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Regla de la cadena

Aprenderás a aplicar la regla de la cadena para derivar funciones compuestas.



Ejemplo 5

Calcula la derivada de la función:

    \begin{equation*}    y = e^{x^2} \end{equation*}

Definiendo: u = x^2, es fácil ver que

    \begin{equation*}    \frac{du}{dx} = 2\,x \end{equation*}

Sustituyendo esto en la regla de derivación correspondiente, obtenemos:

    \begin{equation*}    \frac{d\left(e^{x^2}\right)}{dx} = \frac{d\left(e^{u}\right)}{dx} = e^{u}\cdot\frac{du}{dx} \end{equation*}

Al realizar las operaciones indicadas, resulta:

    \begin{eqnarray*}    \frac{d\left(e^{x^2}\right)}{dx}	&=& e^{u}\cdot\frac{du}{dx}\\ 	&=& e^{x^2}\cdot\left(2\,x\right)\\ 	&=& 2\,xe^{x^2} \end{eqnarray*}

Entonces,

    \begin{equation*}    \frac{d\left(e^{x^2}\right)}{dx} = 2\,x\cdot e^{x^2} \end{equation*}



Ejemplo 6

Calcula la derivada de la función:

    \begin{equation*}    y = x\cdot\tan (2\,x) \end{equation*}

Para derivar esta función tenemos que aplicar:

  • Regla del producto,
  • Regla de la cadena

Definimos: f(x) = x, y g(x) = \tan(2\,x). La derivada de f(x) es inmediata: f'(x) = 1. Por otra parte, la derivada de g(x) requiere la aplicación de las reglas de la cadena y para derivar la tangente:

    \begin{equation*}    \frac{d\left(\tan(u)\right)}{dx} = \sec^2 u\,\frac{du}{dx} \end{equation*}

donde u = 2\,x, por lo que: u' = 2. Sustituyendo estos valores en la derivada de g(x) obtenemos:

    \begin{equation*}    g'(x) = \frac{d\left(\tan(u)\right)}{dx} = 2\sec^2(2\,x) \end{equation*}

Ahora podemos sustituir

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{ccccccc}    f(x) &=& x 			& \qquad\qquad\qquad\qquad & f'(x) &=& 1 \\    g(x) &=& \tan(2\,x) 	& \qquad\qquad\qquad\qquad & g'(x) &=& 2\sec^2(2\,x) \end{array}\]

en la regla para derivar el producto de dos funciones:

    \begin{eqnarray*}    \frac{dy}{dx} &=& f(x)\cdot g'(x) + g(x)\cdot f'(x)\\ 	&=& (x)\cdot\left[2\sec^2(2\,x)\right] + \left[\tan(2\,x)\right]\cdot (1)\\ 	&=& 2\,x \sec^2(2\,x) + \tan(2\,x) \end{eqnarray*}

Entonces,

    \begin{equation*}    \frac{d\left(x\cdot\tan (2\,x)\right)}{dx} = 2\,x \sec^2(2\,x) + \tan(2\,x) \end{equation*}



Ejemplo 7

Calcula la derivada de la función:

    \begin{equation*}    y = \frac{\sec(x^2 + 1)}{x^2 + 1} \end{equation*}

Definiendo: u = x^2 + 1, podemos reescribir la función como:

    \begin{equation*}    y = \frac{\sec u}{u} \end{equation*}

Es fácil deducir que:

    \begin{equation*}    \frac{du}{dx} = 2\,x \end{equation*}

Ahora tenemos que aplicar la derivada de un cociente:

    \begin{eqnarray*}    \frac{dy}{dx} &=& \frac{u\cdot\displaystyle\frac{d\left(#1\right)}{dx}{\sec u} - \left(\sec u\right)\cdot\frac{du}{dx}}{u^2}\\ 	&=& \frac{\displaystyle(u)\cdot\left(\sec u\tan u\frac{du}{dx}\right) - \sec u\cdot\frac{du}{dx}}{u^2}\\ 	&=& \frac{\left(x^2 + 1\right)\cdot \sec\left(x^2 + 1\right)\tan \left(x^2 + 1\right)\left(2\,x\right) - \sec\left(x^2 + 1\right)\left(2\,x\right)}{\left(x^2 + 1\right)}\\ 	&=& \frac{(2\,x)\left[\left(x^2 + 1\right)\sec\left(x^2 + 1\right)\tan\left(x^2 + 1\right) - \sec\left(x^2 + 1\right)\right]}{\left(x^2 + 1\right)} \end{eqnarray*}

Entonces,

    \begin{equation*}    \frac{d}{dx}\left(\frac{\sec(x^2 + 1)}{x^2 + 1}\right) = \frac{(2\,x)\left[\left(x^2 + 1\right)\sec\left(x^2 + 1\right)\tan\left(x^2 + 1\right) - \sec\left(x^2 + 1\right)\right]}{\left(x^2 + 1\right)} \end{equation*}



Ejemplo 8

Un fabricante de computadoras ha encontrado que el costo de producción C(x) de x laptops está dado por:

    \begin{equation*}    C(x) = (7\,x + 12)^2 + 12\,500 \end{equation*}

Calcula costo marginal de producción de laptops para esa compañía.

El costo marginal de producción se define como la derivada del costo de producción. En este caso la función de costo es compuesta, así que tendremos que aplicar la regla de la cadena:

    \begin{eqnarray*}    \frac{d\left(C(x)\right)}{dx} &=& \frac{d\left((7\,x + 12)^2\right)}{dx} + \frac{d\left(12\,500\right)}{dx}\\ 	&=& 2\cdot(7\,x + 12)(7) \\ 	&=& 14\cdot(7\,x + 12)\\ 	&=& 98\,x + 168 \end{eqnarray*}

Entonces el costo marginal de producción es de: C'(x) = 98\,x + 168. El costo marginal de producción nos indica cuánto cuesta producir una computadora más. ¿Puedes explicar por qué?


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