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Puntos de inflexión

Aprenderás a calcular los puntos de inflexión de la gráfica de una función.

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En esta sección vamos a resolver algunos problemas donde se requiere el cálculo de los puntos de inflexión de una función.


Ejemplo

Calcula los puntos de inflexión de la función:

    \begin{equation*}    y = x^3 - x \end{equation*}

Por definición, los puntos de inflexión están donde la segunda derivada se hace cero:

    \begin{equation*} \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 6\,x \end{equation*}

Y 6\,x = 0 solo si x = 0. Entonces, esta función tiene solamente un punto de inflexión. Enseguida se muestra su gráfica.

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En palabras, esto nos dice que la primera derivada de la función deja de decrecer en x = 0 y empieza a crecer.


Podemos mostrar una aplicación de este problema en un problema de ecología. Por ejemplo, los biólogos están interesados en cómo crece la población de una especie en peligro de extinción.


Ejemplo

Se ha determinado que la población p de un animal en peligro de extinción está dado por:

    \begin{equation*}    p(t) = 0.125\,t^3 - 0.025\,t^2 - 0.1\,t + 5 \end{equation*}

donde t está medido en meses y p(t) es individuos. ¿En qué momento la razón de cambio instantánea de la población deja de decrecer y empieza a crecer?

Este problema es esencialmente igual al ejemplo anterior. Debemos determinar los puntos de inflexión de la función. Para ese fin, calculamos su segunda derivada y la igualamos a cero y resolvemos para t:

    \begin{eqnarray*}    \frac{d^2p}{dt^2} = 0.75\,t - 0.05 = 0\qquad&\Rightarrow&\qquad t = \frac{0.05}{0.75} = 0.06667 \end{eqnarray*}

Entonces, la velocidad razón de cambio instantánea de la población empieza a crecer a partir de t \approx 0.067 meses. Esto es equivalente a decir que crece a partir de terminar el segundo día.



Ejemplo

Una partícula se mueve sobre el eje x de manera que su posición en el instante t está dada por:

    \begin{equation*}    x(t) = t^4 - t^2 + 1 \end{equation*}

donde x está medido en centímetros y t está medido en segundos. Calcula el instante en que su aceleración cambia de signo.

El problema pide que calculemos el instante en que la aceleración de la partícula cambia de signo. Es decir, debemos calcular el instante en que deja de desacelerarse y empieza a acelerar y viceversa. En otras palabras, debemos calcular los puntos de inflexión de la función.

    \begin{eqnarray*}    \frac{d^2x}{dt^2} = 12\,t^2 - 2 = 0 \qquad&\Rightarrow&\qquad     t = \pm\frac{1}{\sqrt{6}} \approx \pm 0.4082 \end{eqnarray*}

Dado que la función es polinomial es contínua para todo el conjunto de los números reales. Dado que es par, y el coeficiente principal es positivo, la función tiende a \infty cuando t tiende a \infty y también cuando tiende a -\infty. Entonces, cuando t es negativo y grande, la función es decreciente. Su primera derivada en ese intervalo es creciente. Llega al punto t \approx -0.4082 y la primera derivada se hace decreciente. Cuando t = 0.4082, la primera derivada de nuevo empieza a crecer.

La gráfica de la función se encuentra enseguida:

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Ejemplo

La población de una especie de rata que vive en los mercados se calcula con la siguiente fórmula:

    \begin{equation*}    P(t) = \frac{840\,000}{700 + 500\cdot e^{-1.02(t-5)}} \end{equation*}

donde la población inicial es de 700 ratas (t = 0), y t es el tiempo medido en días. Calcula el punto de inflexión de esta función y da su interpretación de acuerdo al contexto.

Primero calculamos las primeras dos derivadas de la función:

    \begin{equation*}    \frac{dP}{dt} = \frac{840\,000\cdot(1.02\,e^{-1.02(t-5)})}{\left(700 + 500\,e^{-1.02(t-5)}\right)^2} \end{equation*}

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Ahora la segunda derivada:

    \begin{equation*}    \frac{d^2P}{dt^2} = \frac{43696.8\cdot\left[5\cdot e^{-2.04(t-5)} - 7\cdot e^{-1.02(t-5)}\right]}{\left(7 + 5\cdot e^{-1.02(t-5)}\right)^3} \end{equation*}

Ahora debemos igualar a cero la segunda derivada y resolver para t:

    \begin{eqnarray*}    43696.8\cdot\left[5\cdot e^{-2.04(t-5)} - 7\cdot e^{-1.02(t-5)}\right] &=& 0\qquad\Rightarrow\\    5\cdot e^{-2.04(t-5)} - 7\cdot e^{-1.02(t-5)} &=& 0\\    5\cdot e^{-2.04(t-5)} &=& 7\cdot e^{-1.02(t-5)} \end{eqnarray*}

Ahora vamos a despejar t:

    \begin{eqnarray*}    \frac{e^{-2.04(t-5)}}{e^{-2.04(t-5)}} &=& \frac{7}{5}\\    e^{-1.02(t-5)} &=& \frac{7}{5}\\    -1.02(t-5) &=& \ln\left(\frac{7}{5}\right)\\    t &=& 5 - \frac{\ln(7/5)}{1.02} \approx 4.6701%25258 \end{eqnarray*}

Es decir, después de 4.67 días, la velocidad instantánea del crecimiento de la población empieza a decrecer. Esto nos indica que la población sigue creciendo, pero cada vez en menor proporción. Las causas de esto pueden ser límite de espacio, de comida, agua, etc. La gráfica de la función nos muestra estos resultados:

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El punto donde la población crece con mayor rapidez es t \approx 4.6701, que es donde está el punto de inflexión. Porque la pendiente de la recta tangente en ese punto es máxima cuando la segunda derivada es cero. Es decir, en el punto de inflexión, la primera derivada tiene un máximo.


El siguiente ejemplo está relacionado con la siguiente lección.


Ejemplo

Calcula todos los puntos críticos y de inflexión de la siguiente función:

    \begin{equation*}    y = x^4 + 4\,x^3 - 7\,x^2 - 22\,x + 24 % y = (x+2)(x-1)(x+3)(x-4) \end{equation*}

Empezamos calculando la primera derivada:

    \begin{equation*}    \frac{dy}{dx} = 4\,x^3 + 12\,x^2 - 14\,x - 22 \end{equation*}

Para calcular todos los puntos críticos, debemos igualar a cero y resolver. Observa que si sustituimos x = -1 obtenemos cero:

    \begin{equation*}    \left.\frac{dy}{dx}\right\vert_{x=-1} = 4\,(-1)^3 + 12\,(-1)^2 - 14\,(-1) - 22 = 0 \end{equation*}

Esto significa que x = -1 es una raíz del polinomio. Podemos dividir entre x+1 la primera derivada y obtenemos una forma factorizada:

    \begin{equation*}    \frac{dy}{dx} = (x + 1)(4\,x^2 + 8\,x - 22) \end{equation*}

Usando la fórmula general podemos calcular los otros dos puntos críticos de la función:

    \begin{equation*}    x_2 = -1 + \frac{\sqrt{26}}{2}\qquad\qquad x_3 = -1 - \frac{\sqrt{26}}{2} \end{equation*}

Ahora calculamos la segunda derivada de la función:

    \begin{equation*}    \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 12\,x^2 - 24\,x - 14 \end{equation*}

Calculamos los puntos de inflexión de la función igualando a cero la segunda derivada y resolviendo para x:

    \begin{eqnarray*} x &=& \frac{-(24) \pm\sqrt{(24)^2 - 4\,(12)(-14)}}{2\,(12)}\\  &=& \frac{-24\pm\sqrt{576 - (-672)}}{24}\\  &=& \frac{-24\pm\sqrt{1\,248}}{24}  \end{eqnarray*}

Lo cual puede simplificarse para obtener los puntos de inflexión:

    \begin{equation*}    x_a = -1 + \frac{\sqrt{78}}{6} \qquad\qquad x_b = -1 - \frac{\sqrt{78}}{6}  \end{equation*}


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