Razón de cambio

En esta lección empezamos con el estudio del concepto más importante de este curso. La derivada, la cual vamos a definir más adelante, es una herramienta poderosísima que ayuda a ingenieros, científicos, biólogos, sociologos, etc., a resolver problemas diversos en los que se involucran razones de cambio.

Al inicio de este curso estudiamos de una manera intuitiva la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo, es decir, la velocidad promedio de una piedra que fue lanzada y de la cual conocemos la ecuación de su movimiento. Entonces, utilizamos la definición básica de velocidad promedio como el cociente de la distancia recorrida dividida entre el tiempo que le tomó al objeto recorrerla:

$\begin{equation*} \bar{v} = \displaystyle\frac{y(t_f) - y(t_i)}{t_f - t_i} = \frac{\Delta y}{\Delta t} = \frac{d}{t} \end{equation*}$

En la gráfica, la velocidad promedio puede calcularse a partir de los puntos $B$ y $C$ , y es igual a la pendiente de la recta que pasa por esos dos puntos, como se puede ver de la fórmula anterior y de la gráfica.

Entonces, cuando el punto $C$ se acerca mucho al punto $B$ , $\Delta t$ tiende a cero. La gráfica de la recta secante se va transformando, cambiando su pendiente, como se muestra en la siguiente gráfica:

Conforme $C$ se acerca al punto $B$ , la pendiente de la recta tangente se aproxima cada vez más a la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto $B$ . La tangente a la curva en un punto corresponde a la velocidad instantánea de la piedra en ese valor de $t$ : en este caso, la pendiente de la recta tangente a la curva es $m = 4.915$ , que corresponde a la velocidad de la piedra en ese preciso instante. Observa que en realidad estamos calculando:

$\begin{equation*} \lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta t}} \end{equation*}$

que viene siendo la velocidad promedio de la piedra cuando el intervalo de tiempo considerado $\Delta t$ se hace muy pequeño, es decir, la velocidad de la piedra para un instante de tiempo. En otras palabras, la velocidad instantánea.

Si consideramos una inversión donde el interés compuesto se aplica anualmente, podemos calcular la tasa de interés mensual, dividiendo la tasa mensual entre 12, igualmente podemos calcularla diaria, dividiendo entre 365, y así sucesivamente hasta calcular la tasa de interés instantánea, haciendo que el número de periodos durante el año tienda a infinito. En este caso, la tasa de crecimiento será el número $e \approx 2.71828182845904523536$ .

Contenido

1 Ejemplo 1
2 Ejemplo 2
3 Ejemplo 3
4 Ejemplo 4
5 Ejemplo 5
6 Ejemplo 6
7 Regla de los cuatro pasos

Ejemplo 1

Calcula el monto al final de un año al invertir un peso con una tasa anual del 100% considerando la aplicación del interés en cada año, cada mes, cada día, cada hora, cada minuto, cada segundo y cada centésima de segundo.

Cuando el interés se aplica solamente al final del año obtenemos:

$\begin{equation*} M = (1 + 1)^1 = 2 \end{equation*}$

Si el interés se aplica mensualmente obtenemos:

$\begin{equation*} M = \left(1 + \frac{1}{12}\right)^{12} = 2.6130352902246781603 \end{equation*}$

Si el interés se aplica diariamente obtenemos:

$\begin{equation*} M = \left(1 + \frac{1}{365}\right)^{365} = 2.7145674820218743032 \end{equation*}$

Si el interés se aplica cada hora obtenemos:

$\begin{equation*} M = \left(1 + \frac{1}{(365)(24)}\right)^{(365)(24)} = 2.7181266916204521189 \end{equation*}$

Si el interés se aplica cada minuto obtenemos:

$\begin{equation*} M = \left(1 + \frac{1}{(365)(24)(60)}\right)^{(365)(24)(60)} = 2.7182792425790150990 \end{equation*}$

Si el interés se aplica cada segundo obtenemos:

$\begin{equation*} M = \left(1 + \frac{1}{(365)(24)(60)(60)}\right)^{(365)(24)(60)(60)} = 2.7182817784689974 \end{equation*}$

Y si el interés se aplica cada centésima de segundo obtenemos:

$\begin{equation*} M = \left(1 + \frac{1}{(365)(24)(60)(60)(100)}\right)^{(365)(24)(60)(60)(100)} = 2.7182818479376385 \end{equation*}$

Si seguimos disminuyendo el tamaño del tiempo entre los cuales se aplican los intereses hasta obtener la tasa de crecimiento instantánea del dinero. Esa tasa es un número constante que se denomina con la letra $e$ y es un número irracional, aproximadamente igual a 2.71828182845904523536. En otras palabras, la tasa de crecimiento instantánea de un monto de $1.00 peso con una tasa promedio anual de 100% es de 271.8282% aproximadamente.

La función exponencial es muy impotante en matemáticas, ingeniería, administración, economía, ciencias sociales, etc., porque muchas cantidades crecen de acuerdo a la constante $e$ . Observa de este último ejemplo que al igual que en el caso de la piedra, cuando consideramos intervalos más pequeños, la tasa instantánea de cambio crece, en este caso del 100% al 271.83% aproximadamente.

Ejemplo 2

En un pueblo el primer día se recolectó 1 kg de basura. El segundo día se recolectó 2 kg. El tercer día se recolectaron 3 kg de basura, y así sucesivamente. El $k$ -ésimo día se recolectaron $k$ kilogramos de basura. ¿Cuál es la razón de crecimiento promedio e instantánea de la cantidad de basura que han acumulado?

Nos están pidiendo la razón de crecimiento de la cantidad de basura que se ha acumulado desde el primer día. En otras palabras, nos piden que sumemos:

$\begin{equation*} S = 1 + 2 + 3 + \cdots + k \end{equation*}$

Esta suma se calcula muy fácilmente si consideramos que la suma tiene la propiedad conmutativa:

$\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{ccccccccccc} S &=& 1 &+& 2 &+& 3 &+& \cdots &+& k \\ S &=& k &+& k-1 &+& k-2 &+& \cdots &+& 1 \\\hline 2\,s &=& (k+1) &+& (k+1) &+& (k+1) &+& \cdots &+& (k+1) \end{array}$

En la suma se repite el sumando $k+1$ un total de $k$ veces, por eso:

$\begin{equation*} 2\,S = k\cdot(k+1) \end{equation*}$

Y la cantidad de kilogramos de basura acumulada en ese pueblo es de:

$\begin{equation*} S = \frac{k\cdot(k+1)}{2} \end{equation*}$

Ahora podemos estudiar su razón de cambio. Entonces, la razón de cambio es:

$\begin{eqnarray*} \Delta \bar{S} &=& \mbox{kg acumulados al d\'ia }k - \mbox{kg acumulados al d\'ia }k-1\\ \Delta \bar{S} &=& \frac{k\cdot(k+1)}{2} - \frac{(k-1)\cdot k}{2}\\ &=& \frac{k\cdot\left[k + 1 - (k - 1)\right]}{2}\\ &=& \frac{k\cdot\left[2\right]}{2}\\ &=& k \end{eqnarray*}$

Esto tiene sentido, pues en el día $k$ -ésimo agregamos $k$ kilogramos de basura al acumulado. Ahora calcularemos la razón de crecimiento instantánea. Consideramos un incremento $\Delta t$ de tiempo,

$\begin{eqnarray*} \frac{\Delta S}{\Delta t} &=& \frac{S(k + \Delta t) - S(k)}{\Delta t} \\ &=& \frac{(k + \Delta t)\cdot(k + \Delta t + 1)}{2\,\Delta t} - \frac{k\cdot(k+1)}{2}\\ &=& \frac{k^2 + k\,\Delta t + k + k\,\Delta t + (\Delta t)^2 + \Delta t - k^2 - k}{2\,\Delta t}\\ &=& \frac{2\,k\,\Delta t + (\Delta t)^2 + \Delta t}{2\,\Delta t}\\ &=& k + \Delta t \end{eqnarray*}$

Cuando $\Delta t$ tiende a cero, obtenemos la razón de cambia instantánea, que en este caso es: $k$ .

Ejemplo 3

Calcula la razón de cambio instantánea de la siguiente función:

$\begin{equation*} y = x^3 \end{equation*}$

cuando $x = 2$ .

En otras palabras, deseamos calcular la velocidad instantánea de un objeto que se mueve con posición $x^3$ en el tiempo $x$ . Vamos a calcular el resultado en pasos.

Primer paso: Damos un incremento a $x$ para ver cómo crece $y$ :

$\begin{equation*} y + \Delta y = (x + \Delta x)^3 = x^3 + 3\,x^2\Delta x + 3\,x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 \end{equation*}$

Segundo paso: Para calcular $\Delta y$ le restamos $y$ al valor que acabamos de obtener:

$\begin{eqnarray*} y + \Delta y - \textcolor{red}{y} &=& x^3 + 3\,x^2\Delta x + 3\,x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 - \textcolor{red}{x^3}\\ \Delta y &=& 3\,x^2\Delta x + 3\,x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 \end{eqnarray*}$

Tercer paso: Ahora vamos a dividir entre $\Delta x$ para obtener la razón de cambio promedio:

$\begin{equation*} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{3\,x^2\Delta x + 3\,x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3}{\Delta x} = 3\,x^2 + 3\,x(\Delta x) + (\Delta x)^2 \end{equation*}$

Cuarto Paso: finalmente, calculamos el límite de ese cociente cuando $\Delta x$ tiende a cero, para obtener la razón de cambio instantánea:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)} &=& \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(3\,x^2 + 3\,x(\Delta x) + (\Delta x)^2\right)}\\ &=& \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(3\,x^2\right)} + 3\,\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(x(\Delta x)\right)} + \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left((\Delta x)^2\right)}\\ &=& 3\,x^2 + 0 + 0^2\\ &=& 3\,x^2 \end{eqnarray*}$

Entonces, la razón de crecimiento promedio es:

$\begin{equation*} \frac{\Delta y}{\Delta x} = 3\,x^2 + 3\,x(\Delta x) + (\Delta x)^2 \end{equation*}$

Y la razón decrecimiento instantánea es:

$\begin{equation*} \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)} = 3\,x^2 \end{equation*}$

Cuando $x = 2$ , obtenemos:

$\begin{equation*} \left.\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)}\right\vert_{x=2} = 3\cdot(2)^2 = 12 \end{equation*}$

Ejemplo 4

Un tren se mueve con una velocidad $v$ (medida en metros por segundo) que es igual a la raíz cuadrada del tiempo en minutos que lleva en movimiento, es decir,

$\begin{equation*} v = \sqrt{t} \end{equation*}$

Calcula la velocidad instantánea del tren a los 4 minutos de iniciar su viaje.

Sabemos que la velocidad es igual a la raíz cuadrada del tiempo. Así que vamos a aplicar los cuatro pasos para calcular la velocidad instantánea a los 4 minutos.

Paso 1: Damos un incremento a $t$ para calcular $v + \Delta v$ :

$\begin{equation*} v + \Delta v = \sqrt{t + \Delta t} \end{equation*}$

Paso 2: Restamos la función original para obtener $\Delta v$ :

$\begin{eqnarray*} v + \Delta v - \textcolor{red}{v} &=& \sqrt{t + \Delta t} - \textcolor{red}{\sqrt{t}}\\ \Delta v &=& \sqrt{t + \Delta t} - \textcolor{red}{\sqrt{t}} \end{eqnarray*}$

Paso 3: Dividimos entre $\Delta t$ para calcular la velocidad promedio:

$\begin{equation*} \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{\sqrt{t + \Delta t} - \textcolor{red}{\sqrt{t}}}{\Delta t} \end{equation*}$

Si calculamos el límite de este cociente obtendremos cero sobre cero. Así que vamos a racionalizar la fracción. Para eso, multiplicaremos tanto en el numerador como en el denominador por $\sqrt{t + \Delta t} + \sqrt{t}$ :

$\begin{eqnarray*} \frac{\Delta v}{\Delta t} &=& \frac{\sqrt{t + \Delta t} - \sqrt{t}}{\Delta t}\cdot\frac{\sqrt{t + \Delta t} + \sqrt{t}}{\sqrt{t + \Delta t} + \sqrt{t}}\\ &=& \frac{t + \Delta t - t}{\left(\Delta t\right)\left(\sqrt{t + \Delta t} + \sqrt{t}\right)}\\ &=& \frac{1}{\sqrt{t + \Delta t} + \sqrt{t}} \end{eqnarray*}$

Ahora sí podemos continuar con el cuarto paso.

Paso 4: Calculamos el límite cuando $\Delta t$ tiende a cero para obtener la velocidad instantánea:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}{\left(\frac{\Delta v}{\Delta t}\right)} &=& \lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}{\left(\frac{1}{\sqrt{t + \Delta t} + \sqrt{t}}\right)}\\ &=& \frac{1}{\sqrt{t + 0} + \sqrt{t}}\\ &=& \frac{1}{2\,\sqrt{t}} \end{eqnarray*}$

Después de 4 minutos de haber iniciado su viaje su velocidad instantánea es:

$\begin{eqnarray*} \left. \lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}{\left(\frac{\Delta v}{\Delta t}\right)} \right\vert_{t=4} = \left. \frac{1}{2\,\sqrt{t}} \right\vert_{t=4} = \frac{1}{2\,\sqrt{4}} = \frac{1}{2\cdot(2)} = \frac{1}{4} = 0.25 \mbox{ m/s.} \end{eqnarray*}$

Entonces, el tren lleva una velocidad de 25 centímetros por segundo 4 minutos después de haber arrancado.

Ejemplo 5

Un globo se está inflando con una bomba que le inyecta aire. Considerando que el globo tiene una forma esférica, ¿cómo crece el volumen del globo cuando su radio es de 3 cm?

Ya sabemos que el volumen de una esfera puede calcularse con la fórmula:

$\begin{equation*} V = \frac{4}{3}\,\pi r^3 \end{equation*}$

Necesitamos calcular cómo crece el volumen con respecto al radio. Para eso vamos a seguir la regla de los cuatro pasos.

Paso 1: Damos un incremento al radio para ver cómo crece el volumen:

$\begin{eqnarray*} V + \Delta V &=& \frac{4}{3}\,\pi (r + \Delta r)^3\\ &=& \frac{4}{3}\,\pi \left[r^3 + 3\,r^2(\Delta r) + 3\,r(\Delta r)^2 + (\Delta r)^3\right] \end{eqnarray*}$

Paso 2: Restamos el volumen inicial del globo para obtener el incremento en el volumen del mismo:

$\begin{eqnarray*} V + \Delta V - \textcolor{red}{V} &=& \frac{4}{3}\,\pi \left[r^3 + 3\,r^2(\Delta r) + 3\,r(\Delta r)^2 + (\Delta r)^3\right] - \textcolor{red}{\frac{4}{3}\,\pi r^3}\\ \Delta V &=& \frac{4}{3}\,\pi \left[3\,r^2(\Delta r) + 3\,r(\Delta r)^2 + (\Delta r)^3\right] \end{eqnarray*}$

Paso 3: Dividimos entre $\Delta r$ para conocer la razón de crecimiento del volumen promedio con respecto al radio:

$\begin{eqnarray*} \frac{\Delta V}{\Delta r} &=& \frac{4}{3}\,\pi\cdot\left(\frac{3\,r^2(\Delta r) + 3\,r(\Delta r)^2 + (\Delta r)^3}{\Delta r}\right)\\ &=& \frac{4}{3}\,\pi\cdot\left[3\,r^2 + 3\,r(\Delta r) + (\Delta r)^2\right] \end{eqnarray*}$

Paso 4: Ahora calculamos el límite cuando $\Delta r$ tiende a cero para conocer la razón de cambio instantánea del volumen:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{\Delta r\rightarrow 0}{\left(\frac{\Delta V}{\Delta r}\right)} &=& \lim\limits_{\Delta r\rightarrow 0}{\left(\frac{4}{3}\,\pi\left[3\,r^2 + 3\,r(\Delta r) + (\Delta r)^2\right]\right)}\\ &=& \frac{4}{3}\,\pi\,\lim\limits_{\Delta r\rightarrow 0}{\left(3\,r^2 + 3\,r(\Delta r) + (\Delta r)^2\right)}\\ &=& \frac{4}{3}\,\pi\,\left(3\,r^2 + 3\,r(0) + (0)^2\right)\\ &=& \frac{4}{3}\,\pi\,(3\,r^2)\\ &=& 4\pi r^2 \end{eqnarray*}$

Y cuando el radio del globo es de 3 cm, tenemos que la razón de crecimiento instantánea del volumen es de:

$\begin{equation*} \left. \lim\limits_{\Delta r\rightarrow 0}{\left(\frac{\Delta V}{\Delta r}\right)} \right\vert_{r=3} = \left. \left(4\pi r^2\right) \right\vert_{r=3} = 4\pi (3)^2 = 36\,\pi \end{equation*}$

En palabras, el volumen del globo crece 36 cm $^3$ por cada centímetro que crece el radio del globo cuando éste es de 3 cm.

Ejemplo 6

Un pueblo con 50 personas de población tiene un almacén de agua potable de 120,000 litros. Se espera que no llueva sino hasta dentro de 4 meses. Si cada persona utiliza 80 litros de agua potable diariamente para sus necesidades básicas (lavar ropa, trastos, bañarse, etc.) pero el sistema de tuberías que usan se daña con el tiempo y eso ocasiona fugas de agua potable, además de la que se evapora al ambiente de manera natural. Ellos han calculado que el volumen de agua que se descarga del almacén diariamente se puede calcular con la fórmula:

$\begin{equation*} V = 4\,000 t + 0.05\,t^2 \end{equation*}$

donde $V$ es el número de litros de agua y $t$ es el tiempo medido en días. ¿A qué rapidez disminuye el volumen de agua a los 25 días?

Debemos calcular la razón de decrecimiento instantánea para $t = 25$ .Aplicaremos los cuatro pasos.

Paso 1: Calculamos $V + \Delta V$ dando un incremento a $t$ :

$\begin{eqnarray*} V + \Delta V &=& 4\,000 (t + \Delta t) + 0.05\,(t + \Delta t)^2\\ &=& 4\,000\,t + 4\,000\,(\Delta t) + 0.05\,t^2 + 0.1\,t(\Delta t) + 0.05\,(\Delta t)^2 \end{eqnarray*}$

Paso 2: Restamos $V$ para obtener solamente el decremento en el volumen:

$\begin{eqnarray*} V + \Delta V - \textcolor{red}{V} &=& 4\,000\,t + 4\,000\,(\Delta t) + 0.05\,t^2 + 0.1\,t(\Delta t) + 0.05\,(\Delta t)^2\\ && -\left[\textcolor{red}{4\,000 t + 0.05\,t^2}\right]\\ \Delta V &=& 4\,000\,(\Delta t) + 0.1\,t(\Delta t) + 0.05\,(\Delta t)^2 \end{eqnarray*}$

Paso 3: Ahora vamos a dividir entre $\Delta t$ para conocer la razón de decrecimiento promedio:

$\begin{eqnarray*} \frac{\Delta V}{\Delta t} &=& \frac{4\,000\,(\Delta t) + 0.1\,t(\Delta t) + 0.05\,(\Delta t)^2}{\Delta t}\\ &=& 4\,000 + 0.1\,t + 0.05\,(\Delta t) \end{eqnarray*}$

Paso 4: Finalmente calculamos el límite cuando $\Delta t$ tiende a cero para obtener la razón de decrecimiento instantánea:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}{\left(\frac{\Delta V}{\Delta t}\right)} &=& \lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}{\left(4\,000 + 0.1\,t + 0.05\,(\Delta t)\right)}\\ &=& 4\,000 + 0.1\,t + 0.05\,(0)\\ &=& 4\,000 + 0.1\,t \end{eqnarray*}$

Entonces, cuando $t = 25$ , obtenemos:

$\begin{equation*} \left. \lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}{\left(\frac{\Delta V}{\Delta t}\right)} \right\vert_{t=25} = \left. \left(4\,000 + 0.1\,t\right) \right\vert_{t=25} = 4\,000 + 0.1\,(25) = 4\,000 + 2.5 = 4\,002.5 \end{equation*}$

En palabras, el día 25 utilizan 4,002.5 litros de agua por día.

En esta sección hemos utilizado mucho la regla de los cuatro pasos para calcular la razón de variación instantánea de distintas cantidades, que es una buena idea definirla.

Regla de los cuatro pasos

La regla de los cuatro pasos nos ayuda a calcular la razón de variación instantánea de $y$ con respecto a $x$ para la función $y = f(x)$ es la siguiente:
Paso 1: Dar un incremento a $x$ y calcular $y + \Delta y$ .
Paso 2: Restar $y$ a $y + \Delta y$ para calcular el incremento $\Delta y$ .
Paso 3: Dividir $\Delta y$ entre $\Delta x$ para obtener la razón de variación promedio.
Paso 4: Calcular el límite del cociente obtenido en el paso anterior para obtener la razón de variación instantánea de $y$ con respecto a $x$ .

Matemáticamente,

Paso 1: $y + \Delta y = f(x + \Delta x)$ .
Paso 2: $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$ .
Paso 3: $\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$ .
Paso 4: $\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}{\left(\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)} = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}{\left(\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\right)}$ .

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Aprenderás el significado de la razón de cambio promedio e instantánea.