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Problemas aritméticos

Recordaremos las operaciones con los números resolviendo algunos problemas aritméticos.

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En las matemáticas los números y los conjuntos son la base de toda la demás teoría.

Por eso es importante saber realizar las operaciones básicas con ellos: suma, resta, multiplicación y división, y resolver problemas prácticos con ellos.


Ejemplo 1

Un triángulo tiene una base de 5.1 metros y una altura de 12.25 metros. ¿Cuál es su área?

Ya sabemos la fórmula para calcular el área de un triángulo:

(1)   \begin{equation*} A = \frac{b\cdot h}{2} \end{equation*}

Ahora sustituimos los valores y realizamos las operaciones:

    \begin{eqnarray*} A &=&\frac{b\cdot h}{2}\\ &=& \frac{(5.1)(12.25)}{2}\\ &=& \frac{62.475}{2}\\ &=&31.2375 \end{eqnarray*}

Es importante recordar que las unidades de área en este caso son los metros cuadrados.

Entonces, el área del triángulo con una base de 5.1 metros de longitud y una altura de 12.25 metros de longitud es igual a 31.2375 metros cuadrados.


En la mayoría de los problemas cotidianos tenemos que trabajar con las unidades de los objetos con los que estamos trabajando.

Es muy importante recordar al final que las unidades son también parte de la solución. Otra cosa muy importante es el orden en el cual debemos realizar las operaciones.

En el ejemplo anterior debíamos multiplicar y dividir. En realidad no importa qué operación realices primero, siempre obtenemos el mismo resultado. Esto se debe a que dividir en realidad significa multiplicar. Por ejemplo, cuando vas a dividir por 2, obtienes el mismo resultado que si multiplicas por \frac{1}{2}, y si quieres dividir por 3, obtienes lo mismo que si multiplicas por \frac{1}{3}, etc.

De manera semejante, sumar y restar son la misma operación. Si quieres restar 2 a un número, obtienes lo mismo que si sumas -2. En la siguiente lista se muestran las operaciones indicando su prioridad.


Prioridad de las operaciones

Las operaciones que aparecen al principio son las que debes realizar primero:

  1. Lo que aparezca entre paréntesis, por ejemplo, en la fórmula:

        \begin{equation*}    L = L_0\cdot(1+\alpha) \end{equation*}

    primero debemos sumar lo que se indica entre paréntesis.

  1. Exponenciación y radicación, por ejemplo en la fórmula:

        \begin{equation*} E_k = \displaystyle\frac{1}{2}\,mv^2 \end{equation*}

    primero debemos elevar al cuadrado la variable v.

  2. Multiplicación y división, por ejemplo, en la fórmula:

        \begin{equation*} y = 2\,x+1 \end{equation*}

    primero debemos multiplicar 2 por x y al resultado sumamos 1.

  3. Suma y resta.


Ejemplo 2

Una estudiante de bachillerato contrató una línea de celular en la que paga $1.45 pesos el primer minuto de llamada local y  $0.80 pesos cada minuto adicional. Una vez habló por el celular con su mamá y tardó 15 minutos. Si tenía un saldo de $125.35 pesos antes de iniciar la llamada, ¿qué saldo le quedó después de terminarla?

En este caso primero debemos calcular el costo de la llamada y finalmente restar ese resultado al saldo que tenía antes de iniciar su llamada.

Vamos a calcular el costo de la llamada. Para esto es importante considerar que el primer minuto costó $1.45 pesos, y el resto, o sea, los otros 14 minutos costaron $0.80 pesos cada uno…

Definimos C como el costo de la llamada:

(2)   \begin{eqnarray*} C &=& 1.45 + (0.8)(14)\\ &=& 12.65 \end{eqnarray*}

La llamada le costó $12.65 pesos, pero ella tenía $125.35 pesos de saldo, entonces,

    \begin{eqnarray*} \mbox{le quedaron: }&~&125.35-C\\ &=& 125.35 - 12.65 = 112.70 \end{eqnarray}


Siempre que resolvemos un problema también es importante recordar que la solución nos dice algo acerca del problema. Algunas veces esa solución nos ayuda a entender mejor un proceso o un fenómeno natural.

Los números son importantes porque gracias a ellos hemos tenido un avance tecnológico y científico como el que ahora conocemos.


Ejemplo 3

En las vacaciones nos fuimos a Cerro Azul, Ver., y mi mamá compró varios recuerdos.  Diez llaveros para mis tíos, cinco playeras para mis primos, una imagen de la virgen para mi abuelita y para mí, dos libros para que me ponga a estudiar. Los precios de cada artículo están en la siguiente tabla:

Artículo Precio
Llavero 12.00 pesos
Playera 45.00 pesos
Imagen de la Virgen 125.00 pesos
Libro de Matemáticas 120.00 pesos


¿Cuánto gastó en los recuerdos de mi pueblo?

El problema indica que cada llavero cuesta lo mismo, al igual que los demás artículos que compró… Entonces, por los llaveros gastó:

    \begin{eqnarray*} \mbox{N\'umero de llaveros}\times\mbox{Precio/llavero}&=&\mbox{Costo de llaveros}\\ (10)(12) &=& 120 \end{eqnarray*}

Por las playeras gastó:

    \begin{eqnarray*} \mbox{N\'umero de playeras}\times\mbox{Precio/playera}&=&\mbox{Costo de playeras}\\ (5)(45) &=& 225 \end{eqnarray*}

Por mis libros gastó:

    \begin{eqnarray*} \mbox{N\'umero de libros}\times\mbox{Precio/libro}&=&\mbox{Costo de libros}\\ (2)(120) &=& 240 \end{eqnarray*}

Para calcular lo que gastó sumamos los importes de cada artículo:

 \begin{tabular}{lr} Por los llaveros: & 120.00\\ Por las playeras: & 225.00\\ Por la imagen de la virgen: & 125.00\\ por mis libros: & 240.00\\\cline{2-2} & 710.00 \end{tabular}

En total gastó: $710.00 pesos.



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