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Operaciones con polinomios

Aprenderás la suma, resta, multiplicación y división de polinomios.

Los polinomios son una generalización de nuestro sistema de numeración. Cuando escribimos un número, por ejemplo, 2\,354, queremos decir:

    \begin{eqnarray*} 2\,354&=& 2\,000+300+50+4\\ &=& (2)(1\,000) + (3)(100) + (5)(10) + 4\\ &=& (2)(10^3) + (3)(10^2) + (5)(10^1) + (4)(10^0) \end{eqnarray*}

Ahora, en lugar de utilizar nuestra base decimal, es decir, 10, utilizamos un número x cualquiera:

    \begin{equation*} (2)(\textcolor{red}{10}^3) + (3)(\textcolor{red}{10}^2) + (5)(\textcolor{red}{10}^1) + (4)(\textcolor{red}{10}^0) \qquad\longrightarrow\qquad 2\,\textcolor{red}{x}^3 + 3\,\textcolor{red}{x}^2 + 5\,\textcolor{red}{x} + 4 \end{equation*}

que en este caso tendremos un número en la base x, no en base decimal.


Polinomio

Es una expresión algebraica de la forma:

    \begin{equation*} a_n\,x^n + a_{n-1}\,x^{n-1} + \cdots + a_3\,x^3 + a_2\,x^2 + a_1\,x + a_0 \end{equation*}

donde los coeficientes a_n, a_{n-1},\cdots,a_3, a_2, a_1, a_0 son números reales y los exponentes n, n-1, \cdots, 3, 2, 1 son números enteros positivos. El grado del polinomio es el número n.





Ejemplo 1

Los siguientes son polinomios:

  • x + 1
  • x^2 + x + 1
  • \sqrt{2}\,x^4 - 5\,x^3 - 12\,x^2 + x - \pi
  • \displaystyle\frac{x^5}{5} - \frac{x^4}{4}
  • \displaystyle\frac{1}{2}\,x^2 + \frac{1}{3}\,x + \frac{1}{4}

Observa que los coeficientes pueden ser fracciones o inclusive números irracionales, pero los exponentes necesariamente deben ser números enteros.

Existe un lenguaje específico de los polinomios que consiste en el nombre que se asigna a cada uno, dependiendo del número de términos que contenga.


Clasificación de polinomios

  • Monomio: Es un polinomio que tiene solamente un término.
    Ejemplo: 3\,x^2
  • Binomio: Es un polinomio que tiene exactamente dos términos no semejantes
    Ejemplo: a^2-b^2
  • Trinomio: Es un polinomio que tiene exactamente tres términos no semejantes.
    Ejemplo: x^2+2\,x+1

Como los polinomios son una generalización de los números, las operaciones con polinomios se realizan utilizando los mismos procedimientos que con los números.


Ejemplo 2

Calcula la siguiente suma:

    \begin{equation*} (x^2+5\,x-3)+(2\,x^2-7\,x+12)= \end{equation*}

Podemos considerar al coeficiente del término que contiene a x^2 como el dígito de las centenas en los polinomios.

De manera semejante, podemos considerar al término que contiene a x como el dígito de las decenas en los polinomios.

Finalmente, podemos considerar al término que no contiene a x como el dígito de las unidades.

Cuando realizamos operaciones con números sumamos unidades con unidades, decenas con decenas, centenas con centenas, etc. De la misma manera realizaremos la suma con los polinomios:

    \begin{equation*} (x^2+5\,x-3)+(2\,x^2-7\,x+12)=3\,x^2-2\,x+9 \end{equation*}

Si observas, sumamos por separado:

    \begin{eqnarray*} \mbox{"\textsl{Centenas}":}\qquad x^2 + 2\,x^2 &=& 3\,x^2\\ \mbox{"\textsl{Decenas}": }\qquad 5\,x - 7\,x &=& -2\,x\\ \mbox{"\textsl{Unidades}":}\qquad -3 + 12 &=& 9 \end{eqnarray*}

Y finalmente escribimos el resultado. Hemos sumado los términos que son semejantes.


Debes observar que no podemos sumar un término que tiene a x^2 con otro que tiene a x, porque es como si estuvieramos sumando centenas con decenas… el error consistiría en que no acomodamos los números correctamente alineados con respecto al punto decimal.

El maestro te corrigiría diciendo: estás sumando dos términos que no son semejantes, y siempre debemos sumar téminos semejantes… En otras palabras, estás sumando peras con manzanas.




Términos semejantes

Dos o más términos son semejantes si son monomios que tienen las mismas literales y cada una del mismo grado, es decir, tienen el mismo exponente en su literal respectivo.

Realizar una resta de polinomios es lo mismo que realizar una suma, porque restar significa sumar un número negativo.

Pero para poder realizar correctamente una resta de polinomios, primero debemos aplicar las leyes de los signos, multiplicando por el signo negativo que está antes del segundo polinomio.

Así que, solamente como recordatorio, se da la siguiente definición.


Leyes de los signos

Las leyes de los signos son las siguientes:

  • +\cdot + =+ (más por más es más)
  • +\cdot - =- (más por menos es menos)
  • -\cdot + =- (menos por más es menos)
  • -\cdot - =+ (menos por menos es más)


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