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Productos notables

Aprenderás a desarrollar los casos más comúnes de productos notables.


Hasta aquí hemos visto cómo desarrollar binomios al cuadrado y producto de binomios con un término común. Ahora vamos a estudiar el producto conjugado.


Ejemplo 7

Calcula: (3\,u + 5\,v)(3\,u - 5\,v)

Empezamos notando que se trata de un producto conjugado.
Eso significa que utilizaremos la fórmula:

    \begin{eqnarray*} (\textcolor{blue}{x}+\textcolor{red}{a})(\textcolor{blue}{x}-\textcolor{red}{a})&=&(\textcolor{blue}{x})^2-(\textcolor{red}{a})^2\\ (\textcolor{blue}{3\,u}+\textcolor{red}{5\,v})(\textcolor{blue}{3\,u}-\textcolor{red}{5\,v})&=&(\textcolor{blue}{3\,u})^2-(\textcolor{red}{5\,v})^2\\    &=&9\,u^2-25\,v^2 \end{eqnarray*}

Esto nos indica que:

    \begin{equation*}    (3\,u+5\,v)(3\,u-5\,v)=9\,u^2-25\,v^2 \end{equation*}


Observa que en realidad estamos aplicando las leyes de los exponentes y de los signos. Sin embargo, nos ahorramos todo el procedimiento al aplicar directamente la fórmula. Para verificar que estamos aplicando debes realizar el producto sin aplicar el producto notable.




Ejemplo 8

Calcula: (3\,x^2 + 11)(3\,x^2 - 11)

Empezamos aplicando directamente la fórmula:

    \begin{eqnarray*} (\textcolor{blue}{3\,x^2} + \textcolor{red}{11})(\textcolor{blue}{3\,x^2} - \textcolor{red}{11}) &=& \left(\textcolor{blue}{3\,x^2}\right)^2 - \textcolor{red}{11}^2\\    &=& 9\,x^4 - 121 \end{eqnarray*}

Una segunda forma de verificar el resultado consiste en aplicar el producto conjugado que corresponde al producto de binomios con un término común.
Aplicando esta fórmula, obtenemos:

    \begin{eqnarray*} (\textcolor{blue}{3\,x^2} + \textcolor{red}{11})(\textcolor{blue}{3\,x^2} - \textcolor{red}{11}) &=& \left(\textcolor{blue}{3\,x^2}\right)^2 + (\textcolor{red}{11}\textcolor{red}{-11})(\textcolor{blue}{3\,x^2}) + (\textcolor{red}{11})(\textcolor{red}{-11})\\    &=& 9\,x^4 + 0\,(3\,x^2)- 121\\    &=& 9\,x^4 - 121 \end{eqnarray*}


En ambos casos obtenemos el mismo resultado porque el producto conjugado es un caso especial del producto de binomios con un término común.


Ejemplo 9

Calcula: \left(\displaystyle\frac{m^3}{4} + \frac{12}{13}\right)\left(\frac{m^3}{4} - \frac{12}{13}\right)

Aplicamos la fórmula:

    \begin{eqnarray*} \left(\textcolor{blue}{\displaystyle\frac{m^3}{4}}+ \textcolor{red}{\frac{12}{13}}\right)\left(\textcolor{blue}{\displaystyle\frac{m^3}{4}} - \textcolor{red}{\displaystyle\frac{12}{13}}\right) &=& \left(\textcolor{blue}{\displaystyle\frac{m^3}{4}}\right)^2 - \left(\textcolor{red}{\displaystyle\frac{12}{13}}\right)^2\\    &=& \displaystyle\frac{m^6}{16} - \displaystyle\frac{144}{169} \end{eqnarray*}

Recuerda que elevar al cuadrado significa multiplicar un número por sí mismo. Elevar al cuadrado no significa miltiplicar por 2. Por ejemplo, 9^2 = 9 \times 9 = 81 es correcto, pero 9^2 \neq 9 \times 2 = 18 no es la forma correcta de proceder. Ten cuidado con esto.


Finalmente unos ejemplos para aprender a elevar un binomio al cubo.


Ejemplo 10

Calcula: (2\,m + 5)^3

Ahora tenemos un binomio elevado al cubo. Empezamos sustituyendo los valores en donde les corresponde:

    \begin{eqnarray*} (\textcolor{blue}{x}+\textcolor{red}{a})^3&=&(\textcolor{blue}{x})^3+3\,(\textcolor{red}{a})(\textcolor{blue}{x})^2+3\,(\textcolor{red}{a})^2(\textcolor{blue}{x})+(\textcolor{red}{a})^3\\ (\textcolor{blue}{2\,m}+\textcolor{blue}{5})^3&=&(\textcolor{blue}{2\,m})^3+3\,(\textcolor{red}{5})(\textcolor{blue}{2\,m})^2+3\,(\textcolor{red}{5})^2(\textcolor{blue}{2\,m})+(\textcolor{red}{5})^3\\    &=& 8\,m^3+60\,m^2+150\,m+125 \end{eqnarray*}

Entonces,

    \begin{equation*}    (2\,m + 5)^3 = 8\,m^3 + 60\,m^2 + 150\,m + 125 \end{equation*}



Ejemplo 11

Calcula: (2\,r - 5)^3

En este caso tenemos una diferencia elevada al cubo.
Como se trata de un binomio, podemos aplicar la fórmula:

    \begin{equation*} (\textcolor{blue}{x}+\textcolor{red}{a})^3 = (\textcolor{blue}{x})^3+3\,(\textcolor{red}{a})(\textcolor{blue}{x})^2+3\,(\textcolor{red}{a})^2(\textcolor{blue}{x})+(\textcolor{red}{a})^3 \end{equation*}

Pero debemos tener cuidado con los signos…

    \begin{eqnarray*} (\textcolor{blue}{2\,r}\textcolor{red}{-5})^3 &=& (\textcolor{blue}{2\,r})^3 + 3\,(\textcolor{red}{-5})(\textcolor{blue}{2\,r})^2 + 3\,(\textcolor{red}{-5})^2(\textcolor{blue}{2\,r}) + (\textcolor{red}{-5})^3\\    &=& 8\,r^3 + (-15)(4\,r^2) + 6\,r\,(25) - 125\\    &=& 8\,r^3 - 60\,r^2 + 150\,r - 125 \end{eqnarray*}

Observa que cuando un factor está elevado al cuadrado debemos elevarlo al cuadrado antes de multiplicarlo por los demás factores.


Observa también que cuando multiplicamos, el orden en que realizamos las multiplicaciones, cuando se trata de varios factores, no importa; siempre obtenemos el mismo resultado. Esto es así por la propiedad de conmutatividad de la multiplicación de los números reales.


Ejemplo 12

Calcula: \left(\displaystyle\frac{2\,x}{3} + \displaystyle\frac{r^2}{5}\right)^3

No tienes por qué sentir pánico al ver la expresión que debemos elevar al cubo. Simplemente la vamos a tratar como a las anteriores: sustituimos los términos en la fórmula, realizamos las operaciones que quedan indicadas y simplificamos hasta donde sea posible:

    \begin{eqnarray*} \left(\textcolor{blue}{\displaystyle\frac{2\,x}{3}}+\textcolor{red}{\displaystyle\frac{r^2}{5}}\right)^3 &=& \left(\textcolor{blue}{\frac{2\,x}{3}}\right)^3 + 3\,\left(\textcolor{red}{\frac{r^2}{5}}\right)\left(\textcolor{blue}{\frac{2\,x}{3}}\right)^2 + 3\,\left(\textcolor{red}{\frac{r^2}{5}}\right)^2\left(\textcolor{blue}{\frac{2\,x}{3}}\right) + \left(\textcolor{red}{\frac{r^2}{5}}\right)^3\\    &=& \displaystyle\frac{8\,x^3}{27} + \left(\frac{3\,r^2}{5}\right)\left(\frac{4\,x^2}{9}\right) + \left(\frac{6\,x}{3}\right)\left(\frac{r^4}{25}\right) + \frac{r^6}{125}\\    &=& \displaystyle\frac{8\,x^3}{27} + \frac{12\,r^2\,x^2}{45} + \frac{6\,x\,r^4}{75} + \frac{r^6}{125}\\    &=& \displaystyle\frac{8\,x^3}{27} + \frac{4\,r^2\,x^2}{15} + \frac{2\,x\,r^4}{25} + \frac{r^6}{125} \end{eqnarray*}

Recuerda simplificar las fracciones siempre que sea posible. Debes tener cuidado al elevar al cubo un número. Elevar al cubo significa multiplicar por sí mismo tres veces, no multiplicar por 3. Por ejemplo, 2^3 = 3\times3\times3 = 27, pero 2^3\neq2\times3=6, es un error común en muchos estudiantes.


En cualquiera de los casos que se desarrollan en este tema, podemos verificar que los resultados son los correctos desarrollando la multiplicación indicada en cada caso utilizando el procedimiento que aprendimos en el tema anterior. Evidentemente, el procedimiento será más laborioso que la aplicación de los productos notables. De hecho, los productos notables se utilizan para realizar más rápido esos cálculos.

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