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Problemas aritméticos

Recordaremos las operaciones con los números resolviendo algunos problemas aritméticos.


Algunas veces, conocer algunas propiedades de los números nos ayuda a resolver los problemas de una manera más sencilla. El siguiente ejemplo muestra una anécdota de uno de los mejores matemáticos de la historia de la humanidad.


Ejemplo 4

Carl Friedrich Gauss fue un matemático alemán. A los 8 años, su maestro de primaria le pidió que sumara:

    \begin{equation*} 1+2+3+4+\cdots+99+100 \end{equation*}

Él utilizó el siguiente procedimiento…

Primero utilizó la propiedad que dice: “si sumas varios números, el orden no importa, siempre obtienes el mismo resultado“. Y él definió S como el resultado de la suma que estamos buscando…
Entonces, esto nos permite escribir:

    \[\setlength{\arraycolsep}{5pt} \begin{array}{rcrcrcrcrcrcrcr} S &=& 1 &+& 2 &+& 3 &+& 4 &+& \cdots &+& 99 &+& 100\\ S &=& 100 &+& 99 &+& 98 &+& 97 &+& \cdots &+& 2 &+& 1\\\hline 2\,S &=& 101 &+& 101 &+& 101 &+& 101 &+& \cdots &+& 101 &+& 101\\ \end{array}\]

Pero el 101 se repite cien veces, porque cada lista de números de los primeros dos renglones va del 1 al 100 y del 100 al 1, respectivamente.
Entonces, podemos obtener ese resultado como:

    \begin{equation*} 2\,S=(101)(100) \end{equation*}

En palabras, esto significa que 101\times100 es igual al doble de la suma que buscamos.
Si dividimos entre dos, obtenemos la suma que buscamos:

    \begin{equation*} S=\ds\frac{(101)(100)}{2}=\frac{10\,100}{2}=5\,050 \end{equation*}

Esto indica que: 1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + 99 + 100 = 5\,050.




En el siguiente video se hace una generalización del método que utilizó Gauss para calcular la suma de los primeros 100 números naturales. Ahora, se deduce la fórmula para calcular la suma de los primeros n números naturales.



Ejemplo 5

Marco puede pintar una barda en 10 horas. Carlos puede pintar la misma barda en 15 horas. Don César encargó a los dos que pintaran la barda juntos. Si avanzan al ritmo que se indica antes, ¿cuánto tiempo tardarán en pintarla?

Obviamente, Marco avanza más rápido que Carlos, porque tarda menos en pintar toda la barda.

Nota que no tiene caso suponer que cada uno de ellos pintó la mitad de la barda, porque no avanzan al mismo ritmo al pintar.

Dado que Marco tarda 10 horas en pintar toda la barda, en una hora hace un décimo del total.

Por su parte, Carlos tarda 15 horas en terminar toda la barda, por eso en una hora avanza un quinceavo de la barda.

Pintando juntos en una hora avanzan:

    \begin{equation*} \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3 + 2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6} \end{equation*}

Esto significa que los dos juntos avanzan un sexto de la barda y por eso, tardan 6 horas en pintar toda la barda.


El siguiente ejemplo se trata de un truco para calcular el cuadrado de ciertos números…


Ejemplo 6

Calcula los cuadrados de todos los números de dos cifras que terminan en 5 en las unidades.

Para elevar al cuadrado un número de dos cifras que termina en 5 en las unidades, tomamos el dígito de las decenas y lo multiplicamos por su consecutivo.

A la derecha del resultado escribimos el número \textcolor{red}{25}.

Por ejemplo, si quieres elevar el número 35 al cuadrado, el dígito de las decenas es 3, y su consecutivo es el 4…

Los multiplicamos, y obtenemos: 3 \times 4 = \textcolor{blue}{12}.

Y ahora escribimos a la derecha del \textcolor{blue}{12} el número \textcolor{red}{25}. El resultado es el cuadrado
de 35. Entonces, 35^2 = \textcolor{blue}{1\,2}\textcolor{red}{25}

Ahora podemos calcular los cuadrados para llenar la siguiente tabla:

 \begin{tabular}{cccc}\toprule %\rowcolor{yellow!25} $n$ & $k$ & $k\,(k+1)$ & $n^2$ \\\midrule 15 & 1 & $1\times2 = \textcolor{blue}{2}$ & \textcolor{blue}{2}\textcolor{red}{25}\\%\hline 25 & 2 & $2\times3 = \textcolor{blue}{6}$ & \textcolor{blue}{6}\textcolor{red}{25}\\%\hline 35 & 3 & $3\times4 = \textcolor{blue}{12}$ & \textcolor{blue}{1\,2}\textcolor{red}{25}\\%\hline 45 & 4 & $4\times5 = \textcolor{blue}{20}$ & \textcolor{blue}{2\,0}\textcolor{red}{25}\\%\hline 55 & 5 & $5\times6 = \textcolor{blue}{30}$ & \textcolor{blue}{3\,0}\textcolor{red}{25}\\%\hline 65 & 6 & $6\times7 = \textcolor{blue}{42}$ & \textcolor{blue}{4\,2}\textcolor{red}{25}\\%\hline 75 & 7 & $7\times8 = \textcolor{blue}{56}$ & \textcolor{blue}{5\,6}\textcolor{red}{25}\\%\hline 85 & 8 & $8\times9 = \textcolor{blue}{72}$ & \textcolor{blue}{7\,2}\textcolor{red}{25}\\%\hline ~95~ & ~9~ & ~$9\times10 = \textcolor{blue}{90}$~ & ~\textcolor{blue}{9\,0}\textcolor{red}{25}~\\\bottomrule \end{tabular}


Ahora podemos usar este truco para calcular el cuadrado de cualquier número de dos cifras que termina en 5.
Verifica que en realidad los cálculos son correctos.

 


Ejemplo 7

Un diseñador industrial debe elegir las dimensiones de un envase de plástico en forma de caja que contendrá un líquido para una máquina. Las dimensiones de los envases se muestran en la siguiente tabla:

 \begin{tabular}{cccc}\toprule \enc{Envase} & \enc{Largo (cm)} & \enc{Ancho (cm)} & \enc{Fondo (cm)}\\\midrule A & 25 & 15 & 32\\ % 12,000 B & 35 & 10 & 25\\ % 8,750 C & 20 & 17 & 35\\ % 11,900 D & 45 & 10 & 15\\\bottomrule% 6,750 \end{tabular}

Él desea encontrar la caja que tenga al menos un volumen de 11\,500\;\mathrm{cm}^3. ¿Cuál de esos envases debe elegir?

Para saber si un envase de los propuestos cumplirá con la condición de que el volumen sea mayor que 11\,500\;\mathrm{cm}^3, debemos calcular el volumen de cada uno.
Para calcular el volumen de una caja multiplicamos largo por ancho por fondo.
Los cálculos se muestran en la siguiente tabla:

 \begin{tabular}{|c|c|c|c|l|}\hline \textbf{Envase} & \textbf{Largo} & \textbf{Ancho} & \textbf{Fondo} & \textbf{Volumen}\\\hline & \textbf{(cm)} & \textbf{(cm)} & \textbf{(cm)} & \textbf{(cm$^3$)}\\\hline A & 25 & 15 & 32 & 12\,000\\\hline B & 35 & 10 & 25 & 8\,750\\\hline C & 20 & 17 & 35 & 11\,900\\\hline D & 45 & 10 & 15 & 6\,750\\\hline \end{tabular}


Los resultados de la columna de la derecha, que contiene el volumen de cada envase, se obtuvo multiplicando las dimensiones de cada envase, es decir, los valores que aparecen en las otras columnas.

Por ejemplo, para calcular el volumen del envase D, multiplicamos: (45)(10)(15) = 6\,750.

Entonces, los envases A y C son los posibles candidatos a ser elegidos por el diseñador industrial.


Como puedes ver, la solución a un problema de matemáticas no siempre es única. En este último ejemplo tenemos dos soluciones posibles al problema.

Otro punto importante a hacer notar es que la solución en este caso no es un número, como suele esperarse de la mayoría de los problemas matemáticos. En este caso, la solución consiste en indicar qué envases tienen un volumen mayor a 11\,500\;\mathrm{cm}^3.

El siguiente problema se queda como un reto.


Reto

Escribe los números del 0 al 10 realizando una o varias de las siguientes operaciones: suma, resta multiplicación, y división, elevar a una potencia o sacar raíz cuadrada, utilizando 4 veces el número 4. Por ejemplo, el número cero y el número dos pueden expresarse como sigue:

    \begin{eqnarray*} 0 &=& \frac{4-4}{44}\\ 2 &=& \frac{4\times4}{4+4} \end{eqnarray*}

Ahora tú, encuentra los números del 0 al 10. Recuerda que es posible juntar números para formar 44, por ejemplo.


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