Reglas de los exponentes

En el álgebra, uno de los temas que más utilizaremos para simplificar expresiones algebraicas son las reglas de los exponentes.

Leyes de los exponentes

Ley	Ejemplo
(i) $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$	$x^5\cdot x^3=x^{5+3}=x^8$
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(ii) $\displaystyle\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$	$\displaystyle\frac{q^9}{q^4}=q^{9-4}=q^5$
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(iii) $\displaystyle\frac{1}{a^m}=a^{-m}$	$\displaystyle\frac{1}{r^5}=r^{-5}$
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(iv) $a^0=1\qquad(a\neq0)$	$19^0=1$
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(v) $(a^m)^n=a^{m\cdot n}$	$(m^3)^5=m^{3\cdot 5}=m^{15}$
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(vi) $(a\cdot b)^m=a^m\cdot b^m$	$(u\cdot v)^7=u^7\cdot v^7$
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(vii) $\displaystyle\left(\frac{a}{b}\right)^m=\frac{a^m}{b^m}$	$\displaystyle\left(\frac{x}{y}\right)^3=\frac{x^3}{y^3}$

¿Por qué $x^5\cdot x^3=x^{5+3}=x^8$ ?
Primero debemos recordar qué significa $x^3$ . El número 3 que está en el superíndice de la literal $x$ nos indica que debemos multiplicar al número $x$ por sí mismo 3 veces.

De manera semejante, la expresión: $x^5$ nos indica que debemos multiplicar el número $x$ por sí mismo 5 veces. Entonces, al multiplicar:

$\begin{equation*} x^5\cdot x^3 = (\underset{\mbox{\scriptsize 3 factores}}{\underbrace{x\cdot x\cdot x}})\cdot(\underset{\mbox{\scriptsize 5 factores}}{\underbrace{x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x}}) \end{equation*}$

Y en total terminamos multiplicando 8 veces el número $x$ , por eso debemos sumar los exponentes:

$\begin{equation*} x^5\cdot x^3 = x^{5+3} = x^8 \end{equation*}$

De manera semejante podemos justificar las demás leyes de los exponentes.

Por ejemplo, si consideramos el ejemplo dado para la segunda ley, tenemos:

$\begin{equation*} \frac{q^9}{q^4} = q^{9-4} = q^5 \end{equation*}$

lo que pasa es que en realidad tenemos:

$\begin{equation*} q^9 = \underset{\mbox{\scriptsize 9 factores}}{\underbrace{q\cdot q\cdot q\cdot q\cdot q\cdot q\cdot q\cdot q\cdot q}} \qquad\mbox{ y tambi\'en, }\qquad q^4 = \underset{\mbox{\scriptsize 4 factores}}{\underbrace{q\cdot q\cdot q\cdot q}} \end{equation*}$

por eso:

$\begin{equation*} \frac{q^9}{q^4} = \frac{q\cdot q\cdot q\cdot q\cdot q\cdot q\cdot q\cdot q\cdot q}{q\cdot q\cdot q\cdot q} \end{equation*}$

De las 9 $q$ ‘s que aparecen en el numerador de la fracción, 4 de esas se cancelan con las que aparecen en el denominador:

$\begin{eqnarray*} \frac{q^9}{q^4} &=& \frac{\cancel{q}\cdot \cancel{q}\cdot \cancel{q}\cdot \cancel{q}\cdot q\cdot q\cdot q\cdot q\cdot q}{\cancel{q}\cdot \cancel{q}\cdot \cancel{q}\cdot \cancel{q}}\\ &=&\frac{q\cdot q\cdot q\cdot q\cdot q}{1} \\ &=& q^5 \end{eqnarray*}$

y por eso debemos restar los exponentes.

Considera ahora el caso cuando tenemos:

$\begin{equation*} \frac{a^4}{a^4}\qquad\qquad a\neq0 \end{equation*}$

En este caso, si aplicamos la segunda ley de los exponentes, obtenemos:

$\begin{equation*} \frac{a^4}{a^4} = a^{4-4}=a^0 \end{equation*}$

Pero si $a \neq 0$ , debemos poder hacer la división. Por ejemplo, supongamos que $a = 2$ . Entonces, $a^4 = 2^4 = 16$ . Y al sustituir este valor en la expresión anterior obtenemos:

$\begin{equation*} \frac{a^4}{a^4} = \frac{2^4}{2^4} = \frac{16}{16} = 1 = a^0 \end{equation*}$

Esta es la cuarta ley de los exponentes.

Para deducir la tercera ley de los exponentes, consideramos el caso cuando el exponente del denominador es mayor que el exponente del numerador. Por ejemplo:

$\begin{equation*} \frac{a^4}{a^9} = a^{4-9} = a^{-5} \end{equation*}$

Pero si desarrollamos la expresión de acuerdo a la definición de potencia (como multiplicaciones abreviadas), obtenemos:

$\begin{eqnarray*} \frac{a^4}{a^9} &=& \frac{1\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}\\ &=& \frac{1\cdot\cancel{a}\cdot \cancel{a}\cdot \cancel{a}\cdot \cancel{a}}{\cancel{a}\cdot\cancel{a}\cdot\cancel{a}\cdot\cancel{a}\cdot \underset{\mbox{\scriptsize 5 factores}}{\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}}}\\ &=& \frac{1}{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}\\ &=& \frac{1}{a^5} \end{eqnarray*}$

Pero ambos resultados son equivalentes. Es decir,

$\begin{equation*} \displaystyle\frac{1}{a^5} = a^{-5} \end{equation*}$

Así hemos obtenido la tercera ley de los exponentes. Observa que en realidad, la cuarta ley es un caso especial de la tercera ley de los exponentes.

Para justificar la quinta ley de los exponentes, basta aplicar la primera ley de los exponentes varias veces.
Por ejemplo, en el siguiente caso:

$\begin{equation*} \left(x^4\right)^3 = x^4 \cdot x^4 \cdot x^4 \end{equation*}$

Y ahora podemos aplicar la primera ley de los exponentes que nos dice: cuando dos factores tengan la misma base, suma los exponentes para encontrar el resultado. En este caso debemos sumar: $4 + 4 + 4 = 3 \times 4 = 12$ .

Observa que se repite el sumando 4 un total de 3 veces. Por eso podemos multiplicar los exponentes al aplicar la segunda ley:

$\begin{equation*} \left(x^4\right)^3 = x^4 \cdot x^4 \cdot x^4 = x^{(3)(4)} = x^{12} \end{equation*}$

Las siguientes (y últimas) dos leyes son muy sencillas de justificar. Para esto simplemente aplicamos la definición de potencia. Por ejemplo,

$\begin{equation*} \left(5\,a\right)^3 = \left(5\,a\right)\cdot\left(5\,a\right)\cdot\left(5\,a\right) = 5\cdot 5\cdot 5\cdot a\cdot a\cdot a = 5^3\cdot a^3 \end{equation*}$

De manera semejante, para la última ley, tenemos:

$\begin{equation*} \left(\frac{5}{a}\right)^3 = \left(\frac{5}{a}\right)\cdot\left(\frac{5}{a}\right)\cdot\left(\frac{5}{a}\right) = \frac{5\cdot 5\cdot 5}{a\cdot a\cdot a} = \frac{5^3}{a^3} \end{equation*}$

Muchas de las expresiones más complejas y difíciles que te puedes imaginar, pueden fácilmente simplificarse a través de las reglas de los exponentes y otras herramientas algebraicas que aprenderemos más adelante.

No importa qué tan compleja se vea una expresión, es casi seguro que hay alguna forma de expresarla de una manera equivalente, pero mucho más sencilla.

El procedimiento que se utiliza en esas expresiones muy complejas es exactamente el mismo que se utiliza con los ejemplos que se dan en la definición.

Evidentemente, algunas veces tendremos que aplicar varias reglas de los exponentes simultáneamente, o algunas otras propiedades de las expresiones algebraicas.

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Aprenderás las reglas de los exponentes y su aplicación en la simplificación de expresiones algebraicas sencillas.

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