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Razones y Proporciones

Aprenderás a resolver problemas de proporción directa y de proporción inversa.

En la vida real surgen muchas ocasiones en las que deseamos comparar dos cantidades. Para compararlas tenemos muchas opciones válidas, pero la que nos provee de información más rápidamente es la razón, que está relacionada con la proporción.


Razón

Considere los números a y b. La razón de ellos es el cociente obtenido al dividirlos:

    \begin{equation*} \displaystyle\frac{a}{b} \end{equation*}

En otras palabras, la razón de dos números es igual al cociente entre ellos.


Las razones se definen a partir de la división y se explican con fracciones porque en realidad una fracción nos indica una razón. Por eso tenemos las fracciones equivalentes.




Ejemplo 1

Las fracciones \displaystyle\frac{2}{7} y \displaystyle\frac{10}{35} son equivalentes. Muestra utilizando la definición de proporción que es así.

De acuerdo a la definición, la fracción \displaystyle\frac{2}{7} indica la proporción de los números 2 y 7.
Esto significa que en el numerador hay 2 por cada 7 que hay en el denominador de la fracción.
Si agrego 2 en el numerador, para seguir teniendo la misma proporción, debo agregar siete en el denominador.

    \begin{equation*} 	\frac{2}{7} = \frac{2+2}{7+7} = \frac{4}{14} \end{equation*}

Hay una propiedad de los números reales: piensa en cualquier número a. Si lo multiplicas por 1, el resultado es el número a que pensaste. Con base en esto, si multiplicamos tanto el numerador como el denominador por 2, es como si lo multiplicáramos por 1 y el resultado será una fracción equivalente a la inicial:

    \begin{equation*} 	\frac{2}{7} = \frac{4}{14} = \frac{(2)(2)}{(7)(2)} \end{equation*}

Igual, en lugar de multiplicar por 2 en el numerador y en el denominador, podemos multiplicar por cualquier otro número distinto de cero y obtenemos una fracción equivalente.
Si multiplicamos por 5 en el numerador y en el denominador, obtenemos:

    \begin{equation*} 	\frac{2}{7} = \frac{(2)(5)}{(7)(5)} = \frac{10}{35} \end{equation*}

Esto nos indica que ambas fracciones están en la misma proporción, es decir, son equivalentes.


Ejemplo 2

En las pasadas elecciones de un pueblo el candidato A obtuvo 4,875 votos a su favor, mientras que el candidato B obtuvo 1,625. ¿En qué proporción están sus respectivas votaciones?

Por definición, debemos dividir el número de votos que obtuvo el candidato A entre el número de votos que obtuvo el candidato B.

    \begin{equation*} 	\frac{\mbox{Votos del candidato A}}{\mbox{Votos del candidato B}} =\frac{4\,875}{1\,625} = 3 \end{equation*}

Este resultado nos indica que el candidato A obtuvo 3 votos por cada voto que obtuvo el candidato B.
Esta misma información obtenemos si encontramos la razón de los votos del candidato B con respecto al candidato A:

    \begin{equation*} \displaystyle\frac{\mbox{Votos del candidato B}}{\mbox{Votos del candidato A}} = \frac{1\,625}{4\,875} = \frac{1}{3} \end{equation*}

La fracción 1/3 nos dice que por cada voto que obtuvo del candidato B, el candidato A obtuvo 3.


En este ejemplo se conocían dos datos y éstos no se pueden cambiar. En algunos casos tenemos más información y la proporción nos puede ayudar a calcular un dato desconocido. Para esto, tenemos que saber que hay varios tipos de proporción.


Proporción

Es una igualdad entre dos razones. Por ejemplo,

    \begin{equation*}    \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \end{equation*}

Esta misma proporción también podemos escribirla como: a:b :: c:d.



Proporción directa

Cuando dos cantidades están relacionadas de tal forma que cuando una cantidad crece la otra también crece el mismo número de veces, entonces tenemos una proporción directa.


Ejemplo 3

Un paquete con 600 ml de refresco cuesta $5.00 pesos. ¿Cuánto cuesta un litro de ese refresco?

Sabemos que 600 ml de refresco cuestan $5.00 pesos.

La sexta parte de 600 ml debe costar la sexta parte de $5.00 pesos.

Es decir, 100 ml de ese refresco deben costar $5.00/6 pesos.

Un litro de refresco equivalen a 1,000 ml, y 1,000 ml equivalen a 10 veces 100 ml.

Entonces, 1 litro de ese refresco debe costar 10 veces más que lo que cuestan 100 ml.

Esto es, 1 litro de ese refresco cuesta: (10)\cdot (5/6) = 50 / 6 = $8.33 pesos.


Ejemplo 4

Un vendedor de Hot Dogs puede preparar 20 Hot Dogs en 30 minutos. ¿Cuántos puede preparar en 45 minutos?

Nosotros sabemos que puede preparar \textcolor{red}{20} hot dogs en \textcolor{red}{30} minutos.

Entonces puede preparar el doble de hot dogs en el doble de tiempo. Y debe preparar la mitad de hot dogs en la mitad del tiempo.

Eso significa que puede preparar \textcolor{blue}{10} hot dogs en la mitad de 30 minutos, es decir, en \textcolor{blue}{15} minutos.
Entonces, si sumamos lo que puede preparar en 30 minutos con lo que puede preparar en 15 minutos, obtenemos lo que puede preparar en 45 minutos.
En conclusión, puede preparar \textcolor{red}{20}+\textcolor{blue}{10}=30 hot dogs en 45 minutos.


Ejemplo 5

En un asilo se consumen 14 kg de harina por semana (7 días). ¿Cuántos kilogramos de harina se consumen en 30 días?

En la séptima parte del tiempo se consume la séptima parte de kilogramos de harina.

Esto significa que en un día se consumen 2 kilogramos de harina.

En 30 días se consumen 30 veces más de harina que lo que se consume en un día,

Esto indica que en 30 días se consumen (2)(30)=60 kilogramos de harina.


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