Polígonos

En esta lección vamos a utlizar las fórmulas que ya conocemos para calcular perímetros y áreas de polígonos. Para esto es una buena idea recordar las fórmulas de áreas de los polígonos.

Ejemplo 1

Calcula el área del triángulo que tiene sus vértices en los puntos: $A(1,1)$ , $B(-2,3)$ y $C(-3,-1)$ .

Empezamos graficando los puntos y dibujando el triángulo:

Para encontar el área del triángulo utilizaremos la fórmula de Herón:

$\begin{equation*} A = \sqrt{p\cdot(p-a)(p-b)(p-c)} \end{equation*}$

donde $a,b,c$ son las longitudes de los lados del triángulo y $p$ es su semiperímetro. Entonces, debemos primero calcular las longitudes de los lados del triángulo. Empezamos calculando las longitudes de cada uno de los lados del triángulo:

$\begin{eqnarray*} |\overline{AB}| &=& \sqrt{(-2-1)^2 + (3-1)^2}\\ &=& \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \approx 3.6055\\ |\overline{BC}| &=& \sqrt{(-3-(-2))^2 + (-1-3)^2}\\ &=& \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17} \approx 4.1231\\ |\overline{AC}| &=& \sqrt{(-3-1)^2 + (-1-1)^2}\\ &=& \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} \approx 4.4721 \end{eqnarray*}$

Ahora calculamos el valor de $p$ :

$\begin{equation*} p = \frac{3.6055 + 4.1231 + 4.4721}{2} = 6.10035 \end{equation*}$

Ahora sustitumos los valores en la fórmula de Herón:

$\begin{eqnarray*} A &=& \sqrt{p\cdot(p-a)(p-b)(p-c)}\\ &=& \sqrt{(6.10035)(6.10035-3.6055)(6.10035-4.1231)(6.10035-4.4721)}\\ &=& \sqrt{(6.10035)(2.498)(1.9804)(1.6314}\\ &=& \sqrt{49.2589} \approx 7.01846 \end{eqnarray*}$

Debido a que utilizamos aproximaciones de las raíces, hemos obtenido una aproximación al verdadero valor del área. El área del triángulo es exactamente 7 unidades cuadradas. El siguiente reto pide calcular el área del triángulo a partir de sus coordenadas de manera exacta.

Reto

Calcular el área del triángulo que tiene sus vértices en los puntos: $A(1,1)$ , $B(-2,3)$ y $C(-3,-1)$ dibujando otros triángulos alrededor de éste para formar un cuadrilátero.

Para calcular el área de un polígono de varios lados no existe una fórmula como la de Herón para calcular el área a partir de las longitudes de sus lados. Sin embargo, siempre que tengamos un polígono, podemos formar triángulos dentro de este polígono y calcular las áreas de cada uno de los triángulos internos al polígono. El área del polígono será igual a la suma de las áreas de todos los triángulos internos.

El problema consiste en que cada vez tenemos que calcular más longitudes, porque ahora no solamente debemos calcular las longitudes de los lados, sino también de las diagonales que se requieran para cubrir todo el polígono con triángulos. Dado que nosotros solamente tenemos fórmulas para calcular el área del triángulo, solamente podemos utilizar ese artificio. Igual, podemos calcular el área utilizando el procedimiento utilizado para resolver el reto anterior.

Ejemplo 2

Calcula el área del cuadrilátero que tiene sus vértices en los puntos $A(5,2)$ , $B(-3,3)$ , $C(-2,-1)$ y $D(3,-1)$ .

Vamos a dibujar el cuadrilátero y también vamos a trazar una de sus diagonales para formar dos triángulos internos.

Al sumar el área de los dos triángulos internos obtenemos el área del cuadrilátero. Vamos a calcular las longitudes de los lados del cuadrilátero y de su diagonal:

$\begin{eqnarray*} |\overline{AB}| &=& \sqrt{(-3-5)^2 + (3-2)^2}\\ &=& \sqrt{64 + 1} = \sqrt{65} \approx 8.062257\\ |\overline{BC}| &=& \sqrt{(-2-(-3))^2 + (-1-3)^2}\\ &=& \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17} \approx 4.1231\\ |\overline{CD}| &=& \sqrt{(-3-(-2))^2 + (-1-(-1))^2}\\ &=& \sqrt{25} = 5\\ |\overline{AD}| &=& \sqrt{(3-5)^2 + (-1-2)^2}\\ &=& \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \approx 3.60555\\ |\overline{AC}| &=& \sqrt{(-2-5)^2 + (-1-2)^2}\\ &=& \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58} \approx 7.61577 \end{eqnarray*}$

Encontramos el área del triángulo que tiene sus vértices en los puntos: $A(5,2)$ , $B(-3,3)$ y $C(-2,-1)$ . Primero calculamos el semiperímetro del triángulo:

$\begin{equation*} p = \frac{8.062257 + 4.1231 + 7.61577}{2} = 9.9005635 \end{equation*}$

Sustituimos las longitudes de los lados en la fórmula de Herón:

$\begin{eqnarray*} A_{\trianglele_1} &=& \sqrt{p\cdot(p-a)(p-b)(p-c)}\\ &=& \sqrt{(9.9005635)(1.8383)(5.77746)(2.28479)}\\ &=& \sqrt{240.2478653} \approx 15.49993 \end{eqnarray*}$

Ahora debemos calcular el área del otro triángulo. Empezamos calculando su semiperímetro:

$\begin{equation*} p = \frac{7.61577 + 5 + 3.60555}{2} = 8.11066 \end{equation*}$

Sustituimos en la fórmula de Herón:

$\begin{eqnarray*} A_{\trianglele_2} &=& \sqrt{p\cdot(p-a)(p-b)(p-c)}\\ &=& \sqrt{(8.11066)(0.494883)(3.11066)(4.50511)}\\ &=& \sqrt{56.24924} \approx 7.49995 \end{eqnarray*}$

Y la suma de las áreas de los dos triángulos es: $15.49993 + 7.49995 = 22.99988$ unidades cuadradas, aproximadamente. Verifica que el área exacta del cuadrilátero es 23 unidades dibujando triángulos alrededor del cuadrilátero para formar un rectángulo.

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Aprenderás a realizar algunos cálculos relacionados con polígonos.

Ejemplo 1

Reto

Ejemplo 2