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Regla de la potencia

Aprenderás a calcular la derivada de una función polinomial.

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Hasta aquí hemos utilizado la regla de los cuatro pasos para calcular la derivada de funciones. Sin embargo existe un procedimiento más sencillo que consiste en calcular la derivada de una clase de funciones y tulizar el resultado como una fórmula para evitar el procedimiento de los cuatro pasos. De hecho, ha hemos calculado algunas de estas fórmulas. Por ejemplo, ya hemos calculado la fórmula para derivar cualquier función de la forma:

    \begin{equation*}    y = m\,x + b \end{equation*}

También ya se dedujo la fórmula para calcular la derivada de una potencia. La fórmula que obtuvimos es la siguiente:

    \begin{equation*}  \frac{d(x^n)}{dx} = n\,x^{n-1} \end{equation*}

Esta fórmula será de gran utilidad para derivar funciones polinomiales.


Ejemplo

Calcula la derivada de la función:

    \begin{equation*}    y = x^{12} \end{equation*}

Si tuvieramos que utilizar la regla de los cuatro pasos el procedimiento sería muy largo. Sin embargo, ya sabemos la fórmula para derivar una potencia. Así que basta con aplicarla. En este caso \textcolor{red}{n} = \textcolor{red}{12}, y de aquí que \textcolor{blue}{n - 1} = \textcolor{blue}{11}. Sustituyendo en a fórmula obtenemos:

    \begin{eqnarray*}    \frac{d(x^{\textcolor{red}{n}})}{dx} &=& \textcolor{red}{n}\,x^{\textcolor{blue}{n-1}}\\    \frac{dy}{dx} &=& \textcolor{red}{12}\,x^{\textcolor{blue}{11}} \end{eqnarray*}

Y terminamos.



Ejemplo

Calcula la derivada de la función:

    \begin{equation*}    y = c\cdot f(x) \end{equation*}

Por definición, la derivada de esta función es:

    \begin{equation*}    \frac{dy}{dx} = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\frac{c\cdot f(x + \D x) - c\cdot f(x)}{\D x}} = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\frac{c\cdot \left[f(x + \D x) - f(x)\right]}{\D x}} \end{equation*}

Pero por las propiedades de los límites, podemos reescribir el límite de la siguiente forma:

    \begin{equation*} \frac{dy}{dx} = c\cdot\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\frac{f(x + \D x) - f(x)}{\D x}}= c\cdot\frac{d(f(x))}{dx} \end{equation*}

Esta es una regla de derivación.



Ejemplo


Calcula la derivada de la función:

    \begin{equation*}    y = 5\,x^{12} \end{equation*}

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Aquí debemos aplicar dos reglas de derivación. La primera es la que acabamos de deducir en el ejemplo anterior. La segunda es la regla de la potencia. Entonces, la derivada de la función es:

    \begin{eqnarray*}    \frac{dy}{dx} &=& \frac{d(5\cdot x^{\textcolor{red}{12}})}{dx}\\ 	&=& 5\cdot\frac{d(x^{\textcolor{red}{12}})}{dx}\\ 	&=& (5)(\textcolor{red}{12})\cdot x^{\textcolor{blue}{11}} = 60\,x^{11} \end{eqnarray*}

Y terminamos.


Estas dos reglas de derivación, junto con otra tercera regla que vamos a deducir en el siguiente ejemplo, se utilizan para derivar funciones polinomiales de una manera muy rápida y sencilla.


Ejemplo

Calcula una regla de derivación para la suma de dos funciones:

    \begin{equation*}    y = f(x) + g(x) \end{equation*}

Por definición de derivada, tenemos:

    \begin{equation*}    \frac{dy}{dx} = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\frac{f(x + \D x) + g(x + \D x) - f(x) - g(x)}{\D x}}\\ \end{equation*}

Y aplicando las propiedades de los límites podemos simplificar a:

    \begin{eqnarray*}    \frac{dy}{dx} &=& \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\frac{f(x + \D x) - f(x)}{\D x}} + \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\frac{g(x + \D x) - g(x)}{\D x}}\\ 	&=& \frac{d(f(x))}{dx} + \frac{d(g(x))}{dx} \end{eqnarray*}

En palabras, la derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas.



Ejemplo

Calcula la derivada de la función:

    \begin{equation*}    y = 1 + x + 2\,x^2 + 3\,x^3 + 4\,x^4 \end{equation*}

Aplicamos las reglas que acabamos de deducir:

    \begin{eqnarray*}    \frac{dy}{dx} &=& \frac{d(1)}{dx} + \frac{d(x)}{dx} + \frac{d\left(2\,x^2\right)}{dx} + \frac{d\left(3\,x^3\right)}{dx} + \frac{d\left(4\,x^4\right)}{dx}\\ 	&=& \frac{d\left(x^0\right)}{dx} + \frac{d\left(x\right)}{dx} + 2\cdot\frac{d\left(x^2 \right)}{dx} + 3\cdot\frac{d\left(x^3 \right)}{dx} + 4\cdot\frac{d\left(x^4 \right)}{dx}\\ 	&=& (0)(x^{-1}) + (1)(x^0) + (2)(2)(x^{1}) + (3)(3)(x^{2}) + (4)(4)(x^{3})\\ 	&=& 0 + 1 + 4\,x + 9\,x^2 + 16\,x^3\\ 	&=& 1 + 4\,x + 9\,x^2 + 16\,x^3 \end{eqnarray*}

Y terminamos.


Para simplificar la tarea de calcular la derivada de una función polinomial observa que basta con multiplicar el exponente por el coeficiente en cada término y la derivada es el producto que acabas de calcular por la literal elevada al exponente menos 1.

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