituimos en la regla correspondiente:

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} &=& \frac{\left(x^2\right)\cdot(0) - (1)\cdot\left(2\,x\right)}{\left(x^2\right)^2}\\ &=& \frac{-2\,x}{x^4}\\ &=& -\frac{2}{x^3} \end{eqnarray*}$

Y terminamos. Se te queda como ejercicio calcular la derivada de la función usando la regla para el cálculo de la derivada de un producto de dos funciones, definiendo $f(x) = 1$ , y $g(x) = x^{-2}$ .

Como puedes ver, el uso de las reglas de derivación nos ahorran mucho trabajo (si eligieramos utilizar la regla de los cuatro pasos) además de que podemos verificar algunos resultados usando otro método alterno, pero igual de válido. En el siguiente ejemplo también tendremos que verificar el resultado usando dos métodos para calcular la derivada.

Ejemplo 5

Calcula la derivada de la siguiente función:

$\begin{equation*} y = \frac{x^4 + 1}{x + 1} \end{equation*}$

por dos diferentes métodos.

Primer método: Aplicamos la regla de la derivada de un cociente de dos funciones.

Definimos: $f(x) = x^4 + 1$ , y $g(x) = x + 1$ . Ahora podemos calcular: $f'(x) = 4\,x^3$ , y $g'(x) = 1$ . Sustituimos estos valores en la regla correspondiente:

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} &=& \frac{(x + 1)\cdot\left(4\,x^3\right) - \left(x^4 + 1\right)\cdot(1)}{\left(x + 1\right)^2}\\ &=& \frac{4\,x^4 + 4\,x^3 - x^4 - 1}{\left(x + 1\right)^2}\\ &=& \frac{3\,x^4 + 4\,x^3 - 1}{\left(x + 1\right)^2} \end{eqnarray*}$

Segundo método: Aplicamos la regla del producto de dos funciones.

Definimos: $f(x) = x^4 + 1$ , y $g(x) = (x + 1)^{-1}$ . Entonces, $f'(x) = 4\,x^3$ , y $g'(x) = -1/(x+1)^{-2}$ . Ahora sustituimos en la regla mencionada:

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} &=& f(x)\cdot\frac{d\left(g(x)\right)}{dx} + g(x)\cdot\frac{d\left(f(x)\right)}{dx}\\ &=& \left(x^4 + 1\right)\cdot\left(-\frac{1}{(x + 1)^2}\right) + \left(\frac{1}{x + 1}\right)\cdot\left(4\,x^3\right)\\ &=& - \frac{x^4 + 1}{(x + 1)^2} + \frac{4\,x^3}{x + 1}\\ \end{eqnarray*}$

Ahora vamos a realizar la suma de fracciones algebraicas que queda indicada. Para simplificar la operación vamos a multiplicar en el numerador y en el denominador de la última fracción por $(x + 1)$ . Así obtenemos la suma de dos fracciones que tienen denominador común:

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} &=& - \frac{x^4 + 1}{(x + 1)^2} + \frac{\left(4\,x^3\right)(x + 1)}{(x + 1)(x + 1)}\\ &=& \frac{-x^4 - 1 + \left(4\,x^3\right)(x + 1)}{(x + 1)^2}\\ &=& \frac{-x^4 - 1 + 4\,x^4 + 4\,x^3}{(x + 1)^2}\\ &=& \frac{3\,x^4 + 4\,x^3 - 1 }{(x + 1)^2}\\ \end{eqnarray*}$

Y terminamos.

Utilizando estas reglas de derivación y algunas otras que deduciremos más adelante podemos calcular las derivadas de funciones diversas. En el transcurso del curso estudiaremos otras reglas que nos simplificarán mucho los cálculos.

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Aprenderás a calcular la derivada del producto y del cociente de dos funciones.

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