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El número e

Aprenderás la definición del número e.

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En matemáticas se define el número e como la base de la función exponencial natural, también conocida como la base neperiana, debido a que el matemático neper fue el primero en utilizarla. En la lección anterior resolvimos algunos ejemplos que estaban relacionados con el cálculo de interés sobre interés, que también se conoce como interés compuesto.


Ejemplo

María invierte $100.00 pesos en una cuenta del banco que ofrece 8% de interés compuesto anual. ¿Cuál es la tasa promedio mensual?

Si deja su dinero 12 meses en el banco ella obtendrá 8%. En un mes solamente obtendrá una doceava parte del 8%. Es decir, obtendrá: 100 \times 0.08/12, y el monto que alcanzará es:

    \begin{equation*}    100 + 100\cdot\left(\frac{0.08}{12}\right) = 100.66 \end{equation*}


Si el banco aplica el interés cada mes, debe multiplicar el monto que la cuenta tenía al inicio de cada mes por el factor (1 + 0.08/12):


Ejemplo 2

El banco notificó que aplicaría intereses cada mes a las cuentas que se aplica el 8% anual. Si María deja su dinero durante 7 meses, ¿cuánto dinero recibirá al final?

Si ella deja su dinero un mes, recibirá:

    \begin{equation*}    M = 100\cdot\left(1 + \frac{0.08}{12}\right) \end{equation*}

Si lo deja otro mes más, recibirá el interés que se genere en un mes por la cantidad que tenía al inicio del mes:

    \begin{equation*}    M = 100\cdot\left(1 + \frac{0.08}{12}\right) + 100\cdot\left(1 + \frac{0.08}{12}\right)\left(\frac{0.08}{12}\right)  	= 100\cdot\left(1 + \frac{0.08}{12}\right)^2 = 101.34 \end{equation*}

Observa que para calcular el monto del siguiente mes siempre multiplicamos por (1 + 0.08/12). Entonces, para obtener el monto final de su inversión a los 7 meses, hacemos:

    \begin{equation*}    M = 100\cdot\left(1 + \frac{0.08}{12}\right)^7 = 104.74\mbox{ pesos.} \end{equation*}


Ahora veamos qué sucede en el caso en que el banco, en lugar de aplicar los intereses mensuales los aplicará diariamente.


Ejemplo 3

Si el banco, en lugar de aplicar el interés mensualmente como en el ejemplo anterior, los aplica diariamente el factor de multiplicación debe cambiar.

Para calcular el factor anterior dividimos la tasa de interés entre 12, porque en un año hay 12 meses. Ahora se aplicará diario. Considerando un año no bisiesto, tenemos que dividir entre 365 días. Entonces, el factor se convierte en: (1 + 0.08/365), y la fórmula para calcular el monto M acumulado después de x días en esa cuenta es:

    \begin{equation*}    M = 100\cdot \left(1 + \frac{0.08}{365}\right)^x \end{equation*}

En un mes hay 30 días. Aplicando el interés diariamente, en un mes obtendría:

    \begin{equation*}     M = 100\cdot\left(1 + \frac{0.08}{365}\right)^{30} = 100.66 \end{equation*}

Y en siete meses de 30 días tenemos:

    \begin{equation*}    M = 100\cdot\left(1 + \frac{0.08}{365}\right)^{210} = 104.71\mbox{ pesos.} \end{equation*}


Ahora imagina que el interés no se compone cada día sino cada hora. ¿Y qué pasará si en lugar de componer el interés cada hora se compone cada minuto o cada segundo? Lo que pasará es que el factor va a cambiar cada vez. Para este caso, lo que tenemos es una variación exponencial, donde la base ha cambiado conforme cambiamos el tiempo en que se aplica el interés al monto que hay en la cuenta.

Para el primer ejemplo, cuando el interés se aplicaba cada mes el factor de multiplicación, o bien,
la base a de la variación exponencial era 1 + 0.08/12. Para calcular el monto que se obtiene al año usamos:

    \begin{equation*}    M = 100\cdot \left(1 + \frac{0.08}{12}\right)^{12} = 108.30 \end{equation*}

Para el caso en que el interés se aplica cada día esa base cambió a 1 + 0.08/365 y en un año obtuvo:

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    \begin{equation*}    M = 100\cdot \left(1 + \frac{0.08}{365}\right)^{365} = 108.33 \end{equation*}

Observa que el monto al final del año ha cambiado en 3 centavos. Si componemos el interés en cada hora, o en cada minuto en segundos, ¿cómo crees que cambiará el monto al final del año?


Ejemplo 4

Haz una comparación del monto final de un peso invertido con una tasa anual del 100% considerando aplicación de interés en un año, un mes, un día, una hora, un minuto, un segundo y una centésima de segundo.

Sabemos que el monto inicial es de $1.00 peso. La tasa de interés es del 100% anual. Empezamos haciendo el cálculo para el primer caso:

    \begin{equation*}    M = (1 + 1)^1 = 2 \end{equation*}

Ahora calculamos el caso cuando el interés se aplica mensualmente:

    \begin{equation*}    M = \left(1 + \frac{1}{12}\right)^{12} = 2.6130352902246781603 \end{equation*}

Si el interés se aplica diariamente tenemos:

    \begin{equation*}    M = \left(1 + \frac{1}{365}\right)^{365} = 2.7145674820218743032 \end{equation*}

Si el interés se aplica cada hora obtenemos:

    \begin{equation*}    M = \left(1 + \frac{1}{(365)(24)}\right)^{(365)(24)} = 2.7181266916204521189 \end{equation*}

Si el interés se aplica cada minuto obtenemos:

    \begin{equation*}    M = \left(1 + \frac{1}{(365)(24)(60)}\right)^{(365)(24)(60)} = 2.7182792425790150990 \end{equation*}

Si el interés se aplica cada segundo obtenemos:

    \begin{equation*}    M = \left(1 + \frac{1}{(365)(24)(60)(60)}\right)^{(365)(24)(60)(60)} = 2.7182817784689974 \end{equation*}

Finalmente, si el interés se aplica cada centésima de segundo obtenemos:

    \begin{equation*}    M = \left(1 + \frac{1}{(365)(24)(60)(60)(100)}\right)^{(365)(24)(60)(60)(100)} = 2.7182818479376385 \end{equation*}


Si seguimos disminuyendo el tamaño del tiempo entre los cuales se aplican los intereses hasta obtener la tasa de crecimiento instantánea del dinero, vamos a obtener un número constante. Este número constante se denomina con la letra e y es la base de la función exponencial natural.


Función exponencial (natural)

El número irracional

    \[e = 2.7182818284590452353602874713526624977572470937\cdots\]

es la base de la función exponencial natural:

    \begin{equation*}    y = e^x \end{equation*}


Observa que la base de la función exponencial está entre 2 y 3. Esto nos indica que la gráfica de la función exponencial debe estar entre las gráficas de las funciones y = 2^x, y y = 3^x, pero poco más cerca de la última. ¿Por qué?


Ejemplo 5

Grafica la función exponencial:

    \begin{equation*}    y = e^x \end{equation*}

Podemos dar valores a x y calcular sus valores correspondientes para y con la ayuda de la calculadora científica. Aunque también podemos aproximarlos observando que e = 2.71828\cdots\approx 3.

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