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Solución de ecuaciones cuadráticas: Método de fórmula general

Aprenderás a resolver ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado.


Ejemplo 5

Resuelve la siguiente ecuación polinomial de grado 4:

    \begin{equation*} 2\,x^4 + 9\,x^2 - 5 = 0 \end{equation*}

Empezamos notando que esta ecuación tiene solamente exponentes pares.
Esto nos sugiere definir: u = x^2, lo cual implica: u^2 = x^4.
Al sustituir estos valores en la ecuación obtenemos una nueva ecuación equivalente:

    \begin{equation*} 2\,u^2 + 9\,u - 5 = 0 \end{equation*}

Ahora tenemos una ecuación cuadrática que podemos resolver utilizando la fórmula general:

    \begin{eqnarray*} x &=& \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\,ac}}{2\,a}\\ &=& \frac{-(9) \pm\sqrt{(9)^2 - 4\,(2)(-5)}}{2\,(2)}\\ &=& \frac{-9\pm\sqrt{81 - (-40)}}{4}\\ &=& \frac{-9\pm\sqrt{121}}{4} \end{eqnarray*}

Sabemos que \sqrt{121}=11, entonces,

    \begin{eqnarray*} u_1 &=& \frac{-9 + 11}{4} = \frac{1}{2}\\ u_2 &=& \frac{-9 - 11}{4} = -5 \end{eqnarray*}

Pero u_1 = x_1^2, es decir,

    \begin{eqnarray*} x_1^2 = \frac{1}{2}\qquad&\Rightarrow&\qquad x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}\\ &\Rightarrow&\qquad x_{11} = \frac{1}{\sqrt{2}}\\ &\Rightarrow&\qquad x_{12} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}

Y por otra parte,

    \begin{eqnarray*} x_2^2 = -5\qquad&\Rightarrow&\qquad x = \pm\sqrt{-5} = \pm\,i\,\sqrt{5}\\ &\Rightarrow&\qquad x_{21} = i\,\sqrt{5}\\ &\Rightarrow&\qquad x_{22} = -i\,\sqrt{5} \end{eqnarray*}

En este caso, debido a que la ecuación es de cuarto grado, tiene cuatro raíces.


Es importante observar que una ecuación de cuarto grado tiene cuatro raíces. Igualmente, una ecuación de tercer grado tiene tres raíces y una ecuación de segundo grado siempre tiene dos raíces. Seguramente te preguntas: ¿por qué algunas ecuaciones de segundo grado tienen una sola raíz? Porque en estos casos las dos raíces son iguales. Por ejemplo, de la ecuación: (x-1)^2 = 0, tiene dos raíces idénticas, siendo ambas x = 1.


Ejemplo 6

Resuelve:

    \begin{equation*} \sqrt[5]{x^2} + 8\,\sqrt[5]{x} = 9 \end{equation*}

Vamos a hacer una transformación. Vamos a definir u = \sqrt[5]{x}, así: u^2 = \sqrt[5]{x^2}.
Por lo que la ecuación puede transformarse como:

    \begin{equation*} \sqrt[5]{x^2} + 8\,\sqrt[5]{x} = 9\qquad\Rightarrow\qquad u^2 + 8\,u = 9 \end{equation*}

Ya podemos resolver esta ecuación cuadrática por factorización o por fórmula general. Aplicamos la fórmula general:

    \begin{eqnarray*} u &=& \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\,ac}}{2\,a}\\ &=& \frac{-(8) \pm\sqrt{(8)^2 - 4\,(1)(-9)}}{2\,(1)}\\ &=& \frac{-8\pm\sqrt{64 - (-36)}}{2}\\ &=& \frac{-8\pm\sqrt{100}}{2} \end{eqnarray*}

Calculemos los valores de las dos raíces de la ecuación transformada:

    \begin{eqnarray*} u_1 &=& \frac{-8+10}{2} = 1\\ u_2 &=& \frac{-8-10}{2} = -9 \end{eqnarray*}

Método de factorización:

    \begin{equation*} u^2 + 8\,u - 9 = 0 \qquad\Rightarrow\qquad (u + 9)(u - 1) = 0 \end{equation*}

Las raíces son inmediatas a partir de este método. Volvamos a la definición que hicimos: u = \sqrt[5]{x} y sustituimos el valor de u para encontrar el verdadero valor de x:

    \begin{eqnarray*} 1 = \sqrt[5]{x} \qquad&\Rightarrow&\qquad x = 1^5 = 1\\ -9 = \sqrt[5]{x} \qquad&\Rightarrow&\qquad x = (-9)^5 = -59049 \end{eqnarray*}

Y esas dos son las raíces que queríamos calcular.


Observa que en el ejemplo anterior aplicamos algunas de las leyes de los exponentes y los radicales para transformar la ecuación en una que sí supieramos cómo resolver. En otros problemas tendremos que aplicar además productos notables y algunas veces factorización.


Ejemplo 7

Resuelve y verifica la raíz positiva de:

    \begin{equation*} \sqrt{3\,x + 1} + \frac{35}{\sqrt{3\,x + 1}} = 3\,\sqrt{x} \end{equation*}

En este ejemplo debes recordar las leyes de los exponentes y de los radicales y los productos notables.
Si no recuerdas bien estos tema, es una buena idea estudiarlos de nuevo. Multipliquemos ambos lados de la ecuación por \sqrt{3\,x + 1}.

    \begin{eqnarray*} \sqrt{3\,x + 1}\left(\sqrt{3\,x + 1} + \frac{35}{\sqrt{3\,x + 1}}\right) &=& 3\,\sqrt{x}\,\sqrt{3\,x + 1}\\ (3\,x + 1) + 35 &=& 3\,\sqrt{x\,(3\,x + 1)}\\ \frac{3\,x + 36}{3} &=& \frac{3\,\sqrt{x\,(3\,x + 1)}}{3}\\ x + 12 &=& \sqrt{x\,(3\,x + 1)} \end{eqnarray*}

Elevemos al cuadrado ambos lados de la igualdad:

    \begin{eqnarray*} (x + 12)^2 &=& \left(\sqrt{x\,(3\,x + 1)}\right)^2\\ x^2 + 24\,x + 144 &=& x\,(3\,x + 1)\\ x^2 + 24\,x + 144 &=& 3\,x^2 + x\\ -2\,x^2 + 23\,x + 144 &=& 0\\ 2\,x^2 - 23\,x - 144 &=& 0 \end{eqnarray*}

Apliquemos la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado:

    \begin{eqnarray*} x &=& \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\,ac}}{2\,a}\\ &=& \frac{-(-23) \pm\sqrt{(-23)^2 - 4\,(2)(-144)}}{2\,(2)}\\ &=& \frac{23\pm\sqrt{529 - (-1\,152)}}{4}\\ &=& \frac{23\pm\sqrt{1\,681}}{4} \end{eqnarray*}

Como \sqrt{1681} = 41, tenemos:

    \begin{eqnarray*} x_1 &=& \frac{23 + 41}{4} = \frac{64}{4} = 16\\ x_2 &=& \frac{23 - 41}{4} = \frac{-18}{4} = -\frac{9}{2} = -4.5\\ \end{eqnarray*}

Finalmente, vamos a probar la raíz positiva:

    \begin{eqnarray*} \sqrt{3\,x + 1} + \frac{35}{\sqrt{3\,x + 1}} &=& 3\,\sqrt{x}\\ \sqrt{3\,(16) + 1} + \frac{35}{\sqrt{3\,(16) + 1}} &=& 3\,\sqrt{16}\\ \sqrt{49} + \frac{35}{\sqrt{49}} &=& 3\,(4)\\ 7 + \frac{35}{7} &=& 12\\ 7 + 5 &=& 12 \end{eqnarray*}

Y 16 satisface la ecuación, por lo que es una raíz de la misma.


Ahora vamos a resolver algunos problemas cotidianos con el apoyo de las ecuaciones cuadráticas.


Ejemplo 8

El largo de un terreno es un metro mayor al doble del ancho. Su área es de 300 m^2. ¿Cuáles son sus dimensiones?

Sabemos que el largo es un metro más largo que el doble del ancho. Vamos a realizar un dibujo para representar la información del problema.

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Si x es su ancho, el largo será: 2\,x + 1, y su área es de 300 m^2. La ecuación que modela esta situación es:

    \begin{eqnarray*} (\mbox{ancho})(\mbox{largo}) &=& \mbox{\'Area del terreno} \\ x\,(2\,x + 1) &=& 300 \end{eqnarray*}

Simplificando la ecuación obtenemos:

    \begin{equation*} x\,(2\,x + 1) = 300 \qquad\Rightarrow\qquad 2\,x^2 + x - 300 = 0 \end{equation*}

Apliquenos la fórmula general para resolver la ecuación:

    \begin{eqnarray*} x &=& \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\,ac}}{2\,a}\\ &=& \frac{-(1) \pm\sqrt{(1)^2 - 4\,(2)(300)}}{2\,(2)}\\ &=& \frac{-1\pm\sqrt{1 - (-2\,400)}}{4}\\ &=& \frac{-1\pm\sqrt{2\,401}}{4} \end{eqnarray*}

A partir de aquí es muy fácil calcular las raíces de la ecuación:

    \begin{eqnarray*} x_1 &=& \frac{-1 + \sqrt{2\,401}}{4} = \frac{-1 + 49}{4} = \frac{48}{4} = 12\\ x_2 &=& \frac{-1 - \sqrt{2\,401}}{4} = \frac{-1 - 49}{4} = -\frac{50}{4} = -12.5\\ \end{eqnarray*}

Entonces, el ancho del terreno original era de 12 metros y el largo es de: (12)(2) + 1 = 25. Por lo tanto, el área del terreno es de: (12)(25) = 300 m^2. Como la solución satisface las condiciones del problema, ésta es correcta.

Observa que la raíz: x = -12.5 satisface la ecuación, pero no es la solución del problema porque el ancho del terreno no puede ser un número negativo.



Ejemplo 9

Una fotografía de 27\mbox{ cm} \times 35\mbox{ cm} se va a enmarcar. Para esto, se le colocará alrededor una banda de papel especial para adornarla. El ancho del papel alrededor de la fotografía es constante. ¿Cuánto debe medir este ancho para que el aumento en el área total de la fotografía con su marco de papel sea de 335 cm^2?

Empezamos realizando una figura para tener una mejor idea del problema.

De la figura se ve inmediatamente que la fotografía con marco tendrá ahora (27 + 2\,x) cm de ancho y (35 + 2\,x) cm de altura.
Entonces, el área final será: (27 + 2\,x)(35 + 2\,x).
Necesitamos que el área aumente en 335 cm^2.
El área de la fotografía sin el marco es de: 27\times 35 = 945 cm^2.
Así que el área de la fotografía con marco será de: 945 + 335 = 1\,280 cm^2.
La ecuación que modela esta situación es:

    \begin{equation*} (27 + 2\,x)(35 + 2\,x) = 1\,280 \end{equation*}

Vamos a desarrollar el producto de los binomios para poder después resolverla por el método de fórmula general:

    \begin{eqnarray*} (27 + 2\,x)(35 + 2\,x) &=& 1\,280\\ 945 + 124\,x + 4\,x^2 &=& 1\,280\\ 4\,x^2 + 124\,x - 335 &=&0 \end{eqnarray*}

Ahora aplicamos la fórmula general para resolver esta ecuación:

    \begin{eqnarray*} x &=& \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\,ac}}{2\,a}\\ &=& \frac{-(124) \pm\sqrt{(124)^2 - 4\,(4)(-335)}}{2\,(4)}\\ &=& \frac{-124\pm\sqrt{15\,376 - (-5\,360)}}{8}\\ &=& \frac{-124\pm\sqrt{20\,736}}{8} \end{eqnarray*}

Finalmente, sabiendo que \sqrt{20\,736} = 144, podemos escribir:

    \begin{eqnarray*} x &=& \frac{-124\pm 144}{8}\\ x_1 &=& \frac{-124 + 144}{8} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} = 2.5\\ x_2 &=& \frac{-124 - 144}{8} = -\frac{268}{8} = -\frac{67}{2} = -33.5\\ \end{eqnarray*}

Pero no es posible agregar -33.5 cm al ancho y largo de la fotografía. Es decir, la única solución de la ecuación que tiene sentido físico es: x = 2.5 cm. Verifiquemos que la solución es correcta.

Inicialmente las dimensiones de la fotografía eran de 27 \times 35 cm^2. Como se agregaron 2.5 cm más, las dimensiones de la fotografía con su marco son ahora de: 27 + 2\,(2.5) = 32 cm por 35 + 2\,(2.5) = 40 cm. El área de la fotografía con su marco es ahora de: 32\times 40 = 1\,280 cm^2.


Los problemas aplicados de las ecuaciones cuadráticas generalmente requieren de mucho cuidado al hacer sustituciones, porque algunas veces ahí es donde se cometen con mayor frecuencia los errores a la hora de resolverlos. Ten cuidado con eso.

Existen otras páginas de Internet que explica estos métodos, sin embargo, creemos que la explicación de los ejemplos previos te dará una buena base para resolver problemas en los cuales se involucre una ecuación cuadrática.

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