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Solución de ecuaciones cuadráticas: Método de fórmula general

Aprenderás a resolver ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado.

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Ahora vamos a utilizar el método infalible. La siguiente fórmula matemática, que llamaremos fórmula general nos ayudará a resolver cualquier ecuación cuadrática.


Fórmula General

La fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado es la siguiente:

    \begin{equation*} x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\,ac}}{2\,a} \end{equation*}

donde a,b,c son los coeficientes de la ecuación cuadrática: a\,x^2 + b\,x + c = 0.


Para resolver ecuaciones de segundo grado usando la fórmula general, primero debemos identificar los valores de los coeficientes.


Ejemplo 1

Resuelve la siguiente ecuación cuadrática:

    \begin{equation*} x^2 + 2\,x - 1 = 0 \end{equation*}

Observa que en este caso no podemos hacer la factorización, porque:

  • El trinomio cuadrado no es perfecto, y
  • No hay dos números enteros que sumados den 2 y multiplicados den -1.

En estos casos, la fórmula general es la que nos salva. Los coeficientes en este caso son: a = 1, b = 2, y c = -1. Vamos a sustituir los coeficientes en la fórmula y después realizamos los cálculos que quedan indicados.

    \begin{eqnarray*} x &=& \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\,ac}}{2\,a}\\ &=& \frac{-(2) \pm\sqrt{(2)^2 - 4\,(1)(1)}}{2\,(1)}\\ &=& \frac{-2 \pm\sqrt{3 - (-4)}}{2}\\ &=& \frac{-2\pm\sqrt{8}}{2} \end{eqnarray*}

El radicando puede ser factorizado como 8 = 2^3 = 2 \cdot 2^2, y después, simplificar:

    \begin{eqnarray*} x &=& \frac{-2\pm\sqrt{2\cdot 2^2}}{2}\\ &=& \frac{-2\pm2\,\sqrt{2}}{2}\\ \end{eqnarray*}

Podemos simplificar, dividiendo entre dos:

    \begin{eqnarray*} x = &=& -\frac{\cancel{2}}{\cancel{2}}\pm\displaystyle\frac{\cancel{2}\,\sqrt{2}}{\cancel{2}}\\ &=& -1 \pm \sqrt{2} \end{eqnarray*}

Y las soluciones de la ecuación cuadrática son:

    \begin{eqnarray*} x_1 &=& -1 + \sqrt{2}\\ x_2 &=& -1 - \sqrt{2} \end{eqnarray*}

Para verificar que las soluciones de la ecuación cuadrática son correctas podemos utilizar el método de factorización. Al sumar las raíces debemos obtener el negativo del coeficiente del término lineal, y al multiplicarlos, debemos obtener término independiente.

    \begin{eqnarray*} x_1 + x_2 = -2 \qquad&\Rightarrow&\qquad \left(-1 + \cancel{\sqrt{2}}\right) + \left(-1 - \cancel{\sqrt{2}}\right)\\ (x_1)(x_2)= -1 \qquad&\Rightarrow&\qquad \left(-1 + \sqrt{2}\right) \cdot \left(-1 - \sqrt{2}\right) \end{eqnarray*}


En la comprobación tanto la suma de las raíces como la multiplicación son muy sencillas.

Para realizar la multiplicación de una manera sencilla aplica el producto de binomios conjugados: el resultado es una diferencia de cuadrados.


Reto

Explica por qué la suma de las raíces debe ser igual al negativo del coeficiente del término lineal


Ejemplo 2

Resuelve la siguiente ecuación cuadrática:

    \begin{equation*} 5\,{x}^{2} + 57\,x - 36 = 0 \end{equation*}

Esta ecuación sí se puede resolver por el método de factorización, pero sería muy laborioso.
Preferimos usar el método de la fórmula general:

    \begin{eqnarray*} x &=& \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\,ac}}{2\,a}\\ &=& \frac{-(57) \pm\sqrt{(57)^2 - 4\,(5)(-36)}}{2\,(5)}\\ &=& \frac{-57\pm\sqrt{3\,249 - (-720)}}{10}\\ &=& \frac{-57\pm\sqrt{3\,936}}{10} \end{eqnarray*}

El número 3969 = 63^2, así que podemos simplificar el radicando:

    \begin{eqnarray*} x &=& \frac{-57 \pm \sqrt{63^2}}{10}\\ &=& \frac{-57 \pm 63}{10} \end{eqnarray*}

Ahora encontramos las dos raíces:

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    \begin{eqnarray*} x_1 &=& \frac{-57 + 63}{10} = \displaystyle\frac{6}{10} = \frac{3}{5}\\ x_2 &=& \frac{-57 - 63}{10} = \frac{-120}{10} = -12 \end{eqnarray*}

Esto quiere decir que podemos reescribir la ecuación de la siguiente manera equivalente:

    \begin{equation*} (x + 12)\left(x - \displaystyle\frac{3}{5}\right) = 0 \end{equation*}

Y al multiplicar ambos lados de la igualdad por 5, obtenemos una ecuación equivalente que no incluye fracciones:

    \begin{equation*} (x + 12)(5\,x - 3) = 0 \end{equation*}

Ahora que conoces la factorización, se te queda como ejercicio multiplicar los binomios para verificar que las ecuaciones son equivalentes y después realizar la comprobación sustituyendo las raíces en la ecuación.


Algunas veces encontraremos ecuaciones que al simplificarse, se reducen a una ecuación cuadrática.

En estos casos, después de haber expresado la ecuación en la forma a\,x^2 + b\,x + c = 0, debemos reconocerla como tal y proceder a su solución por cualquiera de los métodos que ya hemos estudiado.


Ejemplo 3

Resuelve la siguiente ecuación:

    \begin{equation*} \frac{5}{x+2} - \frac{1}{x-2} = 3 \end{equation*}

Esta ecuación, para empezar, ni siquiera parece cuadrática. Vamos a simplificarla, para ver si podemos resolverla usando la fórmula general. Para esto, vamos a multiplicar ambos lados de la igualdad por ambos denominadores:

    \begin{eqnarray*} \frac{5\,\cancel{(x+2)}(x-2)}{\cancel{x+2}} - \frac{(x+2)\cancel{(x-2)}}{\cancel{x-2}} &=& 3\,(x+2)(x-2)\\ 5\,(x - 2) - (x + 2) &=& 3\,(x^2 - 4)\\ 5\,x - 10 - x - 2 &=& 3\,x^2 - 12\\ -3\,x^2 + 4\,x &=& 0 \end{eqnarray*}

Esta ecuación cuadrática puede resolverse fácilmente utilizando el método de factorización. Sin embargo, vamos a utilizar la fórmula general:

    \begin{eqnarray*} x &=& \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\,ac}}{2\,a}\\ &=& \frac{-(4) \pm\sqrt{(4)^2 - 4\,(-3)(0)}}{2\,(-3)}\\ &=& \frac{-4\pm\sqrt{16 - (0)}}{-6}\\ &=& \frac{-4\pm\sqrt{16}}{-6} \end{eqnarray*}

Como \sqrt{16}=4, tenemos:

    \begin{eqnarray*} x &=& \frac{-4 \pm 4}{-6}\\ x_1 &=& \frac{-4+4}{-6} = 0\\ x_2 &=& \frac{-4-4}{-6} = \frac{-8}{-6} = \frac{4}{3} \end{eqnarray*}

Ahora tú realiza la comprobación.



Ejemplo 4

Resuelve la siguiente ecuación:

    \begin{equation*} \displaystyle\frac{8}{x-1} - \frac{1}{x+1} = 1 \end{equation*}

De nuevo, simplificamos la ecuación, multiplicando ambos lados de la igualdad por ambos denominadores:

    \begin{eqnarray*} \frac{8\,(\cancel{x-1})(x+1)}{\cancel{x-1}} - \frac{(x-1)(\cancel{x+1})}{\cancel{x+1}} &=& (x-1)(x+1)\\ 8\,(x+1) - (x-1) &=& x^2 - 1\\ 8\,x + 8 - x + 1 &=& x^2 - 1\\ 7\,x + 9 &=& x^2 - 1\\ -x^2 + 7\,x + 10 &=& 0 \end{eqnarray*}

Pero todavía podemos multiplicar por -1 ambos lados de la anterior igualdad y obtener:

    \begin{equation*} x^2 - 7\,x - 10 = 0 \end{equation*}

Ahora podemos aplicar la fórmula general:

    \begin{eqnarray*} x &=& \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\,ac}}{2\,a}\\ &=& \frac{-(-7) \pm\sqrt{(-7)^2 - 4\,(1)(-10)}}{2\,(1)}\\ &=& \frac{7\pm\sqrt{49 - (-40)}}{2}\\ &=& \frac{7\pm\sqrt{89}}{2} \end{eqnarray*}

Calculemos los valores de las raíces de la ecuación:

    \begin{eqnarray*} x_1 &=& \frac{7 + \sqrt{89}}{2}\\ x_2 &=& \frac{7 - \sqrt{89}}{2} \end{eqnarray*}

Se te queda la comprobación como ejercicio.


Algunas ecuaciones que no son cuadráticas, se pueden transformar en ecuaciones cuadráticas y resolverse usando los métodos que ya hemos estudiado. El siguiente ejemplo es una muestra de esos casos.



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