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Regla de la cadena

Aprenderás a aplicar la regla de la cadena para derivar funciones compuestas.

Hasta aquí hemos derivado funciones que no son compuestas. El problema surge cuando tenemos una función que es compuesta, por ejemplo, digamos que el precio de la gasolina depende del precio del dólar. A su vez el precio del dólar depende de otro factor, como el precio del euro. Si D es el precio del dólar y E es el precio del Euro, entonces, D = f(E). A su vez, si G es el precio de la gasolina, tenemos que G = g(D) = g(f(E)). Así que necesitamos una forma de derivar funciones compuestas.


Ejemplo 1

Suponiendo que las funciones y = f(u), y u = g(x) son diferenciables un intervalo abierto I, calcula la derivada de la función compuesta:

    \begin{equation*}    y = f(g(x)) \end{equation*}

Como las funciones son diferenciables son suaves. Entonces, pequeños incrementos en x ocasionarán pequeños incrementos en u y éste a su vez en y. Esto nos permite escribir:

    \begin{equation*}   \Delta y = \frac{dy}{du}\cdot\Delta u - \Delta u\cdot\epsilon \end{equation*}

donde \epsilon es un número muy pequeño que tiende a cero conforme \Delta x tiende a cero.

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Entonces,

    \begin{equation*}    \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{\Delta u}{\Delta x} - \epsilon\cdot\frac{\Delta u}{\Delta x} \end{equation*}

Tomando el límite cuando el incremento en x se hace cero, obtenemos:

    \begin{eqnarray*}    \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)} &=& \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{dy}{du}\cdot\frac{\Delta u}{\Delta x} - \epsilon\cdot\frac{\Delta u}{\Delta x}\right)}\\ 	&=& \frac{dy}{du}\cdot\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{\Delta u}{\Delta x}\right)} - \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\epsilon\cdot\frac{\Delta u}{\Delta x}\right)}\\ 	&=& \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} - (0)\cdot\frac{du}{dx}\\ 	&=& \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}  \end{eqnarray*}

Esta es la regla de la cadena:

    \begin{equation*}    \frac{d(f(g(x)))}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}  \end{equation*}

donde se supone que las funciones y = f(u), y u = g(x) son diferenciables.


En palabras, la regla de la cadena nos dice que para derivar una función compuesta:

    \begin{equation*}    y = f(g(x)) \end{equation*}

Debemos primero derivar la función y = f(u) (respecto de u) y después derivar u = g(x) (respecto de x). Al multiplicar estos resultados obtenemos la derivada de y respecto de x.

Ahora podemos aplicar esta regla para deducir completamente la derivada de una función exponencial.


Ejemplo 2

Deduce la regla de derivación de la función:

    \begin{equation*}    y = a^x \end{equation*}

Si y = a^x, se sigue que x = \log_a y. Derivando ambos lados de la igualdad respecto de x obtenemos:

    \begin{equation*}    \frac{dx}{dx} = \frac{1}{y}\cdot\log_a e\cdot\frac{dy}{dx} \end{equation*}

donde hemos aplicado la regla de la cadena, porque y = a^x, es una función de x. De esta última igualdad podemos fácilmente despejar dy/dx:

    \begin{equation*}    \frac{dy}{dx} = \frac{y}{\log_a e} = \frac{a^x}{\log_a e} \end{equation*}

Utilizando las propiedades de los logaritmos podemos reescribir el resultado como:

    \begin{equation*}    \frac{dy}{dx} = a^{x}\log_{e} a \end{equation*}

Para el caso particular en el cual a = e, obtenemos:

    \begin{equation*}    \frac{d\left(e^x\right)}{dx} = e^x\ln e = e^x \end{equation*}

En palabras, este resultado nos dice que la razón de cambio instantánea de la función y = e^x es igual a la función misma para cada uno de sus puntos.


Gracias a la regla de la cadena podemos derivar funciones compuestas aplicando las demás reglas de derivación que ya hemos deducido antes.


Ejemplo 3

Calcula la derivada de la función:

    \begin{equation*}    y = (2\,x + 5)^{27} \end{equation*}

aplicando la regla para derivar una potencia y la regla de la cadena.

La regla para derivar una potencia es:

    \begin{equation*}    \frac{d\left(x^n\right)}{dx} = n\,x^{n-1} \end{equation*}

En este caso, el argumento de la función es: u = 2\,x + 5, cuya derivada es fácil de calcular:

    \begin{equation*} \frac{d\left(2\,x + 5\right)}{dx} = 2 \end{equation*}

Ahora podemos hacer el cambio de variable: u = 2\,x + 5 y derivamos:

    \begin{equation*}    y = u^{27}\qquad\Rightarrow\qquad \frac{dy}{dx} = 27\,u^{26}\cdot\frac{du}{dx} \end{equation*}

Y al sustituir u = 2\,x + 5 en el resultado junto con su derivada, obtenemos:

    \begin{equation*}    \frac{dy}{dx} = 27\,(2\,x + 5)^{26}\cdot(2) = 54\,(2\,x + 5)^{26} \end{equation*}

Y terminamos. Observa que multiplicamos (2)(27) para obtener 54 como coeficiente. El 2 salió de derivar el argumento de la función que deseabamos derivar.


A partir de los ejemplos anteriores, vemos que debemos aplicar la regla de la cadena a todas las reglas de derivación que conocemos. El siguiente resumen de fórmulas contiene todas las reglas de derivación que conocemos hasta ahora.

  • \displaystyle\frac{d\left(u + v\right)}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx}
  • \displaystyle\frac{d\left(u\cdot v\right)}{dx}{} = u\cdot\frac{dv}{dx} + v\cdot\frac{du}{dx}
  • \displaystyle\frac{d\left(\displaystyle\frac{u}{v}\right)}{dx}{} = \frac{\displaystyle v\cdot\frac{du}{dx} - u\cdot\frac{dv}{dx}}{v^2}
  • \displaystyle\frac{d\left(v\right)}{dx}{} = nu^{n-1}\frac{du}{dx}
  • \displaystyle\frac{d\left(\sin u\right)}{dx}{} = \cos u\frac{du}{dx}
  • \displaystyle\frac{d\left(\cos u\right)}{dx}{} = -\sin u\frac{du}{dx}
  • \displaystyle\frac{d\left(\tan u\right)}{dx}{} = \sec^2 u\frac{du}{dx}
  • \displaystyle\frac{d\left(\sec u\right)}{dx}{} = \sec u\tan u\frac{du}{dx}
  • \displaystyle\frac{d\left(\csc u\right)}{dx}{} = -\csc u\cot u\frac{du}{dx}
  • \displaystyle\frac{d\left(\cot u\right)}{dx}{} = -\csc^2 u\frac{du}{dx}
  • \displaystyle\frac{d(\arcsin u)}{du} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}\frac{du}{dx}
  • \displaystyle\frac{d(\arccos u)}{du} = -\frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}\frac{du}{dx}
  • \displaystyle\frac{d(\arctan u)}{du} = \frac{1}{1 + u^2}\frac{du}{dx}
  • \displaystyle\frac{d(\arccsc u)}{du} = -\frac{1}{u\sqrt{u^2 - 1}}\frac{du}{dx}
  • \displaystyle\frac{d(\arcsec u)}{du} = \frac{1}{u\sqrt{u^2 - 1}}\frac{du}{dx}
  • \displaystyle\frac{d(\arccot u)}{du} = -\frac{1}{1 + u^2}\frac{du}{dx}
  • \displaystyle\frac{d\left(\log_a u\right)}{dx}{} = \frac{\log_a e}{u}\frac{du}{dx}
  • \displaystyle\frac{d\left(\ln u\right)}{dx}{} = \frac{1}{u}\frac{du}{dx}
  • \displaystyle\frac{d\left(a^u\right)}{dx}{} = a^u\ln a\frac{du}{dx}
  • \displaystyle\frac{d\left(e^u\right)}{dx}{} = e^u\frac{du}{dx}

A partir de aquí, utilizaremos el formulario para derivar funciones de una manera más rápida y sencilla.


Ejemplo 4

Calcula la derivada de la siguiente función:

    \begin{equation*}    y = \sin(2\,x) + \cos(3\,x + \pi) \end{equation*}

Ya sabemos que la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de sus derivadas. Así que nos conviene definir: f(x) = \sin(2\,x), y g(x) = \cos(3\,x + \pi). Usando u = 2\,x y v = 3\,x es fácil deducir que

    \begin{equation*}    \frac{du}{dx} = 2\qquad\mbox{ y }\qquad \frac{dv}{dx} = 3 \end{equation*}

Sustituyendo esto en la regla de la cadena aplicada a la derivada de y respecto de x, obtenemos:

    \begin{eqnarray*}    \frac{dy}{dx} &=& \frac{d\left(\sin(u)\right)}{dx} + \frac{d\left(\cos(v)\right)}{dx}\\ 	&=& \cos(u)\frac{du}{dx} - \sin(v)\frac{dv}{dx}\\ 	&=& \cos(2\,x)(2) - \sin(3\,x + \pi)(3)\\ 	&=& 2\,\cos(2\,x) - 3\,\sin(3\,x + \pi)\\ \end{eqnarray*}

Y terminamos.



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