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Rectas tangentes a una circunferencia

Aprenderás algunas propiedades de las rectas tangentes a una circunferencia.

Cuando una recta toca a una circunferencia en un punto, la recta se llama tangente. Las rectas tangentes a la circunferencia tienen especial interés en la geometría.


Teorema

El radio de una circunferencia trazado al punto de tangencia es perpendicular a la tangente.

Demostración

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Por la desigualdad del triángulo, \segm{AC} + \segm{AP} > \segm{CP}, para cualquier punto P que esté sobre la tangente, distinto de A, siendo A el punto de tangencia. En otras palabras, para cualquier punto P diferente de A, la distancia desde P hasta el centro de la circunferencia es mayor que el radio. Es decir, el radio es la menor distancia desde el centro de la circunferencia a la recta tangente, y por eso el radio es perpendicular a la recta tangente.


Otra forma de dar este mismo resultado es:


Corolario

La perpendicular a una recta tangente a una circunferencia en el punto de tangencia pasa por el centro de la circunferencia.



Teorema

Dos tangentes a una circunferencia que pasan por un mismo punto P externo a la circunferencia y con puntos de tangencia en A y B, respectivamente, cumplen: |\segm{AP}| = |\segm{BP}|.

Teorema

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Trazamos dos radios a los puntos de tangencia y el segmento de recta que va del centro de la circunferencia al punto P. Así hemos formado dos triángulos rectángulo: \trianglele CAP y \trianglele CBP siendo \angle CAP y \angle CBP ángulos recto. En estos triángulos los lados \segm{CA} y \segm{CB} tienen la misma medida al ser ambos radios de la misma circunferencia.

Por otra parte, el segmento \segm{CP} es la hipotenusa de ambos triángulos. Por lo tanto, los triángulos rectángulo trazados son iguales y los segmentos \segm{AP} y \segm{BP} miden lo mismo.


El resultado de este teorema se hace evidente al observar la simetría de la figura, gracias a la forma que tiene la circunferencia. Con este teorema podemos demostrar otros que nos ayudarán a resolver otros problemas más adelante.


Teorema

Si desde un punto P externo a la circunferencia se dibujan tangentes a la misma, y se dibujan radios a los puntos de tangencia, el segmento que une el centro de la circunferencia y el punto P bisectan:

  • El ángulo formado por las tangentes.
  • El ángulo formado por los radios.
  • La cuerda con extremos en los puntos de tangencia.

Demostración

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Observa que los triángulos \trianglele CAP y \trianglele CBP son iguales porque tienen sus tres lados iguales.

El lado \segm{CP} es común a ambos triángulos, los lados \segm{CA} y \segm{CB} son radios de la circunferencia y el otro lado de cada triángulo se trata de cada tangente, por eso son iguales. Esto indica que los triángulos \trianglele CAP y \trianglele CBP son congruentes. Por eso, los ángulos \angle APC y \angle BPC son iguales.

También, \angle ACP = \angle BCP. Observa que el segmento \segm{CP} es la mediatriz del segmento \segm{AB}, porque el punto P equidista de los puntos A y B, y también C equidista de A y B, que es el método que utilizamos para trazar la mediatriz de un segmento.


Ejemplo 1

Demuestra que si los cuatro lados de un cuadrilátero son tangentes a una circunferencia, la suma de las longitudes de dos lados opuestos es igual a la de los otros dos.

Empezamos trazando la figura correspondiente:

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Considerando la igualdad: |\segm{AB}| + |\segm{CD}| = |\segm{BC}| + |\segm{AD}|. Pero |\segm{AB}| = |\segm{AP}| + |\segm{PB}|, |\segm{BC}| = |\segm{BQ}| + |\segm{QC}|, |\segm{CD}| = |\segm{CR}| + |\segm{RD}|, y |\segm{AD}| = |\segm{AS}| + |\segm{SD}|. Entonces,

    \begin{eqnarray*} |\segm{AB}| + |\segm{CD}| &=& |\segm{BC}| + |\segm{AD}|\\ 	\left(|\segm{AP}| + |\segm{PB}|\right) + \left(|\segm{CR}| + |\segm{RD}|\right) 		&=& \left(|\segm{BQ}| + |\segm{QC}|\right) + \left(|\segm{AS}| + |\segm{SD}|\right) \end{eqnarray*}

Por otra parte, dado que los lados son tangentes a la circunferencia, la distancia desde cualquier vértice del cuadrilátero hasta dos puntos de tangencia consecutivos es constante. Entonces, también se cumple: \textcolor{red}{|\segm{AP}|} = \textcolor{red}{|\segm{AS}|}, \textcolor{blue}{|\segm{BP}|} = \textcolor{blue}{|\segm{BQ}|}, \textcolor{cyan}{|\segm{CQ}|} = \textcolor{cyan}{|\segm{CR}|}, y |\segm{DR}| = |\segm{DS}|.

De las cuatro igualdades anteriores, cada uno de los miembros está, bien a la izquierda, bien a la derecha de la ecuación:

    \begin{equation*} \left(\textcolor{red}{|\segm{AP}|} + \textcolor{blue}{|\segm{PB}|}\right) + \left(\textcolor{cyan}{|\segm{CR}|} + |\segm{RD}|\right) 		= \left(\textcolor{blue}{|\segm{BQ}|} + \textcolor{cyan}{|\segm{QC}|}\right) + \left(\textcolor{red}{|\segm{AS}|} + |\segm{SD}|\right) \end{equation*}

Y por eso se cumple la igualdad.


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