Setup Menus in Admin Panel

  • LOGIN
  • No hay productos en el carrito.

Razones y Proporciones

Aprenderás a resolver problemas de proporción directa y de proporción inversa.


Los problemas de proporción directa se resuelven de manera más sencilla si utilizamos la regla de 3 directa.

Por ejemplo, en el caso de los Hot Dogs, escribimos en una columna el número de Hot Dogs que puede preparar y en otra la cantidad de minutos que requiere:

    \begin{eqnarray*} \mbox{Hot Dogs} & \Rightarrow & \mbox{Minutos}\\\mbox{Datos conocidos: } \qquad\qquad 20 & \Rightarrow & 30\\\mbox{Para calcular: } \qquad\qquad x & \Rightarrow & 45 \end{eqnarray*}

Para resolver este problema con este segundo método observa que si dividimos 20 (Hot Dogs) entre 30 (minutos) obtenemos la proporción que indica cuántos Hot Dogs prepara el vendedor en un minuto\footnote{En realidad, esta proporción nos indica que el vendedor prepara 2 Hot Dogs en 3 minutos, o bien, dos tercios de Hot Dogs en un minuto.}. Si multiplicamos este resultado por 45 (minutos) obtenemos la cantidad de Hot Dogs que prepara en esa cantidad de tiempo.

Entonces,

    \begin{equation*} x = (45)\cdot\frac{20}{30}= (\cancel{3})(15)\cdot\left(\frac{2}{\cancel{3}}\right) = 30 \end{equation*}

Sabemos que en el asilo se consumen 14 kg de harina en 7 días, la razón 14 / 7 = 2 nos indica que se utilizan 2 kilogramos de harina por día en ese asilo. En 30 días se deben utilizar 30 veces más, es decir, (30)(2) = 60 kilogramos de harina.

En forma de regla de tres directa, tenemos:

    \begin{eqnarray*} \mbox{kg de harina} & \Rightarrow & \mbox{D\'ias}\\\mbox{Datos conocidos: } \qquad\qquad 14 & \Rightarrow & 7\\\mbox{Para calcular: } \qquad\qquad x & \Rightarrow & 30 \end{eqnarray*}

Y al realizar las operaciones, obtenemos:

    \begin{equation*} x = (30)\cdot\left(\displaystyle\frac{14}{7}\right)= (30)(2) = 60 \end{equation*}

Observa que debido a que la multiplicación y la división tienen la misma prioridad como operaciones, en realidad no importa qué operación realicemos primero. Bien podemos primero dividir y después multiplicar, bien podemos primero multiplicar y después dividir… en ambos casos siempre obtendremos el mismo resultado. Por esto, es una costumbre utilizar la regla de tres directa de la siguiente manera:

    \begin{eqnarray*} \mbox{kg de harina} & \Rightarrow & \mbox{D\'ias}\\\mbox{Datos conocidos: } \qquad\qquad 14 & \Rightarrow & 7\\\mbox{Para calcular: } \qquad\qquad x & \Rightarrow & 30 \end{eqnarray*}

empezamos multiplicando el único número que conocemos del renglón donde se encuentra nuestra incógnita (30) por el número que se encuentra en el otro renglón y en la otra columna (14) y este resultado lo dividimos por el último número conocido (7).

    \begin{equation*} x = \displaystyle\frac{(30)(\cancel{14})}{\cancel{7}} = (30)(2) = 60 \end{equation*}

Se queda como ejercicio para ti realizar este procedimiento para el caso del vendedor de Hot Dogs.



Una proporción directa que es utilizada comúnmente es el porcentaje.


Porcentaje

Es una proporción de algo a cien. La palabra “porciento” indica “cuántos se tomarán por cada cien”.


Ejemplo 6

Luisa compró un vestido. Como le hicieron un descuento del 25%, solamente pagó $180.00 pesos. ¿Cuál es el precio original (sin descuento) de ese vestido?

Para calcular el precio con descuento del vestido, debieron restar el 25%.
Definimos con P al precio original (sin descuento) del vestido,
Entonces, 0.25\,P es el descuento que se le hizo,
Y el precio con descuento es:

    \begin{equation*} P - 0.25\,P = 0.75\,P \end{equation*}

Esto indica que pagó solamente el 75% del precio original del vestido.
Y este precio fue de $180.00 pesos.
Entonces,

    \begin{eqnarray*} 0.75\,P = 180\qquad\Rightarrow\qquad  P &=& \displaystyle\frac{180}{0.75} = \displaystyle\frac{180}{\left(\displaystyle\frac{3}{4}\right)}\\   &=&\displaystyle\frac{(4)(\cancel{180})}{\cancel{3}}\\   &=& (4)(60) = 240 \end{eqnarray*}

Esto nos dice que el precio sin descuento del vestido era de $240.00 pesos.
En efecto, si calculamos el 25% de $240.00 pesos, entonces debemos sacar la cuarta parte,
es decir, $60.00 pesos es el 25% de $240.00
A $240.00 le restamos $60.00 y obtenemos $180.00 que es el precio con el 25% de descuento.



Ejemplo 7

Un paquete de cereal contiene 15% más gratis. Si el envase inicialmente contenía 680 gr., ¿cuántos gramos contiene ahora?

Sabemos que originalmente el envase contenía 680 gramos.
El 10% de esa cantidad es la décima parte, porque 10 es la décima parte de 100.
Y el porcentaje se refiere a la proporción por cada cien…
La décima parte de 680 gr., es 68 gr.
Entonces, el 10% de 680 es 68.
La mitad del 10% es el 5%.
Entonces, el 5% de 680 es la mitad de 68, es decir, 34.
Si sumamos el 10% de 680 y el 5% de 680 obtenemos el 15% de 680.
Esto es, el 15% de 680 es 68 + 34 = 102
Entonces, el envase contiene 102 gramos de más…
Si originalmente contenía 680 gramos, junto con los 102 gramos gratis (el 15%) obtenemos un nuevo total de 782 gramos.


Proporción inversa

Dos cantidades están en proporción inversa si al crecer una, la otra decrece, en la misma razón.

Por ejemplo si una aumenta al doble, la otra disminuye a la mitad.


Ejemplo 8

Dos trabajadores tardan 32 horas en pintar una barda. ¿Cuántos trabajadores se requieren para que realicen la tarea en 4 horas?

Si se asignan el doble de trabajadores deben tardar la mitad del tiempo. Entonces, si hay

  • 4 trabajadores deben tardar 16 horas,
  • y 8 trabajadores deben tardar 8 horas,
  • y 16 trabajadores deben tardar 4 horas,…

Todo esto, suponiendo que los trabajadores siempre trabajan al mismo ritmo y que no se estorban entre ellos para realizar la tarea.


Las proporciones inversas aparecen muy frecuentemente. Sin embargo, debido a que mucha gente no conoce su nombre, no las reconoce como tal.


Ejemplo 9

En un viaje, 300 personas requieren de 975 litros de agua para consumo (elaboración de alimentos y bebidas) durante un día. Si hacemos caso del dicho: “una persona necesita de dos litros de agua diarios”, ¿para cuántas personas alcanzará el agua?

La respuesta es inmediata: como cada persona requiere de dos litros, dividimos el número de litros de agua que llevan consigo y obtenemos el resultado de nuestro problema:

    \begin{equation*}    \frac{975}{2} = 487.5 \end{equation*}

Esto nos dice en palabras que si cada persona consume dos litros de agua por día, entonces 975 litros podrán dar a 487.5 personas agua en un día. Sin embargo, debes observar que inicialente había 300 personas asignadas a los 975 litros de agua. Esto significa que (en promedio) consumían más de 2 litros de agua:

    \begin{equation*}    \frac{975}{300} = 3.25 \end{equation*}

Entonces, este problema tiene relacionadas sus variables con una proporción inversa: cuando aumenta el número de litros de agua que consume diariamente una persona, pueden dar agua a menos personas…

Y cuando disminuye el número de personas a las que se les va a repartir el agua, pueden que darles más litros de agua a cada uno de ellos.


Estos dos tipos de variaciones no son los únicos. Existen otros tipos de variaciones.

Por mencionar un ejemplo, tenemos la energía que contiene el viento. Cuando la velocidad del viento aumenta al doble, la energía que contiene un kilogramo de ese aire en movimiento aumenta ocho veces. Si se triplica la velocidad del viento, la energía aumenta 27 veces, y si la velocidad incrementa al cuádruplo, la energía se multiplica por 64.

Entonces, si la velocidad del viento se multiplica por k, la energía contenida ahí se multiplica por k^3. Este tipo de variación se conoce como variación cúbica, por obvias razones. Observa que el número que utilizaste para multiplicar a la velocidad del viento se elevó al cuadrado para conocer en qué proporción aumentó la energía que contiene.

Otro tipo de variación consiste en la variación exponencial. Este tipo de variación es la que se utiliza para determinar la edad de los huesos de dinosaurios y seres que existieron en nuestro planeta hace millones de años. En este tipo de variación la cantidad que aumenta o disminuye depende de la cantidad que quedaba antes.

Por ejemplo, es posible definir que una proporción exponencial varíe de un día a otro con la mitad de lo que había al día anterior. Si el lunes tenía 16 gramos de una sustancia que varía de esa forma, entonces el martes habrá la mitad, es decir, 8 gr., el miércoles habrá la mitad de lo que quedaba el martes, es decir, 4 gr., el jueves habrá 2 gr., el viernes 1 gr., y así sucesivamente. Las poblaciones de algunas especies tienen un crecimiento exponencial también (Dentro de ciertos límites).

Como puedes ver, las razones y proporciones aparecen en muchas áreas distintas, además de que hay otras formas de variación entre dos cantidades que hemos dejado sin estudiar.

VER TODOAdd a note
Añadir tu comentario
A+
X