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Reglas de los exponentes

Aprenderás las reglas de los exponentes y su aplicación en la simplificación de expresiones algebraicas sencillas.


Las leyes de los exponentes pueden generalizarse para incluir también a los radicales.

El siguiente ejemplo sugiere esta generalización.


Ejemplo 7

Considerando que:

    \begin{eqnarray*}    \sqrt{4}\times\sqrt{4} &=& 4\\    \sqrt{9}\times\sqrt{9} &=& 9\\    \sqrt{25}\times\sqrt{25} &=& 25\\ \end{eqnarray*}

Justifica por qué \sqrt{x} = x^{1/2}

Dados los ejemplos, sabemos que si multiplicamos \sqrt{x}\cdot\sqrt{x} = x.
Ahora suponemos que \sqrt{x} = x^k. Lo que deseamos determinar es el valor de k.
Para eso, vamos a utilizar las leyes de los exponentes.
En particular, usaremos la primera ley de los exponentes:

    \begin{equation*}    \sqrt{x}\cdot\sqrt{x} = x^k\cdot x^k = x^{k+k} = x^{2\,k} \end{equation*}

Pero ya sabemos que \sqrt{x}\cdot\sqrt{x} = x^1, entonces,

    \begin{equation*}    x^{2\,k} = x^1 \end{equation*}

Y para que se cumpla la igualdad se requiere que 2\,k = 1.
Esta última igualdad nos dice: pensé un número, lo multipliqué por 2 y obtuve como resultado 1. ¿Qué número pensé?
Obviamente pensó \displaystyle\frac{1}{2}. Entonces,

    \begin{equation*} x^{2\,k} = x^{2\times 0.5} = x^1 \end{equation*}

y \sqrt{x} = x^{1/2}, supuesto que sea posible calcular la raíz del número x.




Entonces, podemos considerar a los radicales como exponentes fraccionarios.

También podemos utilizar el procedimiento anterior para mostrar que \sqrt[3]{x} = x^{1/3}, \sqrt[4]{x} = x^{1/4}, etc. Y como los radicales son exponentes, podemos aplicarles las leyes de los exponentes.

En otras palabras, las leyes de los exponentes también se aplican a los radicales.


Ejemplo 8

Simplifica la siguiente expresión:

    \begin{equation*} \sqrt[4]{x^8y^{12}z^{20}} \end{equation*}

Para empezar, ya sabemos que \sqrt[4]{a} = a^{1/4}. Entonces, en lugar de escribir el signo de radical, podemos escribir en su lugar el exponente 1/4.

    \begin{equation*}    \sqrt[4]{x^8y^{12}z^{20}} = \left(x^8y^{12}z^{20}\right)^{1/4} \end{equation*}

Ahora podemos aplicar las leyes (v) y (vi) de los exponentes:

    \begin{eqnarray*}    \left(x^8y^{12}z^{20}\right)^{1/4} &=& x^{8/4} y^{12/4} z^{20/4}\\    &=& x^2 y^3z^5 \end{eqnarray*}

Entonces, al simplificar, obtenemos:

    \begin{equation*}    \sqrt[4]{x^8y^{12}z^{20}} = x^2 y^3z^5 \end{equation*}



Ejemplo 9

Simplifica:

    \begin{equation*}    \sqrt[3]{\displaystyle\frac{m^4n^7w^{11}}{w^2n^4m}} \end{equation*}

De nuevo, empezamos convirtiendo el signo radical en un exponente fraccionario:

    \begin{equation*}    \sqrt[3]{\displaystyle\frac{m^4n^7w^{11}}{w^2n^4m}} = \left(\displaystyle\frac{m^4n^7w^{11}}{w^2n^4m}\right)^{1/3} \end{equation*}

Ahora podemos aplicar las leyes de los exponentes.
Empezamos simplificando lo que está dentro de los paréntesis:

    \begin{eqnarray*}    \left(\displaystyle\frac{m^4n^7w^{11}}{w^2n^4m}\right)^{1/3} &=& \left(m^{4-1}n^{7-4}w^{11-2}\right)^{1/3}\\    &=& \left(m^{3}n^{3}w^{9}\right)^{1/3} \end{eqnarray*}

Y finalmente podemos aplicar las leyes (v) y (vi) de los exponentes:

    \begin{eqnarray*}    \left(m^{3}n^{3}w^{9}\right)^{1/3} &=& m^{3/3}n^{3/3}w^{9/3}\\    &=& m^1 n^1 w^3\\    &=& m\,n\,w^3 \end{eqnarray*}

Por lo tanto,

    \begin{equation*}    \sqrt[3]{\displaystyle\frac{m^4n^7w^{11}}{w^2n^4m}} = m\,n\,w^3 \end{equation*}


Pero no siempre tendremos una solución así, de forma que todos los factores queden sin signo de radical. Algunas veces tendremos en el resultado signos de radical. Esto ocurrirá cuando uno de los exponentes del argumento del radical no sean múltiplos del índice del radical.

El siguiente ejemplo muestra uno de esos casos.


Ejemplo 10

Simplifica:

    \begin{equation*} \sqrt[4]{u^7v^6w^{11}} \end{equation*}

Empezamos escribiendo el signo de radical como un exponente fraccionario:

    \begin{equation*}    \sqrt[4]{u^7v^6w^{11}} = \left(u^7v^6w^{11}\right)^{1/4} \end{equation*}

Ahora aplicamos las leyes de los exponentes:

    \begin{equation*}    u^{7/4}v^{6/4}w^{11/4} \end{equation*}

Lo único que podemos hacer es expresar las fracciones impropias (las que tienen un cociente mayor a 1), que aparecen en los exponentes como suma de un entero más una fracción propia (con cociente menor a 1).
Por ejemplo, la fracción:

    \begin{equation*}    \frac{7}{4} = \frac{4}{4} + \displaystyle\frac{3}{4} = 1 +\frac{3}{4} \end{equation*}

Lo que nos permite escribir:

    \begin{equation*}    u^{7/4} = u^{1+(3/4)} =u^1\cdot u^{3/4} \end{equation*}

Ahora aplicamos este principio a todos los factores del resultado:

    \begin{eqnarray*}    u^{7/4}v^{6/4}w^{11/4} &=& u^1\cdot u^{3/4} \cdot v^1\cdot v^{2/4}\cdot w^{2}\cdot w^{3/4}\\    &=& u\cdot u^{3/4}\cdot v\cdot v^{2/4}\cdot w^2\cdot w^{3/4}\\    &=& u\,v\,w^2\cdot u^{3/4}\cdot v^{2/4}\cdot w^{3/4} \end{eqnarray*}

Pero ya sabemos que un exponente fraccionario en realidad representa un radical, con lo que podemos reescribir la expresión de una manera equivalente como sigue:

    \begin{equation*}    u\,v\,w^2\cdot u^{3/4}\cdot v^{2/4}\cdot w^{3/4} = u\,v\,w^2\cdot\sqrt[4]{u^{3}\cdot v^{2}\cdot w^{3}} \end{equation*}

Entonces,

    \begin{equation*}    \sqrt[4]{u^7v^6w^{11}} = u\,v\,w^2\cdot\sqrt[4]{u^{3}\cdot v^{2}\cdot w^{3}} \end{equation*}

O de manera semejante, sin escribir radicales en el resultado:

    \begin{equation*}    \sqrt[4]{u^7v^6w^{11}} = u\,v\,w^2\cdot u^{3/4}\cdot v^{2/4}\cdot w^{3/4} \end{equation*}


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