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Operaciones con polinomios

Aprenderás la suma, resta, multiplicación y división de polinomios.



Ejemplo 3

Calcula la siguiente resta de polinomios:

    \begin{equation*} ( 7\,x^2 + 3\,x - 1 ) - ( 2\,x^2 - 1\,x + 2 )= \end{equation*}

Aquí debemos aplicar las leyes de los signos primero: vamos a multiplicar por el signo negativo que está a la izquierda del segundo polinomio todos los términos de él:

    \begin{equation*} -(2\,x^2-1x+2)=-2\,x^2+1x-2 \end{equation*}

Ahora procedemos como en el caso de la suma de polinomios, sumando términos semejantes…

    \begin{equation*} 7\,x^2 + 3\,x - 1 - 2\,x^2 + 1x - 2 = 5\,x^2 + 4\,x - 3 \end{equation*}

Entonces,

    \begin{equation*} (7\,x^2 + 3\,x - 1) - (2\,x^2 - 1x + 2) = 5\,x^2 + 4\,x - 3 \end{equation*}


La multiplicación de los polinomios requiere de la aplicación de las reglas de los exponentes.

Empezamos con la multiplicación de un monomio por un polinomio.


Ejemplo 4

Calcula:

    \begin{equation*} \left(3\,x^2\right)\left(2+5\,x+x^2\right)= \end{equation*}

Empezamos recordando que, de acuerdo a la ley distributiva, el monomio 3\,x^2 tiene que multiplicarse por todos los términos del polinomio 2+5\,x+x^2.
Entonces podemos ver que se trata solamente de varias multiplicaciones de un monomio por otro monomio… y esto es algo que ya sabemos hacer.
No olvides aplicar la primera ley de los exponentes…

Empezamos: (3\,x^2)(2)=6\,x^2

\left(3\,x^2\right)(5\,x)=15\,x^3

\left(3\,x^2\right)\left(x^2\right)=3\,x^4

Ahora, el resultado es, de acuerdo a la ley distributiva, igual a la suma de todos los productos de monomios que ya encontramos. Entonces:

    \begin{equation*} \left(3\,x^2\right)\left(2+5\,x+x^2\right)=6\,x^2+15\,x^3+3\,x^4 \end{equation*}


Ahora la multiplicación de un binomio por un polinomio.

El procedimiento para calcular el siguiente producto es, en esencia, el mismo que el del ejemplo anterior, salvo por una pequeña diferencia: aquí debemos aplicar dos veces la ley distributiva, una por cada término del binomio.

Así que no debes espantarte por ver muchos términos en cada uno de los polinomios que se está multiplicando: siempre aplicamos el mismo procedi\-miento: aplicamos la ley distributiva para cada uno de los términos del primer polinomio, multiplicando por todos los términos del segundo polinomio.

Al final, simplificamos sumando términos semejantes y así obtenemos el resultado de esa multiplicación.


Ejemplo 5

Multiplica:

    \begin{equation*} (2 - x)\left(7 - 2\,x + 3\,x^2\right)= \end{equation*}

Empezamos multiplicando el primer término del primer polinomio (2-x) por el segundo polinomio:

    \begin{equation*} (2)\left(7-2\,x+3\,x^2\right)=14-4\,x+6\,x^2 \end{equation*}

Ahora multiplicamos el segundo término del primer polinomio por el segundo polinomio:

    \begin{equation*} (-x)\left(7-2\,x+3\,x^2\right)=-7\,x+14\,x^2-3\,x^3 \end{equation*}

Ahora sumamos los términos semejantes para formar un polinomio, que será el resultado de nuestra multiplicación:

    \begin{equation*} \left(14 - 4\,x + 6\,x^2\right)+\left(-7\,x + 14\,x^2 - 3\,x^3\right)=14 - 11x + 20\,x^2 - 3\,x^3 \end{equation*}

Entonces,

    \begin{equation*} (2 - x)\left(7 - 2\,x + 3\,x^2\right)=14 - 1x + 20\,x^2 - 3\,x^3 \end{equation*}

Con lo que hemos terminado.




Antes de continuar con la división de un polinomio entre un binomio, recordaremos el procedimiento para realizar la división entre números.

Consideremos, por ejemplo, la siguiente división:


 \begin{tabular}{rlr} ~ & ~~ & ~ \\\cline{2-3} \multicolumn{1}{c|}{12}& ~~331 & ~ \\ \end{tabular}
Para realizar esta operación empezamos buscando un número que multiplicado por 12 sea igual a 33, o un poco menor. Ese número es 2, porque 2 \times 12 = 24.

Escribimos 2 “arriba de la casita” y 24 debajo del número 33:


 \begin{tabular}{rlr} ~ & ~~~2 & ~ \\\cline{2-3} \multicolumn{1}{c|}{12}& ~~331 & ~ \\ ~ & ~~24 & \end{tabular}
Lo siguiente consiste en cambiar de signo al número 24 y hacer la suma de los números 33 y -24:


 \begin{tabular}{rlr} ~ & ~~~2 & ~ \\\cline{2-3} \multicolumn{1}{c|}{12}& ~~331 & ~ \\ ~ & $-24$ &~\\\cline{2-3} ~ & ~~~~~~9 \end{tabular}
Ahora “bajamos” el número 1 (del 331) y volvemos a buscar un número que multiplicado por 12 sea igual a 91 o un poco menos. Ese número es 7, porque 12 \times 7 = 84.

De nuevo, tenemos que cambiar el signo del 84 cuando lo escribamos debajo del 91:


 \begin{tabular}{rlr} ~ & ~~~27 & ~ \\\cline{2-3} \multicolumn{1}{c|}{12}& ~~331 & ~ \\ ~ & $-24$ &~\\\cline{2-3} ~ & ~~~~~~91& \\ ~ & ~~~$-84$&\\\cline{2-3} ~ & \hspace{0.7cm}7 \end{tabular}
Entonces, el resultado de dividir 331 entre 12 es igual a 27 enteros y 7/12.

Observa que el residuo de la división (7) se dividió entre 12 (el divisor), porque todavía no lo habíamos dividido (todavía estaba adentro de “la casita“).

Exactamente el mismo procedimiento es el que seguiremos cuando hagamos una división entre polinomios.


Ejemplo 6

Calcula:

    \begin{equation*} (x^2-3\,x-10) \div (x+2)= \end{equation*}

Empezamos identificando el dividendo y el divisor:

  • Dividendo: x^2-3\,x-10
  • Divisor: x+2

Ahora los colocamos en “la casita” para hacer la división:


 \begin{tabular}{rlr} ~ & ~~ & ~ \\\cline{2-3} \multicolumn{1}{c|}{$x+2$}& ~~$x^2-3\,x-10$ & ~ \\ \end{tabular}
Ahora buscamos una expresión que multiplicada por x nos de igual a x^2. Esa expresión es: x.


 \begin{tabular}{rlr} ~ & ~~$x$ & ~ \\\cline{2-3} \multicolumn{1}{c|}{$x+2$}& ~~$x^2-3\,x-10$ & ~ \\ \end{tabular}
Ahora, vamos a multiplicar la expresión que acabamos de encontrar por x+2. Igual que en el caso de la división con números, al resultado le vamos a cambiar el signo y después hacemos la suma algebraica.


 \begin{tabular}{rlr} ~ & ~~$x$ & ~ \\\cline{2-3} \multicolumn{1}{c|}{$x+2$}& ~~$\cancel{x^2}-3\,x-10$ & ~ \\ ~ & $-\cancel{x^2}-2\,x$ &~\\\cline{2-3} ~ & \hspace{5ex}$-5\,x$& \\ \end{tabular}
Ahora bajamos el número -10 del divisor. Al igual que en el caso de la división con números, buscamos una expresión que multiplicada por x nos dé igual a: -5\,x. En este caso, la expresión que buscamos es un número: -5

Ahora multiplicamos este número por x+2 y el resultado lo escribimos debajo del último renglón.

Recuerda que debemos cambiar el signo al resultado de la multiplicación. Después debemos realizar la suma…


 \begin{tabular}{rlr} ~ & ~~$x-5$ & ~ \\\cline{2-3} \multicolumn{1}{c|}{$x+2$}& ~~$x^2-3\,x-10$ & ~ \\ ~ & $-\cancel{x^2}-2\,x$ &~\\\cline{2-3} ~ & \hspace{5ex}$-\cancel{5\,x}-\cancel{10}$& \\ ~ & \hspace{5.5ex} $\cancel{5\,x}+\cancel{10}$ &~\\\cline{2-3} ~ & \hspace{6ex} $0\,x + 0$ & \\ \end{tabular}

Entonces,

    \begin{equation*} (x^2 - 3\,x - 10) \div (x + 2) = \frac{x^2 - 3\,x - 10}{x + 2} = x - 5 \end{equation*}

Una manera de comprobar que el resultado de la división es correcto consiste en multiplicar el divisor por el cociente y sumar el residuo. Debemos obtener como resultado el dividendo.

Para que quede más claro, considera: 331 \div 12 = 27 + (7/12). Para comprobar que el resultado es correcto hacemos: 27 \times 12 + 7 = 331

Ahora aplicamos este mismo principio a la división entre polinomios:

    \begin{equation*} (x + 2) \cdot (x - 5) = x^2 - 3\,x - 10 \end{equation*}


Si se te llega a olvidar cómo realizar una operación con polinomios, basta recordar cómo realizas esa operación con números.

Exactamente el mismo procedimiento es el que vas a utilizar con los polinomios. Esto gracias a que los polinomios en realidad representan números, y como tales deben ser tratados.



Podemos simplificar el procedimiento que utilizamos cuando realizamos la división de un polinomio entre un binomio. Para esto vamos a observar los siguientes arreglos:

     \begin{minipage}{1.0\linewidth} \begin{minipage}{0.5\linewidth} \begin{center} \begin{tabular}{rlr} ~ & ~~$x-5$ & ~ \\\cline{2-3} \multicolumn{1}{c|}{$x+2$}& ~~$x^2-3\,x-10$ & ~ \\ ~ & $-\cancel{x^2}-2\,x$ &~\\\cline{2-3} ~ & \hspace{5ex}$-\cancel{5\,x}-\cancel{10}$& \\ ~ & \hspace{5.5ex} $\cancel{5\,x}+\cancel{10}$ &~\\\cline{2-3} ~ & \hspace{6ex} $0\,x + 0$ & \\ \end{tabular} \end{center} \end{minipage} \begin{minipage}{0.5\linewidth} $$ \begin{array}{rrr|r} 1 & -3 & -10 & -2\\ & -2 & 10 & \\\hline 1 & -5 & \fbox{$0$} & \end{array} $$ \end{minipage} \end{minipage}

Observa que los coeficientes del dividendo están en el primer renglón. El número -2 que está a la derecha de la línea vertical representa el término independiente de x+2, pero le cambiamos el signo.

Para empezar con esta división (sintética) entre los polinomios, bajamos el primer coeficiente del primer renglón hasta el tercer renglón:

    \[\begin{array}{rrr|r} 1 & -3 & -10 & -2\\ & & & \\\hline 1 & & & \end{array}\]

Ahora multiplicamos -2 por 1, y obtenemos -2. Este número lo escribimos en el segundo renglón, pero en la segunda columna:

    \[\begin{array}{rrr|r} 1 & -3 & -10 & -2\\ & -2 & & \\\hline 1 & & & \end{array}\]

Sumamos los números que están en la segunda columna y el resultado lo escribimos en el tercer renglón (misma columna):

    \[\begin{array}{rrr|r} 1 & -3 & -10 & -2\\ & -2 & & \\\hline 1 & -5 & & \end{array}\]

De nuevo, multiplicamos por -2 el último número del tercer renglón, en este caso -5, y el resultado lo escribimos en la siguiente columna del segundo renglón:

    \[\begin{array}{rrr|r} 1 & -3 & -10 & -2\\ & -2 & 10 & \\\hline 1 & -5 & & \end{array}\]

De nuevo, sumamos en columna. Ahora en la tercera columna y el resultado lo escribimos en el tercer renglón:

    \[\begin{array}{rrr|r} 1 & -3 & -10 & -2\\ & -2 & 10 & \\\hline 1 & -5 & \fbox{0} & \end{array}\]

Y hemos terminado.

El último renglón de la tabla nos indica el resultado de la división: x - 5. Solamente debes restar 1 al exponente del dividendo para escribirlo en el divisor. Esta regla se aplica cuando el dividendo es de la forma x - k, siendo k algún número real.

Ahora tú compara este procedimiento con el procedimiento normal de la división de polinomios.

A este procedimiento se le conoce como la división sintética. Al procedimiento normal se le conoce como la división larga.

Es importante mencionar que este procedimiento funciona solamente cuando el divisor de la división es un binomio con un coeficiente del término con literal igual a uno.

Por ejemplo, funciona con divisores como los siguientes: x+7, x-3, x-21, etc., pero \enc{no} funciona con los siguientes: 3\,x+1, 7\,x-11, 2\,x-4, porque el coeficiente del término con literal no es uno.

En estos casos, tienes que igualar el dividendo a cero y despejar x. El resultado es el número que debe ir a la derecha de la casita para la división sintética.

Por ejemplo, si necesitas dividir: x^2 - 3\,x - 10 entre 3\,x + 1, resolvemos 3\,x + 1 = 0 y obtenemos x = -1/3. Entonces, debemos ecribir:

    \[\begin{array}{rrr|r} 1 & -3 & -10 & -1/3\\ & & & \\\hline & & & \end{array}\]

y realiza la división como se mostró.

Debes tener especial cuidado con la división sintética, porque en caso de que desees dividir, por ejemplo: x^5 - x^3 + x^2 + 2\,x + 4 entre x+1 utilizando este procedimiento, debes notar que en el dividendo no aparece un término con x^4. Esto significa que su coeficiente es cero. Entonces, la tabla inicial debe aparecer como sigue:

    \[\begin{array}{cccccc|r} \textcolor{blue}{x^5} & \textcolor{blue}{x^4} & \textcolor{blue}{x^3} & \textcolor{blue}{x^2} & \textcolor{blue}{x} & \textcolor{blue}{k} & \\ 1 & 0 & -1 & 1 & 2 & 4 & -1\\ & & & & & & \\\hline & & & & & & \end{array}\]

Debes tener cuidado con estos casos.

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