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Propiedades de la igualdad

Aprenderás las propiedades de la igualdad, las cuales nos permitirán justificar procedimientos matemáticos.

El álgebra es la rama de las matemáticas que se dedica al estudio de las propiedades de objetos matemáticos. Un objeto matemático puede ser un número, una ecuación, un vector, etc. Por ejemplo, para el álgebra de los números, tenemos un conjunto de objetos, en este caso, los números, y el álgebra lo que hará es buscar y encontrar todas las propiedades de ese conjunto de números.

La igualdad es una relación que se define entre números. Las tres propiedades más importantes de la igualdad se resumen en una estructura matemática que se conoce como relación de equivalencia.


Relación de equivalencia

La relación de equivalencia se define con las siguientes propiedades:

  • Reflexiva: a = a.
    Ejemplo: 5 = 5.
  • Simétrica: Si a=b, entonces, b=a.
    Ejemplo: Si x=2, entonces, 2=x.
  • Transitiva: Si a=b, y b=c, entonces, a=c.
    Ejemplo: Si x=2, y 2=w, entonces, x=w.

Las propiedades de la igualdad nos ayudan a justificar los métodos que usaremos para resolver problemas. Por ejemplo, la propiedad reflexiva en palabras dice: un número siempre es igual a sí mismo. En un contexto familiar, podemos decir: yo siempre tengo mi propia edad.

La propiedad simétrica en palabras dice: Si un número es igual a otro, el segundo debe ser igual al primero. En el mismo contexto, podemos decir: Si Alicia tiene la misma edad que Berenice, entonces Berenice tiene la misma edad que Alicia.

La propiedad transitiva en palabras dice: Si un primer número es igual a otro segundo número, y además, el segundo número es igual a otro tercer número, entonces el tercer número y el primer número deben ser iguales. En el contexto de las edades esto se aplica así: Si Alicia tiene la misma edad que Berenice, y Berenice tiene la misma edad que Claudia, entonces, Alicia y Claudia tienen la misma edad.

Sin embargo, esas propiedades no son todas las que posee la igualdad.


Propiedades de la igualdad

Además de las propiedades que se mencionan en la relación de equivalencia, la igualdad presenta las siguientes:


Para la suma: Si a=b, entonces, a + c = b + c.
Ejemplo: Si x = 5, entonces, x + 3 = 5 + 3.
Para la resta: Si a=b, entonces, a - c = b - c.
Ejemplo: Si x = 5, entonces, x - 3 = 5 - 3.
Para la multiplicación: Si a=b, entonces, a\,c = b\,c.
Ejemplo: Si x = 5, entonces, 7\,x=(7)(5).
Para la división: Si a=b, entonces, \displaystyle\frac{a}{c}=\frac{b}{c}. \qquad (c \neq 0)
Ejemplo: Si x = 5, entonces, \displaystyle\frac{x}{7}=\frac{5}{7}.
Para la potencia: Si a=b, entonces, a^n=b^n.
Ejemplo: Si x = 5, entonces, x^2=5^2.
Para la raíz: Si a=b, entonces, \sqrt[n]{a}=\sqrt[n]{b}.
Ejemplo: Si x = 5, entonces, \sqrt{x} = \sqrt{5}.

  • La propiedad para la suma, nos dice en palabras que al sumar un mismo número en ambos lados de una igualdad, obtenemos una nueva igualdad válida.
  • La propiedad para la resta, nos dice que al restar un mismo número en ambos lados de una igualdad, obtenemos otra igualdad válida.
  • La propiedad para la multiplicación, nos dice en palabras que si multiplicamos ambos lados de la igualdad por un número real, obtenemos otra nueva igualdad válida.
  • La propiedad para la división, nos dice que si dividimos ambos lados de la igualdad por un número real (distinto de cero), obtenemos otra nueva igualdad válida.
  • La propiedad de la igualdad para la potencia indica que, si elevamos a la misma potencia ambos lados de una igualdad, ésta se sigue cumpliendo.
  • La propiedad de la igualdad para la raíz nos dice que si calculamos la raíz n-ésima en ambos lados de una igualdad (si esta operación es posible de realizar), la igualdad sigue siendo válida. Por ejemplo puede ocurrir que obtengas:

        \begin{equation*} 3\,x+1 = -5 \end{equation*}

    y desees calcular la raíz cuadrada en ambos lados de la igualdad. En este caso NO podemos aplicar esa propiedad, porque no es posible calcular la raíz cuadrada de -5 (por ahora, pero al final del curso sabrás cómo calcularla).

En conclusión: para poder mantener una igualdad válida, cualquier operación aritmética que se realice en un lado de la igualdad, debes realizarla también del otro lado. De lo contrario, la igualdad ya no será válida. En otras palabras, la igualdad que se obtiene cuando realizas la misma operación en ambos lados de la igualdad, es equivalente a la igualdad inicial.

Para puedas entender mejor lo anterior, tenemos el siguiente ejemplo.


Ejemplo 1

Identifica la propiedad que se ilustra en cada caso.

  • Si x=y, entonces, x+2=y+2 (para la suma)
  • Si a=4, entonces, a+2=4+2 (para la suma)
  • Si m=6, entonces, 2\cdot m=2\cdot 6 (para la multiplicación)
  • Si u=v y v=w, entonces, u=w (transitiva)
  • Si p=11+q, entonces, p-11=11+q-11 (para la resta)
  • Si 2\,m=r, entonces, \displaystyle\frac{2\,m}{2}=\frac{r}{2} (para la división)

Este tema es muy importante y también muy sencillo. Probablemente, ya conocías todas las propiedades que se mencionaron, porque son muy evidentes.


Ejemplo 2

En la siguiente solución de la ecuación 2\,x + 5 = 21, indica la propiedad de la igualdad que se utilizó.
Escribe a la izquierda la propiedad utilizada.

  • 2\,x + 5 - 5 = 21 - 5 (para la resta)
  • 2\,x = 16\qquad\Rightarrow\qquad\displaystyle\frac{2\,x}{2} = \displaystyle\frac{16}{2} \qquad\Rightarrow\qquad x = 8 (para la división)

No te preocupes por entender los pasos que se dieron para la solución de la ecuación anterior.

Por ahora debes concentrarte en reconocer cada una de las propiedades de la igualdad.


Las propiedades de la igualdad se utilizarán en la mayoría de los procedimientos que utilizaremos para resolver ecuaciones y otros problemas relacionados con álgebra, por ejemplo, el despeje.


Ejemplo 3

El siguiente procedimiento se conoce como un despeje. En este caso se despeja la variable v_{f} de la fórmula:

    \begin{equation*}    a = \displaystyle\frac{v_f - v_i}{t} \end{equation*}

Indica en cada paso la propiedad de la igualdad que se está aplicando. Escribe a la derecha de las ecuaciones la propiedad que corresponde.

  • a = \displaystyle\frac{v_f - v_i}{t}
  • a\cdot t = \left(\displaystyle\frac{v_f - v_i}{t}\right)\cdot t (para la suma)
  • a\cdot t = v_f - v_i
  • a\cdot t + v_i = v_f - v_i + v_i
  • a\cdot t + v_i = v_f
  • v_f = a\cdot t + v_i

Como puedes ver, el despeje puede justificarse con las propiedades de la igualdad. No te preocupes por entender el despeje por ahora. Por ahora, solamente debes concentrar tu aprendizaje en las propiedades de la igualdad.



Ejemplo 4

Indica en cada paso del siguiente despeje la propiedad de la igualdad que se está aplicando.
Escribe a la derecha de cada ecuación, la propiedad que corresponde a cada paso del despeje.

  • F = G\cdot\displaystyle\frac{m_1\cdot m_2}{r^2}
  • F\cdot r^2 = G\cdot\left(\displaystyle\frac{m_1\cdot m_2}{r^2}\right)\cdot r^2 (para la multiplicación)
  • F\cdot r^2 = G\cdot m_1\cdot m_2
  • \displaystyle\frac{F\cdot r^2}{F} = \displaystyle\frac{G\cdot m_1\cdot m_2}{F} (para la división)
  • r^2 = \displaystyle\frac{G\cdot m_1\cdot m_2}{F}
  • \sqrt{r^2} = \sqrt{\displaystyle\frac{G\cdot m_1\cdot m_2}{F}} (para la raíz)
  • r = \sqrt{\displaystyle\frac{G\cdot m_1\cdot m_2}{F}}

Concéntrate solamente en las propiedades de la igualdad. Lo demás lo aprenderás más adelante.


En realidad, las propiedades de la igualdad y de los números sirven para justificar por qué utilizamos los procedimientos que usamos en álgebra y al entenderlos, podrás ver más ayá de las letras escritas en este material, pues entenderás por qué podemos realizar una operación en un procedimiento.

Por ahora, debes entender cómo podemos modificar expresiones que están igualadas.

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