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Polígonos

Aprenderás a realizar algunos cálculos relacionados con polígonos.


Las fórmulas que hemos encontrado en secciones anteriores nos ayudarán a describir todavía mejor los polígonos. Por ejemplo, podemos encontrar los ángulos internos de un polígono o indicar la inclinación de sus lados.


Ejemplo 3

Calcula la medida de los ángulos internos del triángulo que tiene sus vértices en los puntos: A(1,1), B(-2,3) y C(-3,-1).

Ya encontramos el área de este triángulo en el primer ejemplo de esta lección. Ahora vamos a encontrar sus ángulos internos. Para eso, vamos a utilizar las fórmulas de:

  • Pendiente:

        \begin{equation*}       m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}    \end{equation*}

  • Ángulo entre dos rectas:

        \begin{equation*}       \tan\phi = \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1\cdot m_2}    \end{equation*}

Empezamos calculando las pendientes de los lados del triángulo.

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Para el lado \overline{AB}, tenemos:

    \begin{eqnarray*}    m &=& \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\\    m_{\overline{AB}}  &=& \frac{3 - 1}{-2 - 1} = -\frac{2}{3} \end{eqnarray*}

Para el lado \overline{BC}, tenemos:

    \begin{equation*}    m_{\overline{BC}}  = \frac{-1 - 3}{-3 - (-2)} = \frac{-4}{-1} = 4 \end{equation*}

Para el lado \overline{AC}, tenemos:

    \begin{equation*}    m_{\overline{AC}}  = \frac{-1 - 1}{-3 - 1} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2} \end{equation*}

Ahora calculamos los ángulos internos del triángulo. Empezamos con el ángulo que se forma con los lados \overline{AB} y \overline{AC}. Recuerda que debemos medir el ángulo en contra de las manecillas del reloj. En este caso, m_1 = m_{AB} = -2/3 y m_2 = m_{AC} = 1/2.

    \begin{eqnarray*} \tan\phi_A &=& \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1\cdot m_2} \\          &=& \frac{\displaystyle\frac{1}{2} - \left(-\frac{2}{3}\right)}{\displaystyle 1 + \left(\frac{1}{2}\cdot\frac{-2}{3}\right)}            =  \frac{\displaystyle\frac{1}{2} + \frac{2}{3}}{\displaystyle 1 - \frac{1}{3}}            =  \frac{\displaystyle\left(\frac{7}{6}\right)}{\displaystyle\left(\frac{2}{3}\right)} = \frac{7}{4} \end{eqnarray*}

Ahora podemos calcular el ángulo, utilizando la función \arctan:

    \begin{equation*}    \tan\phi_A = \frac{7}{4}\qquad\Longrightarrow\qquad \phi_A = 60^{\mathrm o}\,15'\,18.43'' \end{equation*}

Enseguida calculamos el ángulo formado por los lados \overline{AB} y \overline{BC}. En este caso, m_1 = m_{BC} = 4 y m_2 = m_{AB} = -2/3. Ahora sustituimos en la fórmula:

    \begin{eqnarray*} \tan\phi_B &=& \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1\cdot m_2} \\            &=& \frac{\displaystyle\frac{-2}{3} - 4}{\displaystyle 1 + 4\cdot \frac{-2}{3}} = \frac{-\displaystyle\left(\frac{14}{3}\right)}{\displaystyle 1 - \frac{8}{3}}\\            &=& \frac{-\displaystyle\left(\frac{14}{3}\right)}{-\displaystyle\left(\frac{5}{3}\right)} = \frac{\displaystyle\left(\frac{14}{3}\right)}{\displaystyle\left(\frac{5}{3}\right)}             =  \frac{14}{5} \end{eqnarray*}

Y el ángulo interno mide:

    \begin{equation*}    \tan\phi_B = \frac{14}{5}\qquad\Longrightarrow\qquad \phi_B = 70^{\mathrm o}\,20'\,46.23'' \end{equation*}

El último ángulo podemos calcularlo recordando que la suma de los tres ángulos internos del triángulo es igual a 180^{\mathrm o}:

    \begin{eqnarray*}    180 &=& 60^{\mathrm o}\,15'\,18.43'' + 70^{\mathrm o}\,20'\,46.23'' + \phi_C \\    180 &=& 130^{\mathrm o}\,36'\,4.66'' + \phi_C\\    \phi_C &=& = 180 - 130^{\mathrm o}\,36'\,4.66'' = 49^{\mathrm o}\,23'55.34'' \end{eqnarray*}

Verifica que el ángulo \phi_C mide 35^{\mathrm o}\,35'\,57.2'' aplicando la fórmula:

    \begin{equation*}    \tan\phi = \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1\cdot m_2}  \end{equation*}


En el siguiente video se explica el significado de la pendiente.



El ángulo que forma una recta con el eje horizontal es conocido como la inclinación, que es precisamente lo que calculamos en el ejemplo previo. En el siguiente video se explica este concepto matemático.



A continuación se muestra el video en el que se justifica la fórmula para calcular la ángulo entre dos rectas, cuando conoces sus pendientes.



El caso particular de rectas perpendiculares se discute en el siguiente video.




Ejemplo 4

Calcula la inclinación de cada uno de los lados del cuadrilátero que tiene sus vértices en los puntos A(5,2), B(-3,3), C(-2,-1) y D(3,-1).

En el segundo ejemplo de esta sección calculamos el área de este cuadrilátero. Ahora vamos a calcular el ángulo que forma cada lado con el eje x.

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Para eso, utilizaremos la fórmula de pendiente y el hecho de que, si \alpha es el menor ángulo que se forma entre una recta con pendiente m y el eje x, se cumple que: m = \tan\alpha. Iniciamos calculando las pendientes de todos los lados:

    \begin{eqnarray*}    m_{\overline{AB}}      &=& \frac{3 - 2}{-3 -5} = -\frac{1}{7}\qquad\Rightarrow\\    \alpha_{\overline{AB}} &=& \arctan \left(-\frac{1}{7}\right) = 171^{\mathrm o}\,52'\,11.63\\    m_{\overline{BC}}      &=& \frac{-1 -3}{-2 - (-3)} = \frac{-4}{1} = -4 \qquad\Rightarrow\\    \alpha_{\overline{BC}} &=& \arctan \left(-4\right) = 104^{\mathrm o}\,2'\,10.48\\    m_{\overline{CD}}      &=& \frac{-1 - (-1)}{-3 - (-2)} = \frac{0}{-1} = 0\qquad\Rightarrow\\    \alpha_{\overline{CD}} &=& \arctan \left(0\right) = 0^{\mathrm o}\\    m_{\overline{AD}}      &=& \frac{3 - 5}{-1 -2} = \frac{-2}{-3}\qquad\Rightarrow\\    \alpha_{\overline{AD}} &=& \arctan \left(\frac{2}{3}\right) = 33^{\mathrm o}\,41'\,24.24 \end{eqnarray*}


Observa que el segmento \overline{CD} que es paralelo al eje x tiene pendiente igual a cero. Esto es así porque independientemente del incremento que demos a x, \D y siempre será igual a cero. Es decir, ni subimos ni bajamos conforme nos movemos sobre la recta que tiene una pendiente m = 0.


Ejemplo 5

Del pentágono con vértices en los puntos A(2,-1), B(3,1), C(1,4), D(-2,2) y E(-1,-1), calcula:

  • Su perímetro.
  • Las pendientes de todos sus lados.
  • Sus ángulos internos.

  • Empezamos dibujando el pentágono:

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    Primero calculamos las longitudes de todos sus lados para después obtener el perímetro:

        \begin{eqnarray*} % $A(2,-1)$, $B(3,1)$, $C(1,4)$, $D(-2,2)$, $E(-1,-1)$    |\overline{AB}| &=& \sqrt{(3-2)^2 + (1-(-1))^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}\\    |\overline{BC}| &=& \sqrt{(1-3)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\\    |\overline{CD}| &=& \sqrt{(-2-1)^2 + (2-4)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}\\    |\overline{DE}| &=& \sqrt{(-1-(-2))^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}\\    |\overline{AD}| &=& \sqrt{(-1-2)^2 + (-1-(-2))^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}\\ \end{eqnarray*}

    El perímetro es igual a la suma de las longitudes de sus lados:

        \begin{equation*}    P = \sqrt{5} + 2\,\sqrt{13} + 2\,\sqrt{10} \approx 15.7717 \end{equation*}

    Ahora calcularemos las pendientes de sus lados. Pero vamos a intentar hacer uso de la interpretación geométrica de la pendiente:
    Escribiremos el incremento en y dividido por el incremento en x y esa fracción será la pendiente:

        \begin{eqnarray*}    m_{\overline{AB}} &=& \frac{3}{1} = 3 \\    m_{\overline{BC}} &=& \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2} \\    m_{\overline{CD}} &=& \frac{2}{3} \\    m_{\overline{DE}} &=& \frac{-3}{1} = -3 \\    m_{\overline{AE}} &=& \frac{-1}{3} = - \frac{1}{3}\\ \end{eqnarray*}

    Ahora identifica qué lados del pentágono son perpendiculares entre sí a partir de los valores de sus pendientes y de la condición algebraica de perpendicularidad. Finalmente, vamos a calcular los ángulos internos del pentágono.

        \begin{eqnarray*}    \tan\phi_{A} &=& \frac{m_{AE} - m_{AB}}{1 + m_{AB}\cdot m_{AE}} \\               &=& \frac{-1/3 - 3}{1 + 3\cdot (-1/3)}  = \frac{-4/3}{0} \end{eqnarray*}

    Dado que \tan\phi_{A} no está definida, concluimos que \phi_A = 90^{\mathrm o}\;.
    Continuamos calculando el siguiente ángulo:

        \begin{eqnarray*}    \tan\phi_{B} &=& \frac{m_{AB} - m_{BC}}{1 + m_{BC}\cdot m_{AB}} \\              &=& \frac{3 - (-3/2)}{1 + (-3/2)(3)} = \frac{9/2}{-7/2} = -9/7 \\     \phi_{B} &=& \arctan (-\frac{9}{7}) = 127^{\mathrm o}\,52'\,29.94''          \end{eqnarray*}

    El ángulo \phi_C se te queda como ejercicio.
    Continuamos con el ángulo \phi_D:

        \begin{eqnarray*}    \tan\phi_{D} &=& \frac{m_{CD} - m_{DE}}{1 + m_{DE}\cdot m_{CD}} \\              &=& \frac{2/3 - (-3)}{1 + (-3)(2/3)} = \frac{8/3}{-1} = -8/3 \\     \phi_{D} &=& \arctan (-\frac{8}{3}) = 110^{\mathrm o}\,33'\,21.76'' \end{eqnarray*}

    Finalmente, calculamos el ángulo \phi_E:

        \begin{eqnarray*}    \tan\phi_{D} &=& \frac{m_{DE} - m_{AE}}{1 + m_{AE}\cdot m_{DE}} \\              &=& \frac{-1/3 - (-3)}{1 + (-3)(-1/3)} = \frac{-10/3}{2} = -5/3 \\     \phi_{D} &=& \arctan (-\frac{5}{3}) = 120^{\mathrm o}\,57'\,49.52'' \end{eqnarray*}

    Se te queda como ejercicio calcular, para este pentágono:

    • Las longitudes de todas sus diagonales.
    • Su área.

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