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Regla de la cadena

Aprenderás a aplicar la regla de la cadena para derivar funciones compuestas.

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Hasta aquí hemos derivado funciones que no son compuestas. El problema surge cuando tenemos una función que es compuesta, por ejemplo, digamos que el precio de la gasolina depende del precio del dólar. A su vez el precio del dólar depende de otro factor, como el precio del euro. Si D es el precio del dólar y E es el precio del Euro, entonces, D = f(E). A su vez, si G es el precio de la gasolina, tenemos que G = g(D) = g(f(E)). Así que necesitamos una forma de derivar funciones compuestas.


Ejemplo

Suponiendo que las funciones y = f(u), y u = g(x) son diferenciables un intervalo abierto I, calcula la derivada de la función compuesta:

    \begin{equation*}    y = f(g(x)) \end{equation*}

Como las funciones son diferenciables son suaves. Entonces, pequeños incrementos en x ocasionarán pequeños incrementos en u y éste a su vez en y. Esto nos permite escribir:

    \begin{equation*}   \Delta y = \frac{dy}{du}\cdot\Delta u - \Delta u\cdot\epsilon \end{equation*}

donde \epsilon es un número muy pequeño que tiende a cero conforme \Delta x tiende a cero.

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Entonces,

    \begin{equation*}    \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{\Delta u}{\Delta x} - \epsilon\cdot\frac{\Delta u}{\Delta x} \end{equation*}

Tomando el límite cuando el incremento en x se hace cero, obtenemos:

    \begin{eqnarray*}    \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)} &=& \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{dy}{du}\cdot\frac{\Delta u}{\Delta x} - \epsilon\cdot\frac{\Delta u}{\Delta x}\right)}\\ 	&=& \frac{dy}{du}\cdot\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{\Delta u}{\Delta x}\right)} - \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\epsilon\cdot\frac{\Delta u}{\Delta x}\right)}\\ 	&=& \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} - (0)\cdot\frac{du}{dx}\\ 	&=& \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}  \end{eqnarray*}

Esta es la regla de la cadena:

    \begin{equation*}    \frac{d(f(g(x)))}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}  \end{equation*}

donde se supone que las funciones y = f(u), y u = g(x) son diferenciables.


En palabras, la regla de la cadena nos dice que para derivar una función compuesta:

    \begin{equation*}    y = f(g(x)) \end{equation*}

Debemos primero derivar la función y = f(u) (respecto de u) y después derivar u = g(x) (respecto de x). Al multiplicar estos resultados obtenemos la derivada de y respecto de x.

Ahora podemos aplicar esta regla para deducir completamente la derivada de una función exponencial.


Ejemplo

Deduce la regla de derivación de la función:

    \begin{equation*}    y = a^x \end{equation*}

Si y = a^x, se sigue que x = \log_a y. Derivando ambos lados de la igualdad respecto de x obtenemos:

    \begin{equation*}    \frac{dx}{dx} = \frac{1}{y}\cdot\log_a e\cdot\frac{dy}{dx} \end{equation*}

donde hemos aplicado la regla de la cadena, porque y = a^x, es una función de x. De esta última igualdad podemos fácilmente despejar dy/dx:

    \begin{equation*}    \frac{dy}{dx} = \frac{y}{\log_a e} = \frac{a^x}{\log_a e} \end{equation*}

Utilizando las propiedades de los logaritmos podemos reescribir el resultado como:

    \begin{equation*}    \frac{dy}{dx} = a^{x}\log_{e} a \end{equation*}

Para el caso particular en el cual a = e, obtenemos:

    \begin{equation*}    \frac{d\left(e^x\right)}{dx} = e^x\ln e = e^x \end{equation*}

En palabras, este resultado nos dice que la razón de cambio instantánea de la función y = e^x es igual a la función misma para cada uno de sus puntos.


Gracias a la regla de la cadena podemos derivar funciones compuestas aplicando las demás reglas de derivación que ya hemos deducido antes.


Ejemplo

Calcula la derivada de la función:

    \begin{equation*}    y = (2\,x + 5)^{27} \end{equation*}

aplicando la regla para derivar una potencia y la regla de la cadena.

La regla para derivar una potencia es:

    \begin{equation*}    \frac{d\left(x^n\right)}{dx} = n\,x^{n-1} \end{equation*}

En este caso, el argumento de la función es: u = 2\,x + 5, cuya derivada es fácil de calcular:

    \begin{equation*} \frac{d\left(2\,x + 5\right)}{dx} = 2 \end{equation*}

Ahora podemos hacer el cambio de variable: u = 2\,x + 5 y derivamos:

    \begin{equation*}    y = u^{27}\qquad\Rightarrow\qquad \frac{dy}{dx} = 27\,u^{26}\cdot\frac{du}{dx} \end{equation*}

Y al sustituir u = 2\,x + 5 en el resultado junto con su derivada, obtenemos:

    \begin{equation*}    \frac{dy}{dx} = 27\,(2\,x + 5)^{26}\cdot(2) = 54\,(2\,x + 5)^{26} \end{equation*}

Y terminamos. Observa que multiplicamos (2)(27) para obtener 54 como coeficiente. El 2 salió de derivar el argumento de la función que deseabamos derivar.


A partir de los ejemplos anteriores, vemos que debemos aplicar la regla de la cadena a todas las reglas de derivación que conocemos. El siguiente resumen de fórmulas contiene todas las reglas de derivación que conocemos hasta ahora.

  • \displaystyle\frac{d\left(u + v\right)}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx}
  • \displaystyle\frac{d\left(u\cdot v\right)}{dx}{} = u\cdot\frac{dv}{dx} + v\cdot\frac{du}{dx}
  • \displaystyle\frac{d\left(\displaystyle\frac{u}{v}\right)}{dx}{} = \frac{\displaystyle v\cdot\frac{du}{dx} - u\cdot\frac{dv}{dx}}{v^2}
  • \displaystyle\frac{d\left(v\right)}{dx}{} = nu^{n-1}\frac{du}{dx}
  • \displaystyle\frac{d\left(\sin u\right)}{dx}{} = \cos u\frac{du}{dx}
  • \displaystyle\frac{d\left(\cos u\right)}{dx}{} = -\sin u\frac{du}{dx}
  • \displaystyle\frac{d\left(\tan u\right)}{dx}{} = \sec^2 u\frac{du}{dx}
  • \displaystyle\frac{d\left(\sec u\right)}{dx}{} = \sec u\tan u\frac{du}{dx}
  • \displaystyle\frac{d\left(\csc u\right)}{dx}{} = -\csc u\cot u\frac{du}{dx}
  • \displaystyle\frac{d\left(\cot u\right)}{dx}{} = -\csc^2 u\frac{du}{dx}
  • \displaystyle\frac{d(\arcsin u)}{du} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}\frac{du}{dx}
  • \displaystyle\frac{d(\arccos u)}{du} = -\frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}\frac{du}{dx}
  • \displaystyle\frac{d(\arctan u)}{du} = \frac{1}{1 + u^2}\frac{du}{dx}
  • \displaystyle\frac{d(\arccsc u)}{du} = -\frac{1}{u\sqrt{u^2 - 1}}\frac{du}{dx}
  • \displaystyle\frac{d(\arcsec u)}{du} = \frac{1}{u\sqrt{u^2 - 1}}\frac{du}{dx}
  • \displaystyle\frac{d(\arccot u)}{du} = -\frac{1}{1 + u^2}\frac{du}{dx}
  • \displaystyle\frac{d\left(\log_a u\right)}{dx}{} = \frac{\log_a e}{u}\frac{du}{dx}
  • \displaystyle\frac{d\left(\ln u\right)}{dx}{} = \frac{1}{u}\frac{du}{dx}
  • \displaystyle\frac{d\left(a^u\right)}{dx}{} = a^u\ln a\frac{du}{dx}
  • \displaystyle\frac{d\left(e^u\right)}{dx}{} = e^u\frac{du}{dx}

A partir de aquí, utilizaremos el formulario para derivar funciones de una manera más rápida y sencilla.

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Ejemplo

Calcula la derivada de la siguiente función:

    \begin{equation*}    y = \sin(2\,x) + \cos(3\,x + \pi) \end{equation*}

Ya sabemos que la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de sus derivadas. Así que nos conviene definir: f(x) = \sin(2\,x), y g(x) = \cos(3\,x + \pi). Usando u = 2\,x y v = 3\,x es fácil deducir que

    \begin{equation*}    \frac{du}{dx} = 2\qquad\mbox{ y }\qquad \frac{dv}{dx} = 3 \end{equation*}

Sustituyendo esto en la regla de la cadena aplicada a la derivada de y respecto de x, obtenemos:

    \begin{eqnarray*}    \frac{dy}{dx} &=& \frac{d\left(\sin(u)\right)}{dx} + \frac{d\left(\cos(v)\right)}{dx}\\ 	&=& \cos(u)\frac{du}{dx} - \sin(v)\frac{dv}{dx}\\ 	&=& \cos(2\,x)(2) - \sin(3\,x + \pi)(3)\\ 	&=& 2\,\cos(2\,x) - 3\,\sin(3\,x + \pi)\\ \end{eqnarray*}

Y terminamos.



Ejemplo

Calcula la derivada de la función:

    \begin{equation*}    y = e^{x^2} \end{equation*}

Definiendo: u = x^2, es fácil ver que

    \begin{equation*}    \frac{du}{dx} = 2\,x \end{equation*}

Sustituyendo esto en la regla de derivación correspondiente, obtenemos:

    \begin{equation*}    \frac{d\left(e^{x^2}\right)}{dx} = \frac{d\left(e^{u}\right)}{dx} = e^{u}\cdot\frac{du}{dx} \end{equation*}

Al realizar las operaciones indicadas, resulta:

    \begin{eqnarray*}    \frac{d\left(e^{x^2}\right)}{dx}	&=& e^{u}\cdot\frac{du}{dx}\\ 	&=& e^{x^2}\cdot\left(2\,x\right)\\ 	&=& 2\,xe^{x^2} \end{eqnarray*}

Entonces,

    \begin{equation*}    \frac{d\left(e^{x^2}\right)}{dx} = 2\,x\cdot e^{x^2} \end{equation*}



Ejemplo

Calcula la derivada de la función:

    \begin{equation*}    y = x\cdot\tan (2\,x) \end{equation*}

Para derivar esta función tenemos que aplicar:

  • Regla del producto,
  • Regla de la cadena

Definimos: f(x) = x, y g(x) = \tan(2\,x). La derivada de f(x) es inmediata: f'(x) = 1. Por otra parte, la derivada de g(x) requiere la aplicación de las reglas de la cadena y para derivar la tangente:

    \begin{equation*}    \frac{d\left(\tan(u)\right)}{dx} = \sec^2 u\,\frac{du}{dx} \end{equation*}

donde u = 2\,x, por lo que: u' = 2. Sustituyendo estos valores en la derivada de g(x) obtenemos:

    \begin{equation*}    g'(x) = \frac{d\left(\tan(u)\right)}{dx} = 2\sec^2(2\,x) \end{equation*}

Ahora podemos sustituir

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{ccccccc}    f(x) &=& x 			& \qquad\qquad\qquad\qquad & f'(x) &=& 1 \\    g(x) &=& \tan(2\,x) 	& \qquad\qquad\qquad\qquad & g'(x) &=& 2\sec^2(2\,x) \end{array}\]

en la regla para derivar el producto de dos funciones:

    \begin{eqnarray*}    \frac{dy}{dx} &=& f(x)\cdot g'(x) + g(x)\cdot f'(x)\\ 	&=& (x)\cdot\left[2\sec^2(2\,x)\right] + \left[\tan(2\,x)\right]\cdot (1)\\ 	&=& 2\,x \sec^2(2\,x) + \tan(2\,x) \end{eqnarray*}

Entonces,

    \begin{equation*}    \frac{d\left(x\cdot\tan (2\,x)\right)}{dx} = 2\,x \sec^2(2\,x) + \tan(2\,x) \end{equation*}



Ejemplo

Calcula la derivada de la función:

    \begin{equation*}    y = \frac{\sec(x^2 + 1)}{x^2 + 1} \end{equation*}

Definiendo: u = x^2 + 1, podemos reescribir la función como:

    \begin{equation*}    y = \frac{\sec u}{u} \end{equation*}

Es fácil deducir que:

    \begin{equation*}    \frac{du}{dx} = 2\,x \end{equation*}

Ahora tenemos que aplicar la derivada de un cociente:

    \begin{eqnarray*}    \frac{dy}{dx} &=& \frac{u\cdot\displaystyle\frac{d\left(#1\right)}{dx}{\sec u} - \left(\sec u\right)\cdot\frac{du}{dx}}{u^2}\\ 	&=& \frac{\displaystyle(u)\cdot\left(\sec u\tan u\frac{du}{dx}\right) - \sec u\cdot\frac{du}{dx}}{u^2}\\ 	&=& \frac{\left(x^2 + 1\right)\cdot \sec\left(x^2 + 1\right)\tan \left(x^2 + 1\right)\left(2\,x\right) - \sec\left(x^2 + 1\right)\left(2\,x\right)}{\left(x^2 + 1\right)}\\ 	&=& \frac{(2\,x)\left[\left(x^2 + 1\right)\sec\left(x^2 + 1\right)\tan\left(x^2 + 1\right) - \sec\left(x^2 + 1\right)\right]}{\left(x^2 + 1\right)} \end{eqnarray*}

Entonces,

    \begin{equation*}    \frac{d}{dx}\left(\frac{\sec(x^2 + 1)}{x^2 + 1}\right) = \frac{(2\,x)\left[\left(x^2 + 1\right)\sec\left(x^2 + 1\right)\tan\left(x^2 + 1\right) - \sec\left(x^2 + 1\right)\right]}{\left(x^2 + 1\right)} \end{equation*}



Ejemplo

Un fabricante de computadoras ha encontrado que el costo de producción C(x) de x laptops está dado por:

    \begin{equation*}    C(x) = (7\,x + 12)^2 + 12\,500 \end{equation*}

Calcula costo marginal de producción de laptops para esa compañía.

El costo marginal de producción se define como la derivada del costo de producción. En este caso la función de costo es compuesta, así que tendremos que aplicar la regla de la cadena:

    \begin{eqnarray*}    \frac{d\left(C(x)\right)}{dx} &=& \frac{d\left((7\,x + 12)^2\right)}{dx} + \frac{d\left(12\,500\right)}{dx}\\ 	&=& 2\cdot(7\,x + 12)(7) \\ 	&=& 14\cdot(7\,x + 12)\\ 	&=& 98\,x + 168 \end{eqnarray*}

Entonces el costo marginal de producción es de: C'(x) = 98\,x + 168. El costo marginal de producción nos indica cuánto cuesta producir una computadora más. ¿Puedes explicar por qué?


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