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Reglas de los exponentes

Aprenderás las reglas de los exponentes y su aplicación en la simplificación de expresiones algebraicas sencillas.



Ejemplo 1

Simplifica:

    \begin{equation*}    \left(t^5\,r^3\,s^7\right)^2 \end{equation*}

En este caso, basta aplicar la ley (v) de los exponentes:

    \begin{eqnarray*}    \left(t^5\,r^3\,s^7\right)^2 &=& t^{5\cdot2}\,r^{3\cdot2}\,s^{7\cdot2}\\     &=& t^{10}\,r^{6}\,s^{14} \end{eqnarray*}



Ejemplo 2

Simplifica:

    \begin{equation*} \displaystyle\frac{x^2\,y^5}{x^3\,y}= \end{equation*}

Empezamos aplicando la ley (ii) de los exponentes:

    \begin{eqnarray*}    \frac{x^2\,y^5}{x^3\,y} &=& x^{2-3}\,y^{5-1}\\    &=& x^{-1}\,y^{4}\\    &=& \frac{y^4}{x} \end{eqnarray*}


En el álgebra, como en cualquier otra cosa, aprendes mejor las reglas mientras más las practiques. Así que la recomendación es que trates de justificar cada paso de la solución de cada ejemplo para que comprendas por qué se realiza de esa manera.

Es muy recomendable que resuelvas todos los ejercicios de tarea que se incluyen al final de cada tema para que adquieras destreza en la resolución de los mismos.


Ejemplo 3

Simplifica:

    \begin{equation*} \displaystyle\frac{m^{-1}\,n^5\,w^6}{m^7\,v^{-6}\,w} = \end{equation*}

En este caso empezamos convirtiendo todos los exponentes negativos en positivos, aplicando la ley (iii):

    \begin{eqnarray*}    \frac{m^{-1}\,n^5\,w^6}{m^7\,n^{-6}\,w} &=& \frac{\textcolor{blue}{n}^5\,w^6\,\textcolor{blue}{n}^6}{\textcolor{red}{m}^7\,w\,\textcolor{red}{m}}\\    &=& \frac{\textcolor{blue}{n}^{5+6}\,w^{6-1}}{\textcolor{red}{m}^{7+1}}\\    &=& \frac{n^{11}\,w^5}{m^{8}} \end{eqnarray*}



Ejemplo 4

Simplifica:

    \begin{equation*} \displaystyle\left(\frac{a^4\,b^7\,c^{12}}{a^7\,b^5\,c^8}\right)^3= \end{equation*}

En este caso, tenemos que aplicar simultáneamente varias leyes.
Empezamos simplificando la fracción que está dentro de los paréntesis:

    \begin{eqnarray*}    \left(\frac{a^4\,b^7\,c^{12}}{a^7\,b^5\,c^8}\right)^3 &=& \left(a^{4-7}\,b^{7-5}\,c^{12-8}\right)^3\\    &=& \left(a^{-3}\,b^{2}\,c^{4}\right)^3 \end{eqnarray*}

Ahora expresamos todos los exponentes negativos como positivos aplicando la ley (iii):

    \begin{equation*}    \left(a^{-3}\,b^{2}\,c^{4}\right)^3 = \left(\frac{b^{2}\,c^{4}}{a^3}\right)^3  \end{equation*}

Finalmente, vamos a aplicar las leyes(v)} y (vii)

    \begin{equation*} \left(\frac{b^{2}\,c^{4}}{a^3}\right)^3 = \frac{b^{2\cdot3}\,c^{4\cdot3}}{a^{3\cdot3}} = \frac{b^6\,c^{12}}{a^9} \end{equation*}

Entonces,

    \begin{equation*}    \left(\frac{a^4\,b^7\,c^{12}}{a^7\,b^5\,c^8}\right)^3 = \frac{b^6\,c^{12}}{a^9} \end{equation*}


¿Observas qué diferente se ven las dos expresiones, a pesar de que se trata de la misma?


Ejemplo 5

Simplifica:

    \begin{equation*}    \left(\frac{x^5y^7}{z^2}\right)\left(\frac{z^7x^3}{y^4}\right) \end{equation*}

Primero debemos multiplicar ambos factores y después simplificamos, aplicando las leyes de los exponentes en ambos casos:

    \begin{eqnarray*}    \left(\frac{x^5y^7}{z^2}\right)\left(\frac{z^7x^3}{y^4}\right) &=& \frac{\left(x^5y^7\right)\left(z^7x^3\right)}{\left(z^2\right)\left(y^4\right)}\\    &=& \frac{x^{5+3}y^7\cdot z^7}{z^2\cdot y^4}\\    &=& x^8y^{7-4}z^{7-2}\\    &=& x^8y^3z^5 \end{eqnarray*}

Entonces,

    \begin{equation*}    \left(\frac{x^5y^7}{z^2}\right)\left(\frac{z^7x^3}{y^4}\right) = x^8y^3z^5 \end{equation*}

Identifica qué ley de los exponentes se aplicó en cada caso.


Algunas veces se requerirá aplicar la ley distributiva, como en el siguiente caso:


Ejemplo 6

Desarrolla el siguiente producto:

    \begin{equation*} 7\,x^3\cdot\left(3\,x^2 + 5\,x^5\right) \end{equation*}

Primero recordamos la ley distributiva para los números reales:

    \begin{equation*}    a\cdot(b+c) = a\cdot b + a\cdot c \end{equation*}

Ahora aplicamos esta misma ley a la expresión que queremos desarrollar:

    \begin{eqnarray*}    7\,x^3\cdot\left(3\,x^2 + 5\,x^5\right) &=& \left(7\,x^3\right)\left(3\,x^2\right) +     \left(7\,x^3\right)\left(5\,x^5\right)\\    &=& 21\,x^{3+2} + 35\,x^{3+5}\\    &=& 21\,x^5 + 35\,x^8 \end{eqnarray*}

Observa que empezamos multiplicando los números conocidos y después multiplicamos las literales, aplicando las leyes de los exponentes.

Entonces, al desarrollar, obtenemos:

    \begin{equation*} 7\,x^3\cdot\left(3\,x^2 + 5\,x^5\right) = 21\,x^5 + 35\,x^8 \end{equation*}



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