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Solución de ecuaciones cuadráticas: Método Gráfico

Aprenderás a resolver ecuaciones cuadráticas aplicando el método gráfico.

El último método que estudiaremos es el más sencillo. Se trata de considerar a la ecuación como una máquina que transforma los números. Para eso, crearemos una función.


Función (Definición Informal)

Es una máquina en forma de una fórmula que nos ayuda a transformar los números. Nosotros le damos un valor y la máquina nos devuelve a lo más otro valor. Es posible que nosotros le demos un valor y ella no nos devuelva valor alguno, pero no es posible que cuando le demos un valor la máquina nos devuelva más de uno.

Los valores que la máquina puede transformar, o sea, los valores que nosotros le vamos a dar a la máquina forman un conjunto que se llama \text{\textcolor{blue}{dominio}} de la función. Los valores que la máquina nos devuelve forman otro conjunto que se llama \text{\textcolor{blue}{rango}} o \text{\textcolor{blue}{contradominio}} de la función.

Para entender mejor este concepto, puedes ver el diagrama que estudiamos en la lección titulada Interpretación gráfica de la sección Ecuaciones lineales.

Algunos ejemplos de funciones son:

  • f(x) = 1 - 2\,x
  • g(x) = x^2
  • h(x) = \sqrt{x+1}
  • y = \displaystyle\frac{1}{x}

A partir de la ecuación a\,x^2 + b\,x + c = 0, creamos la función: y = a\,x^2 + b\,x + c.

Vamos a graficar esta función y después vamos a encontrar los puntos donde la gráfica de la función corta al eje x, porque precisamente en el eje x, y = 0.


Ejemplo 1

Por el método gráfico, resuelve la ecuación:

    \begin{equation*}    x^2 - 1 = 0 \end{equation*}

Lo que deseamos encontrar son los valores de x para los cuales x^2 - 1 se hace cero.
Pero x^2 - 1 = 0 en palabras nos dice: pensé un número, lo multipliqué por sí mismo, le resté uno y obtuve cero. Entonces, antes de restar 1, tenía 1, porque la diferencia fue cero.

    \begin{equation*}    x^2 = 1 \end{equation*}

La ecuación escrita de esta forma nos dice en palabras: pensé un número, cuando lo multipliqué por sí mismo obtuve uno. Aquí la solución inmediata es x = 1. Pero si piensas un poco más, te darás cuenta que x = -1 también es solución, porque: (-1)^2 = 1. Los valores que deseabamos encontrar son: x = 1 y x = -1. Elaboremos la gráfica de la función: y = x^2 - 1.

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De la gráfica podemos ver que las intersecciones sobre el eje x son:

    \begin{eqnarray*}    x_1 &=& 1\\    x_2 &=& -1 \end{eqnarray*}

Nosotros buscamos los puntos donde la gráfica corta al eje x, porque sobre este eje y=0, y tenemos en esos casos, la solución de la ecuación.


Observa que este método solamente funciona cuando tenemos una ecuación que tiene soluciones reales. Porque si la gráfica de la función no corta al eje x, entonces no podremos decidir qué valores de x hacen que la ecuación se haga cero.


Ejemplo 2

Resuelve la siguiente ecuación cuadrática:

    \begin{equation*}    x^2 - 4\,x + 1 = 0 \end{equation*}

por el método gráfico.

Empezamos graficando la función: y = x^2 - 4\,x + 1
Para graficar, empezamos calculando las coordenadas de los puntos a partir de unos valores de x:\\

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Como el vértice se encuentra en el punto (2,3), podemos escribir la ecuación de la forma:

    \begin{equation*}    x^2 - 4\,x + 1 = (x-2)^2 - 3 = 0 \end{equation*}

Para verificarlo, puedes desarrollar el binomio al cuadrado.
¿Cómo obtuvimos este resultado? Usamos el método de factorización.
En este caso completamos el cuadrado perfecto:

    \begin{eqnarray*}    x^2 - 4\,x + 1 &=& (x^2 - 4\,x + 1) + (4 - 4)\\                &=& (x^2 - 4\,x + 4) + (1 - 4)\\                &=& (x - 2)^2 - 3 \end{eqnarray*}

Observa que si x = 2, el binomio elevado al cuadrado tiene su mínimo valor: (x - 2)^2 = 0.
Y en ese caso, la gráfica pasa por el punto (2,-3). Este punto es el vértice de la parábola.
Para resolver la ecuación podemos utilizar el método de despeje:

    \begin{eqnarray*}    (x - 2)^2 - 3 = 0\qquad&\Rightarrow&\qquad (x - 2)^2 = 3\\    x - 2 = \pm\sqrt{3}\qquad&\Rightarrow&\qquad x = 2\pm\sqrt{3} \end{eqnarray*}

Estas son las raíces que se muestran en la gráfica de la función que le corresponde a la ecuación.


Algunas veces, en geometría algunos problemas se resuelven a través de ecuaciones cuadráticas.


Ejemplo 3

Encuentra los puntos donde se intersectan la recta: x + 2\,y = 10 y la parábola: y = x^2.

Para resolver este problema empezamos graficando ambas ecuaciones en un mismo plano cartesiano.

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Hasta aquí, parece que uno de los puntos de intersección es: (2,4), pero vamos a probarlo de manera algebraica.
En los puntos de intersección de ambas gráficas, los valores de las coordenadas de esos puntos deben coincidir para ambas ecuaciones.
Esto nos permite igualar alguna de las variables, por ejemplo: y.
Despejamos esta variable de la primera ecuación:

    \begin{equation*}    y = -\displaystyle\frac{x}{2} + 5 \end{equation*}

Ahora, igualamos con la otra ecuación, que ya nos dieron despejada:

    \begin{eqnarray*}    y = x^2 &=& -\displaystyle\frac{x}{2} + 5\\    x^2 + \displaystyle\frac{x}{2} - 5&=& 0\\    2\,x^2 + x - 10 &=& 0 \end{eqnarray*}

Para resolver el problema tenemos que encontrar las soluciones de esta ecuación.
Vamos a utilizar, de nuevo, el método gráfico:

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Ahora podemos usar la fórmula general para encontrar las raíces de esta ecuación con mayor precisión:

    \begin{eqnarray*} x &=& \displaystyle\frac{-1\pm\sqrt{1^2 - 4\,(2)(-10)}}{2\,(2)}\\   &=& \displaystyle\frac{-1\pm\sqrt{81}}{4}     =  \displaystyle\frac{-1\pm 9}{4} \end{eqnarray*}

Consecuentemente,

    \begin{eqnarray*}    x_1 = \displaystyle\frac{-1 + 9}{4} = 2\qquad&\mbox{ y }&\qquad x_2 = \displaystyle\frac{-1-9}{4} = -\frac{5}{2} \end{eqnarray*}

Para encontrar las coordenadas de y que le corresponden a cada uno de los puntos podemos utilizar cualquiera de los despejes:

    \begin{eqnarray*}    y = x^2\qquad\Rightarrow\\    y_1 = (2)^2 = 4\qquad&\mbox{ y }&\qquad y_2 = \left(-\displaystyle\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4} \end{eqnarray*}

Entonces, los puntos donde se intersectan las gráficas, es decir, la solución del sistema es: (2,4) y \left(-\displaystyle\frac{5}{2},\frac{25}{4}\right).

Cabe mencionar que la ecuación: 2\,x^2 + x - 10 = 0 representa al sistema de ecuaciones del problema y que las intersecciones con el eje x de:

    \[y = 2\,x^2 + x - 10\]

son las mismas que las intersecciones de la recta: x + 2\,y = 10 con la parábola: y = x^2.


Como se puede concluir del ejemplo anterior, el método gráfico es muy sencillo de utilizar, pero algunas veces no nos da información precisa. Con él podemos saber aproximadamente cuál es la solución del sistema de ecuaciones, o de la ecuación cuadrática.


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