Solución de ecuaciones cuadráticas: Método Gráfico

A partir de los ejemplos anteriores podemos interpretar las raíces de una ecuación cuadrática. Cuando resolvemos la ecuación cuadrática: $a\,x^2 + b\,x + c = 0$ , en realidad estamos encontrando los puntos donde la gráfica de la función: $y = a\,x^2 + b\,x + c$ corta al eje $x$ . Para calcular las raíces siempre podemos utilizar la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado:

$\begin{equation*} x = \displaystyle\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\,ac}}{2\,a} \end{equation*}$

El símbolo $\pm$ indica que hay dos valores:

$\begin{eqnarray*} x_1 &=& \frac{-b+\sqrt{b^2-4\,ac}}{2\,a} \quad = \quad \frac{-b}{2\,a} + \textcolor{blue}{\frac{\sqrt{b^2-4\,ac}}{2\,a}}\\ x_2 &=& \frac{-b-\sqrt{b^2-4\,ac}}{2\,a} \quad = \quad \frac{-b}{2\,a} - \textcolor{red}{\frac{\sqrt{b^2-4\,ac}}{2\,a}} \end{eqnarray*}$

Si calculamos el promedio de estos valores, obtenemos:

$\begin{eqnarray*} \bar{x} &=& \displaystyle\frac{x_1 + x_2}{2}\\ &=&\frac{\displaystyle\frac{-b}{2\,a} \textcolor{red}{+} \cancel{\displaystyle\frac{\sqrt{b^2-4\,ac}}{2\,a}} + \displaystyle\frac{-b}{2\,a} \textcolor{red}{-} \cancel{\displaystyle\frac{\sqrt{b^2-4\,ac}}{2\,a}}}{2}\\ &=& \frac{\left(\displaystyle\frac{-\cancel{2}\,b}{\cancel{2}\,a}\right)}{2} = \displaystyle\frac{-b}{2\,a} \end{eqnarray*}$

Por lo que el promedio de las raíces es $\bar{x} = x_v = -b/(2\,a)$ . Observa que $x_1$ está a la derecha porque al valor $x_v$ le sumamos una cantidad positiva, e igual a:

$\begin{equation*} \frac{\sqrt{b^2-4\,ac}}{2\,a} \end{equation*}$

Por otra parte, $x_2$ está a la izquierda porque restamos esa misma cantidad a $x_v$ . Podríamos decir que esta es la razón por la que $x_v$ está a la misma distancia de las raíces $x_1$ y $x_2$ . Sin embargo, la verdadera razón está justificada en la simetría de la parábola, que es la que nos permitió calcular $x_v = \bar{x}$ a partir del promedio de $x_1$ y $x_2$ .

En la gráfica anterior se ha supuesto que la ecuación tiene dos raíces reales. Esto es así porque la gráfica corta al eje $x$ en dos puntos.

Sin embargo, también es posible que la parábola toque en solamente un punto al eje. En este caso, ambas raíces son iguales, debido a que $b^2-4\,ac=0$ .

Un posible tercer caso ocurre cuando la parábola no corta al eje $x$ . Esto ocurrirá en caso de que $b^2-4\,ac < 0$ .

Debido a que el número $b^2-4\,ac$ nos indica qué ocurre con las raíces de la ecuación cuadrática, se le ha dado un nombre especial: discriminante.

Contenido

1 Discriminante
2 Ejemplo 4
3 Ejemplo 5
4 Multiplicidad
5 Ejemplo 6
6 Reto

Discriminante

El discriminante de la ecuación cuadrática: $a\,x^2 + b\,x + c = 0$ es el número:

$\begin{equation*} D = b^2 - 4\,ac \end{equation*}$

Esto nos origina tres casos para las raíces de una ecuación cuadrática:

$D > 0$ , las dos raíces son números reales distintos.
$D = 0$ , las dos raíces se repiten, y son iguales a: $x = -b / (2\,a)$ .
$D < 0$ , las dos raíces son números complejos.

El discriminante nos ayuda a conocer la naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática sin necesidad de resolverla. Basta con conocer el signo del discriminante para conocer el tipo de raíces que tiene la ecuación cuadrática que estamos estudiando.

Ejemplo 4

Resuelve la siguiente ecuación cuadrática por el método gráfico:

$\begin{equation*} x^2 - 4\,x + 4 = 0 \end{equation*}$

Empezamos calculando el discriminante para averiguar la naturaleza de las raíces:

$\begin{equation*} b^2 - 4\,ac = (-4)^2 - 4\,(1)(4) = 0 \end{equation*}$

Esto nos indica que la ecuación tiene las dos raíces repetidas. Calculamos el valor de la raíz (repetida) usando $x_v = -b/(2a)$ :

$\begin{equation*} x_v = -\displaystyle\frac{b}{2\,a} = -\frac{-4}{2\,(1)} = \frac{4}{2} = 2 \end{equation*}$

Entonces, la raíz de la ecuación cuadrática es: $x = 2$ . Para verificar que la raíz es correcta, basta sustituir $x = 2$ en la ecuación:

$\begin{equation*} x^2 - 4\,x + 4 = 0\qquad\Rightarrow\qquad (2)^2 - 4\,(2) + 4 = 0 \end{equation*}$

Ahora graficamos la función: $y = x^2 - 4\,x + 4$

Ahora puedes verificar la naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática antes de resolverla.

Ejemplo 5

Identifica la naturaleza de las raíces e indica cuántas tiene cada una de las siguientes ecuaciones a partir del cálculo del discriminante.

Llena la siguiente tabla:

Ecuación	Discriminante	Número de raíces	Naturaleza
$a\,x^2 + b\,x + c = 0$	$b^2 - 4\,ac$
$x^2 - 5\,x + 6 = 0$	1	2	Reales
$x^2 + 6\,x + 21 = 0$	$-48$	2	Complejas
$x^2 - 6\,x + 9 = 0$	$0$	1	Reales repetidas
$5\,x^2 + 3\,x + 2 = 0$	$-31$	2	Complejas
$x^2 + 3\,x + 2 = 0$	$1$	2	Reales
$x^2 - 3\,x - 12 = 0$	57	2	Reales

Estrictamente hablando, una ecuación cuadrática siempre tiene dos raíces. Cuando encontramos solamente una, lo que en realidad está pasando es que ambas raíces son iguales. Por ejemplo, en el caso de la ecuación $x^2 + 2\,x + 1 = 0$ , podemos reescribirla de la siguiente forma:

$\begin{equation*} (x + 1)^2 = (x + 1)(x + 1) = 0 \end{equation*}$

Obviamente, para que el producto indicado sea igual a cero, necesariamente $x$ debe ser igual a $-1$ . Como el factor $(x + 1)$ se repite dos veces, ambas raíces son iguales. Debido a esto decimos que la raíz tiene multiplicidad 2.

Multiplicidad

Sea $x_0$ una de las raíces de una ecuación. Si esta raíz aparece $k$ veces como raíz de la ecuación considerada, decimos que esa raíz tiene multiplicidad $k$ .

Ahora indica la multiplicidad de las raíces de las ecuaciones del ejemplo anterior.

Ejemplo 6

Varios amigos decidieron comprar un boleto de una rifa cooperando en partes iguales. Cuando el papá de Adán se enteró, les pidió oportunidad de arriesgar su dinero junto con el de ellos y aceptaron. Por esto cada uno de los demás pagó $10.00 pesos menos. ¿Cuántas personas cooperaron para comprar ese boleto que costaba $1,320.00 pesos?

Sabemos que $n$

amigos en total, más el papá de Adán cooperaron para comprar el boleto. Y que el boleto costaba $1,320.00 pesos. Si el papá de Adán no hubiera cooperado, cada uno debería colaborar con:

$\begin{equation*} \frac{1\,320}{n} \end{equation*}$

Pero ahora no son en total $n$ personas, sino $n+1$ , con lo que cada uno arriesgó:

$\begin{equation*} \frac{1\,320}{n+1} \end{equation*}$

La diferencia entre estos dos valores es igual a $10.00 pesos, la cantidad que ahorraron después que el papá de Adán ingresó al grupo:

$\begin{equation*} \frac{1\,320}{n} - \frac{1\,320}{n+1} = 10 \end{equation*}$

Para saber cuántas personas cooperaron ( $n+1$ ), primero debemos resolver la ecuación anterior. Es importante hacer notar que al resolver la ecuación encontraremos el valor del número de amigos que decidieron comprar el boleto, $n$ . Este número no incluye al papá de Adán, así que tendrán que sumar 1 al resultado de la ecuación. Para resolver la ecuación multiplicamos en ambos lados de la igualdad por $n\,(n+1)$ :

$\begin{eqnarray*} \frac{1\,320}{n} - \frac{1\,320}{n+1} &=& 10\\ 1\,320\,(n+1) - 1\,320\,n &=& 10\,n\,(n+1)\\ \cancel{1\,320\,n} + 1\,320 - \cancel{1\,320\,n} &=& 10\,n\,(n+1)\\ 1\,320 &=& 10\,n\,(n+1)\\ 132 &=& n\,(n+1) \end{eqnarray*}$

Primer Método

Desarrollamos el producto que quedó indicado a la derecha de la igualdad:

$\begin{eqnarray*} n\,(n+1) &=& 132\\ n^2 + n - 132 &=& 0 \end{eqnarray*}$

Ahora debemos resolver la ecuación cuadrática utilizando factorización. Buscamos dos números que sumados den 1 y multiplicados sean $-132$ .

Un truco para simplificar la búsqueda de los números consiste en empezar buscando dos números que multiplicados sean igual a $-132$ . Otro truco que nos ayuda a simplificar la búsqueda consiste en observar que el coeficiente del término lineal es positivo, lo cual indica que el mayor de los dos números es positivo. Esos números son 12 y $-11$ :

$\begin{eqnarray*} n^2 + n - 132 &=& 0\\ (n - 11)(n + 12) &=& 0 \end{eqnarray*}$

Ahora vemos que el producto de dos números es cero. Esto implica que uno de ellos debe ser cero.

Primer caso: $n - 11 = 0\qquad\Rightarrow\qquad n = 11$ . Obviamente $n$ , que representa el número de amigos que acordó comprar el boleto de la rifa, no puede ser negativo, que es precisamente el resultado que obtenemos en el siguiente caso.
Segundo caso: $n + 12 = 0\qquad\Rightarrow\qquad n = -12$ . Ahora sabemos que $n = 11$ , pero no nos preguntaron cuántos amigos decidieron cooperar para comprar el boleto, sino cuántos cooperaron, y eso incluye al papá de Adán.

Entonces, la solución del problema es $n + 1 = 11 + 1 = 12$ personas cooperaron.

Segundo Método

Aquí utilizamos la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado:

$\begin{eqnarray*} n^2 + n - 132 &=& 0\\ n &=& \frac{-1\pm\sqrt{1 - 4\,(1)(-132)}}{2\,(1)}\\ &=& \frac{-1\pm\sqrt{1 + 528}}{2}\\ &=& \frac{-1\pm\sqrt{529}}{2}\\ &=& \frac{-1\pm23}{2}\\ \end{eqnarray*}$

Y ahora encontramos las raíces de la ecuación:

$\begin{eqnarray*} n_1 &=& \frac{-1+23}{2} = \frac{22}{2} = 11\\ n_2 &=& \frac{-1-23}{2} = \frac{-24}{2} = -12\\ \end{eqnarray*}$

De nuevo, el valor de $n$ debe ser positivo por las condiciones del problema, así que $n + 1 = 12$ es el valor que buscamos. Observa que como en este caso la ecuación no incluye la variable $x$ , sino $n$ , la fórmula general se escribe como:

$\begin{equation*} n = \frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4\,ac}}{2\,a}\\ \end{equation*}$

Tercer Método

Es importante notar del problema que $n$ debe ser un número entero, porque no es posible que 7.5 personas, por ejemplo, acuerden cooperar para comprar un boleto.
Ahora observa que $n\,(n+1)$ es el producto de dos números consecutivos, y que este producto es un poco mayor que 100.
Podemos fácilmente probar valores cercanos, pero mayores a 10 y así encontrar la solución de la ecuación.
Si $n = 11$ , entonces, $n+1 = 12$ y $11\times12 = 132$ . Desde luego, no es necesario probar $10\times11$ porque 132 no termina en cero.

Por lo tanto, si $n = 11$ era el número de amigos que acordaron comprar el boleto y eran en total $n + 1 = 12$ cuando el papá de Adán se unió al equipo.

Tarea

Graficar la función y obtener una aproximación de las raíces (aunque ya las conoces).
Se te queda como ejercicio verificar que las raíces de la ecuación cuadrática $n^2 + n - 132 = 0$ , satisfacen la ecuación fraccionaria que obtuvimos del problema:
$\begin{equation*} \frac{1\,320}{n} - \frac{1\,320}{n+1} = 10 \end{equation*}$
Esto mostrará que las ecuaciones son equivalentes. Es decir, tienen las mismas soluciones, y por tanto, representan las mismas condiciones, que son las impuestas por el problema textual.