Propiedades de los límites

Empezamos esta sección dando la definición de límite.

Contenido

1 Límite
2 Ejemplo 1
3 Ejemplo 2
4 Ejemplo 3
5 Ejemplo 4
6 Ejemplo 5
7 Propiedades de los límites

Límite

Sea $y=f(x)$ una función. Si podemos formar la sucesión $x_1, x_2, \cdots, x_n$ de valores de la variable $x$ tales que cada uno de los términos de esa sucesión estén en el dominio de la función, y acercándose a un valor fijo $x=a$ , y podemos siempre calcular $y_i = f(x_i)$ para toda $x_i$ que se encuentre en la sucesión, excepto, posiblemente en $x_m = a$ , entonces decimos que el límite de $f(x)$ cuando $x$ se aproxima al número $a$ es igual a $A$ , y matemáticamente lo denotamos por:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow a}{f(x)} = A \end{equation*}$

Observa que no se requiere que $f(x)$ esté definida para $x=a$ .

Ejemplo 1

Calcula el límite al cual se aproxima la función $y = x^2$ cuando $x$ se aproxima a $2$ .

Necesitamos calcular a qué valor se aproximará $x^2$ cuando $x$ se acerca mucho a 2. Empezamos con una tabla:

$\begin{array}{c|D..{1.2}|D..{1.4}|D..{1.6}|D..{1.6}|D..{1.4}|D..{1.2}|}\hline x & 1.9 & 1.99 & 1.999 & 2.001 & 2.01 & 2.1\\ f(x) & 3.61 & 3.9601 & 3.996001 & 4.004001 & 4.0401 & 4.41\\\hline \end{array}$

Observa que conforme $x$ se acerca a 2, por debajo, es decir, dando los valores $1.9, 1.99, 1.999$ , los valores de $f(x)$ que obtenemos se van a cercando a 4, también por debajo.

Cuando decimos por debajo, queremos decir que cada uno de los valores de la sucesión son menores al valor al que tienden.

Cuando digamos por arriba, entonces, querrá decir que los valores de la sucesión son mayores al valor al cual tienden.

Cuando los valores de $x$ se acercan por arriba a 2, los valores de $f(x)$ se acercan a 4 también por arriba.

Geométricamente tenemos la siguiente situación:

Nos movemos sobre el eje $x$ empezando en $x=1.9$ (nos acercamos por la izquierda de $x = 2$ )
Evaluamos $f(1.9) = 3.61$ , que en la gráfica está indicado con el punto $A$
Después evaluamos $f(1.99) = 3.9601$ (punto $B$ )
Finalmente, $f(1.999) = 3.996001$
Después empezamos desde $x=2.1$ acercándonos a $x=2$ desde la derecha.
Evaluamos $f(2.1) = 4.41$ denotado por el punto $F$ en la gráfica.
Después evaluamos $f(2.1) = 4.0401$ (punto $E$ )
Finalmente evaluamos $f(2.01) = 4.004001$ .

Conforme nos acerquemos más a $x=2$ por la izquierda o por la derecha, la función (que es una máquina que transforma números) se acerca cada vez más a $y = 4$ .

El hecho de que los valores de $f(x) = x^2$ conforme $x$ se aproxima a $2$ se acerquen a 4 era de esperarse porque $2^2 = 4$ , y ya sabemos que la función $y = x^2$ es una función contínua, dado que es una función polinomial.

Entonces, cuando deseemos calcular el límite de una función polinomial, basta con que evaluemos la función al cual tiende y con eso encontraremos el resultado a nuestro problema.

Ejemplo 2

Calcula:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 2}{\left(x^3 - x + 1\right)} \end{equation*}$

Como la función $y = x^3 - x + 1$ es polinomial (y por ello continua en $\mathbb{R}$ ), basta con sustituir $x = 2$ y evaluar:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 2}{\left(x^3 - x + 1\right)} = 2^3 - 2 + 1 =7 \end{equation*}$

Se te queda como ejercicio graficar la función, y tabular valores de $x$ y los valores que toma la función cuando $x$ se acerca a 2 por la izquierda y por la derecha. Puedes utilizar los mismos que se utilizaron en la tabla anterior.

Sin embargo, no siempre vamos a requerir calcular límites de funciones polinomiales. Algunas veces vamos a necesitar calcular límites de funciones racionales.

Ejemplo 3

Calcula:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 5}{\left(\displaystyle\frac{x^2 - 25}{x-5}\right)} \end{equation*}$

En este caso, si sustituimos $x = 5$ en la función obtenemos:

$\begin{equation*} y = \frac{5^2 - 25}{5-5} = \frac{0}{0} \qquad\Rightarrow\qquad\mbox{no est\'a definido.} \end{equation*}$

Entonces vamos a necesitar transformar la expresión racional de manera que no obtengamos división por cero. Para eso vamos a factorizar el numerador.

Como en el númerador tenemos una diferencia cuadrados, la factorización nos da un producto conjugado:

$\begin{equation*} y = \frac{x^2 - 25}{x-5} = \frac{(x+5)(x-5)}{x-5} \end{equation*}$

Ahora podemos simplificar la expresión, para obtener:

$\begin{equation*} y = \frac{(x+5)(\cancel{x-5})}{(\cancel{x-5})} = x + 5 \end{equation*}$

Esta simplificación es válida siempre que $x \neq 5$ , porque en ese caso el denominador se hace cero.
Así que si suponemos que $x \neq 5$ , tenemos que:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 5}{\left(\displaystyle\frac{x^2 - 25}{x-5}\right)} = \lim\limits_{x\rightarrow 5}{(x+5)} \end{equation*}$

Observa que si $x$ se acerca mucho a 5, entonces $x + 5$ se va a acercar mucho al valor: $5 + 5 = 10$
Y es que $x + 5$ es una función polinomial que solamente requiere que sustituyamos $x = 5$ para obtener el resultado. Entonces,

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 5}{\left(\displaystyle\frac{x^2 - 25}{x-5}\right)} = \lim\limits_{x\rightarrow 5}{(x+5)} = 5 + 5 = 10 \end{equation*}$

Recuerda que en la función:

$\begin{equation*} y = \frac{x^2 - 25}{x-5} \end{equation*}$

$x$ no puede ser igual a 5. Pero la definición de límite nos dice que podemos siempre calcular $y_i = f(x_i)$ para toda $x_i$ que se encuentre en la sucesión que formemos, excepto, posiblemente en $x_m = a$ , que es como ocurre en este caso.

Se te queda como ejercicio elaborar una tabla y verificar que la función se acerca al mismo valor por la izquierda como por la derecha cuando $x$ se acerca mucho a $5$ . De hecho,

$\begin{equation*} y = \frac{x^2 - 25}{x - 5} = x + 5 \end{equation*}$

para cualquier valor de $x$ , excepto para $x = 5$ . Verifica esto graficando ambas funciones en un mismo sistema de coordenadas.

En matemáticas el lenguaje es muy importante. Cuando escribimos:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow x_0}{f(x)} = k \end{equation*}$

lo leemos: el límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $x_0$ es igual a $k$ . También podemos leerlo como: el límite cuando $f(x)$ se aproxima o se acerca a $x_0$ es igual a $k$ .

Ejemplo 4

Calcula:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 3}{\left(\frac{x^2 + 11}{x + 1}\right)} \end{equation*}$

Empezamos sustituyendo $x = 3$ en la función:

$\begin{equation*} f(3) = \frac{(3)^2 + 11}{3 + 1} = \frac{20}{4} = 5 \end{equation*}$

En este caso no tenemos división entre cero, así que la función nos ayuda a resolver el problema muy rápidamente. Esta función presenta una asíntota en $x = -1$ . Vamos a graficarla para valores de $x > 0$ , porque nos interesa conocer cómo se comporta cerca de $x = 3$ .

De la gráfica se hace evidente que, independientemente de que nos acerquemos a $x = 3$ por la izquierda o por la derecha, obtenemos en ambos casos el mismo resultado.

Ejemplo 5

Calcula:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 100}{\left(\frac{x - 100}{\sqrt{x} - 10}\right)} \end{equation*}$

Si sustituimos $x = 100$ en la función de nuevo obtenemos una indeterminación. Así que vamos a tener que simplificar de alguna manera. Para eso vamos a definir: $u = \sqrt{x}$ . Entonces, $u^2 = x$ , y $u$ debe acercarse a $\sqrt{100} = 10$ , porque $u = \sqrt{x}$ , y $x$ se acerca a 100. Esto nos permite escribir:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 100}{\left(\frac{x - 100}{\sqrt{x} - 10}\right)} = \lim\limits_{u\rightarrow10}{\left(\frac{u^2 - 100}{u - 10}\right)} \end{equation*}$

Ahora podemos factorizar el numerador, porque se trata de una diferencia de cuadrados:

$\begin{equation*} \lim\limits_{u\rightarrow10}{\left(\frac{u^2 - 100}{u - 10}\right)} = \lim\limits_{u\rightarrow10}{\left(\frac{(u + 10)(u - 10)}{u - 10}\right)} \end{equation*}$

Al simplificar obtenemos:

$\begin{equation*} \lim\limits_{u\rightarrow10}{\left(\frac{(u+10)(\cancel{u-10})}{\cancel{u-10}}\right)} = \lim\limits_{u\rightarrow10}{(u+10)} = \lim\limits_{x\rightarrow 100}{\sqrt{x} + 10} = \sqrt{100} + 10 = 20 \end{equation*}$

En realidad lo que hicimos fue:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\rightarrow 100}{\left(\frac{x - 100}{\sqrt{x} - 10}\right)} &=& \lim\limits_{x\rightarrow100}{\left(\frac{\left(\sqrt{x}\right)^2 - 100}{\sqrt{x} - 10}\right)}\\ &=& \lim\limits_{x\rightarrow100}{\left(\frac{\left(\sqrt{x} + 10\right)\left(\sqrt{x} - 10\right)}{\sqrt{x} - 10}\right)}\\ &=& \lim\limits_{x\rightarrow100}{\left(\sqrt{x} + 10\right)}\\ &=& \sqrt{100} + 10 = 20 \end{eqnarray*}$

El cambio de variable $u = \sqrt{x}$ es un truco que nos permitió simplificar la expresión. Este artificio matemático te será de gran ayuda en los ejercicios. Observa que:

$\begin{equation*} y = \frac{x - 100}{\sqrt{x} - 10} = \sqrt{x} + 10 \end{equation*}$

para cualquier valor de $x$ , excepto para $x = 100$ .

Los límites tienen algunas propiedades que nos ayudarán a resolver problemas de una manera más sencilla. Las siguientes propiedades de los límites son las más importantes.

Si $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x) = M$ , y $\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x) = N$ , se cumple:

(I) Si $f(x) = c$ , donde $c$ es una constante, entonces: $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} = c$ para cualquier $x_0$ .
(II) $\lim\limits_{x\rightarrow a}{k\cdot f(x)} = k \cdot \lim\limits_{x\rightarrow a}{f(x)} = k \cdot M$ .
(III) $\lim\limits_{x\rightarrow a}{\left[f(x) + g(x)\right]} = M + N$ .
(IV) $\lim\limits_{x\rightarrow a}{\left[f(x) \cdot g(x)\right]} = M \cdot N$ .
(V) $\lim\limits_{x\rightarrow a}{\left(\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\right)} = \frac{\lim\limits_{x\rightarrow a}{f(x)}}{\lim\limits_{x\rightarrow a}{g(x)}} = \frac{M}{N}$ , siempre que $N \neq 0$ .
(VI) $\lim\limits_{x\rightarrow a}{\sqrt[r]{f(x)}} = \sqrt[r]{M}$ , siempre que $\sqrt[r]{M}\in\mathbb{R}$ .